求数列通项公式和前n项和方法总汇.doc

. . . .求数列通项公式的常用几种方法数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面就谈谈求数列通项公式的几种方法：1、类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，2、类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知， ，求。解： 。3、类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异4、类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以5、类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足例:已知数列中，,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。6、类型6解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解：取倒数：是等差数列，7、类型7 1、利用sn和n的关系求an 思路：当n=1 时，an=sn当n2 时, an=sn-sn-1例6、已知数列前项和s=n2+1,求an的通项公式.解：当n=1 时，an=sn2当n2 时, an=sn-sn-1n+1-(n-1)2+1=2n-1而n=1时，a1=2不适合上式当n=1 时，an=2当n2 时, an=2n-12、利用sn和an的关系求an 思路：利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解例、在数列an中，已知sn=3+2an，求an解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1) an=2an-1an是以为公比的等比数列an=a12n-1= -32n-18、倒数变换将递推公式(c、d为非零常数)取倒数得.例6 在数列中，求数列的通项公式.解：，即是首项为，公差为的等差数列，求数列前N项和的常用方法一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列an，公差为d，求证：an的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+.+an 倒序得：Sn=an+an-1+an-2+a1 +得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1)又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a12Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题2：求数列的前n项和Sn解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例题3：求数列(nN*)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。四.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。例题4：求数列nan(nN*)的和解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + + nan则：aSn = a2 + 2a3 + + (n-1)an + nan+1-得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + + an - nan+1若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + + n = 若a 1则：点拨：此数列的通项是nan,系数数列是：1，2，3n，是等差数列；含有字母a的数列是：a,a2,a3,，an,是等比数列，符合错位相减法的数列特点，因此我们通过错位相减得到式，这时考虑到题目没有给定a的范围，因此我们要根据a的取值情况分类讨论。我们注意到当a=1时数列变成等差数列，可以直接运用公式求值；当a1时，可以把式的两边同时除以（1-a），即可得出结果。五.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。例题5：已知数列6,9,14,21,30,其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。解：a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 , an - an-1 = 2n-1把各项相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + + (2n - 1) =an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5Sn = 12 + 22 + + n2 + 5n =+ 5n点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了12 + 22 + + n2=因此问题就容易解决了。六.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例题6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + + (-1)n-1n2(nN*)解：当n是偶数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + + (n - 1)2 - n2= - (1 + 2 + + n) = - 当n是奇数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + + (n - 2)2 - (n - 1)2 + n2= - 1 + 2 + + (n - 1) + n2= -综上所述：S = (-1)n+1n(n+1)点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。七.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。例题7：求的和解：点拨：本题的关键在于如何构造出等差或等比数列的特征的通项，在这道题的解法中巧妙的运用了这一转化，使得数列的通项具备了等比数列的特征，从而为解题找到了突破口1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得