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文档简介

1 3三个正数的算术 几何平均数 1 1 指出定理适用范围 2 强调取 的条件 注意 1 这个定理适用的范围 2 语言表述 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件 一正 二定 三相等 有一个条件达不到就不能取得最值 3 4 基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系 这个不等式能否推广呢 例如 对于3个正数 会有怎样的不等式成立呢 5 6 语言表述 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 7 推论 8 关于 平均数 的概念 叫做这n个正数的算术平均数 叫做这n个正数的几何平均数 语言表述 n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 当且仅当 1 a2 an时 等号成立 9 归纳总结 1 定理3的变形及结论 1 abc 2 a3 b3 c3 3abc 3 上式中a b c均为正数 等号成立的条件均为a b c 10 即时小测 1 函数y 2x2 x R 的最小值为 A 6B 7C 8D 9 解析 选A 因为x R 所以当且仅当x 1时等号成立 11 2 若n 0 则的最小值为 A 2B 4C 6D 8 解析 选C 因为所以当且仅当n 4时等号成立 12 3 若a b 0 则a 的最小值为 解析 因为a b 0 所以a b 0 所以当且仅当 a b b 时等号成立 答案 3 13 类型一利用三个正数的算术 几何平均不等式求最值 典例 1 求函数y 1 3x 2 x的最大值 2 求函数y x x 1 的最小值 14 解题探究 1 典例1中如何构造式子 使其和为定值 提示 可将式子 1 3x 2 x化为 1 3x 1 3x 6x的形式 2 典例2中如何构造式子 使其积为定值 提示 可将式子x 化为则其积为常数 15 解析 1 因为00 所以y 1 3x 2 x 1 3x 1 3x 6x当且仅当1 3x 1 3x 6x 即x 时等号成立 此时ymax 16 2 因为x 1 所以x 1 0 当且仅当即x 3时等号成立 即ymin 4 17 2 若将典例1条件变为 x y R 且x2y 4 如何求x y的最小值 解析 因为x y R 且x2y 4 所以x y 当且仅当 y时等号成立 又x2y 4 所以当x 2 y 1时 x y取最小值3 18 19 2 2016 哈尔滨高二检测 已知实数a b c d满足a b c d 求证 20 证明 因为a b c d 所以a b 0 b c 0 c d 0 a d 0 所以 a b b c c d 当且仅当a b b c c d时取等号 即 21 例 构造三个数相加等
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