浅议概率统计在语言学上应用.doc

石家庄经济学院本科生毕业论文摘 要数学作为一门应用性很强的学科，如何将理论与现实问题有效结合起来是一大难题。而语言学作为一门重要的社会科学，与自然科学的精确性存在很大区别。研究现实表明数学将可以在语言学等社会学科上得到极大应用。本文首先介绍数学、语言学和数理语言学之间的关系及其内在联系，然后再从概率论和统计学两个角度分别简述其在语言学上应用。概率论方面主要介绍语言文字的熵，讨论其信息量，并以汉字为例兼论常见语言的字母熵，从而窥探每个文字背后蕴含的信息量度。统计学方面主要通过统计方法介绍语言单位的出现频率，计算作家的语言风格，以及计算语言存在的绝对年代和亲属语言分化的年代，并简要介绍齐普夫定律。关键词： 数理语言学；概率论；统计学；熵；齐普夫定律；马尔可夫链；语言年代学ABSTRACTApplied Mathematics, as an application of a strong discipline, has a major problem that how to combine the theory and practical problems effectively. Linguistics as an important social sciences, , has a big difference with natural sciences accuracy. The reality shows that mathematics has been greatly used in linguistics and social sciences. This paper first introduces the relationship between their internal relations of mathematics, linguistics, and mathematical linguistics, and then from two angles of the probability theory and statistics, respectively, outlined its application in linguistics. Probability theory describes the entropy of the language to discuss their information content, and on the entropy of the letters of the common language of Chinese characters, for example, in order to spy on the measure of the information contained in each text behind. In statistics we discuss on the frequency of occurrence of the linguistic unit by statistical methods, the computing language of the writers style, as well as computing language of absolute age and age of relatives of language differentiation, and then a brief introduction to Zipfs Law.Key words: Mathematical Linguistics; Probability Theory; Statistics; Entropy; Zipfs Law; Markov Chain; Glottochronology目 录摘要目录1数学、语言学和数理语言学11.1数学在语言学上的渗透及其意义11.2数理语言学及其分支21.2.1统计语言学21.2.2 代数语言学 32概率及其在语言学中应用32.1熵、语言的熵32.2汉字的熵52.3汉字的极限熵63统计及其在语言学中应用83.1齐普夫定律83.2语言单位频率统计83.3计算风格学93.4 语言年代学10结论11致谢12参考文献1316浅议概率统计在语言学上应用1 数学、语言学和数理语言学数学和语言学可以说是最古老的两门学科，在人类文明长河中很难找到历史更悠久的学科。数学是研究形式、结构和数量之间关系的一门学科，它具有统一的符号系统，各国读者均可以方便地进行交流，读法虽然有所差异，但是其意义都是相同的。而语言是人类社会最重要的交际工具，是人类区别于其它动物的主要特征。不同的国家、不同的民族有着不同的语言符号系统。数千年来，数学和语言学之间似乎是风马牛不相及，很少有人想到把二者联系起来研究，找到他们的内在关系。在人类的文明史上，学者们经过相当漫长时间的探索，才终于认识到这一密切联系。1.1 数学在语言学上的渗透及其意义进入20世纪，数学方法和理论不仅在物理、地理、天文等领域获得了惊人的进展，而且逐渐渗透到人文科学领域。先是在生物学，而后是在经济学和社会学方面，数学方法取得了一系列成功。很自然地，数学家们将目光投向了数学的未开垦地语言学。 学者们的远见卓识，使语言学的发展展现了新机。1847 年，俄国数学家布里亚柯夫斯基认为可以用概率论方法来进行语法、词源及语言历史比较的研究。1894 年，瑞士著名语言学家索绪尔指出，“在基本性质方面，语言中的量和量之间的关系可以用数学公式有规律地表达出来”。 1904年，波兰语言学家博杜恩德古尔特内认为，语言研究者不仅应该掌握初等数学，更应该高等数学。他坚信，语言学将日益接近精密科学，语言学将根据数学的模式，更多地扩展量的概念，并将发展新的演绎思想的方法。这些光辉的思想影响了语言学的历史进程，成为下一代学者努力的方向，并将构思结合到实践研究中去。1881年，德国学者迪丁贝尔格用统计方法把柏拉图著作的执笔时期分为前期、中期和后期三个阶段。1887 年，美国学者门登荷尔对不同时期的英国文学作品尤其是莎士比亚的作品进行过统计分析，得出了令人满意的结论。1898 年，德国学者凯定编制了世界上第一部频度词典德语频度词典，用来改进速记的方法。1913 年，俄国数学家马尔可夫用概率论方法研究了欧根奥涅金中的俄语辅音和元音字母序列生成问题，并以此提出可马尔可夫随机过程这一数学上的重要理论，后来成了数学的一个分支，对现代数学产生了深远的影响。1935 年，美国语文学家齐普夫发表了齐普夫定律，采用数学方法描述频度词典中单词的序号分布规律，这一规律后来在不同领域得到了广泛应用。1941 年，英国数学家尤勒发表了文学词语的统计分布一书，其中大规模应用了概率和统计方法来研究语言。以上事例可以大致窥探上个世纪学者们将数学应用于语言研究的情况，究其意义，我们可以看到数学的优势所在。l、数学表达语言学研究问题和内容的精确性。数学语言的特点是简明，精确，数学方法具有严密的系统性和逻辑性，用数学符号和公式来表达语言学研究内容将符合现代语言学的要求。2、数学方法可以对语言现象进行定量和定性，使得分析定量定性分析相得益彰：定性分析以定量分析为依据，定量分析以定性分析为归宿，这样可以尽可能避免对某些语言现象所作出的结论的主观推测性和游移不确定性。3、数学方法丰富了语言学研究的方法和途径。以上事例可以看出，语言学的研究可以拓展思路，引入更多的边缘学科帮助，用一种新的视野观察语言学研究和发展。4、扩展语言学研究领域。在数学方法被引入前，语言学研究因为研究水平的限制以及研究方式的僵化停滞不前，而数学方法的引入，很大程度上开拓了语言学研究的领域并大大加速了这一学科的发展。1.2 数理语言学及其分支1.2.1 统计语言学数理语言学的一个分支，又称计量语言学，是应用数理统计、概率论和信息论等方法来研究语言学现象的语言学科。就其研究领域来看，目前主要包括以下几个方面：1、统计语言单位的出现频率，如对词汇和音位、语素出现的频率进行统计研究。2、统计作家的用词用词频率频率、词长分布和句长分布，以了解作家运用语言的风格，用这种方法还可判定匿名文章的作者。3、计算语言存在的绝对年代以及亲属语言从共同原始语分化出来的年代,这方面的研究叫做语言年代学,又称为词源统计分析法。此外,还可对亲属语言的语法、语音体系进行统计、比较。4、采用信息论方法研究语言的熵和羡余度。语言的熵就是在交际过程中语言符号出现的不定度。不定度的大小与语言的熵的高低一致。当语言的接收者接收到语言符号之后，不定度被消除，熵等于零，因而在交际过程中，语言接收者所得到的信息量恰恰等于被消除的熵。语言的羡余度是指语言中超过传递最少需要量的信息量的比例，在一般情况下,人们为了保证对方能够理解,总是提供比实际需要多得多的信息量，因此，不论在书面语还是口语中，语言都有羡余度。5、探讨语言的一般统计规律。例如，在按频率递减顺序排列的频率词典中，词的序号越大，词的频率越小，序号与频率之间的关系可以用数学公式描述为一定的统计规律，这个统计规律叫做齐普夫定律，因其研究者之一、美国语文学家齐普夫而得名。 6、运用随机过程论来研究语言，把语言看成彼此联系的字母序列，前一个字母决定后一个字母的出现，于是形成一条字母链，叫做马尔可夫链，因其最早的研究者俄国数学家马尔可夫而得名。7、研究文章中两个词之间、两个语法范畴之间、两个语义类之间或两个句法类型之间的间距，以揭示文章在句法或语义上的特征。8、研究语言的词汇与文章长度的关系，以揭示文章中词汇的丰富程度和差异程度。 统计语言学的许多成果，对语言教学、通信技术及自然语言的信息处理有很大价值。更为重要的是对寻找语言背后的数理规律以及揭示各种语言形成的内在原因起到关键作用。1.2.2 代数语言学数理语言学的一个分支，又叫做形式语言学，是应用数理逻辑、集合论、算法理论。格论、图论。模糊数学等离散代数方法研究语言现象的语言学科。目的是建立起语言的代数模型，把语言学的某些方面建造成类似数学那样的演绎系统，建立语言模型理论，从而为自然语言的信息处理提供理论基础。就其研究领域来看，目前主要包括以下几个方面：1、建立语言的数学模型，如美国逻辑学家、语言学家乔姆斯基、前苏联数学家.库拉金娜 、语言学家巴尔-希列尔分别提出了语言的生成性模型 、分析性模型和辨识性模型。2、研究形式语言及其与自动机的关系。乔姆斯基等人发现，一定类型的形式文法是与一定类型的自动机相对应的，文法是语言的生成程序，而相应的自动机则是该语言的识别程序。3、建立自然语言自动处理各种方法的理论。在人机对话研究中提出了扩充转移网络、语义网络等方法，在机器翻译研究中提出了从属分析法、预示分析法、树形分析法等方法，代数语言学要对这些方法进行理论上的研究。4、研究语音、语法、词汇、语义中的模糊现象。5、研究语言的句法结构与语义解释之间的关系，如孟德斯鸠语法等。代数语言学对计算语言学，机器翻译、语言信息处理学、计算机科学都有很大的贡献，对于计算机程序语言也有一定的指导意义。以上简略介绍了数理语言学的内容和形式，以及其研究所在的意义。下面将详细分析其中的具体应用，并尝试得出普遍性结论。2 概率及其语言学应用 关于概率论方法在语言学上的应用，可说是多如牛毛之态。本文仅截取其浩瀚精华之片断，虽是管中窥豹，亦期掠其一斑。主要的研究对象集中于语言和文字的熵，并重点讨论其在信息论领域的重要应用，希望从这一细小的门缝中看到概率方法的巨大效用。2.1 熵、语言的熵2.1.1 熵熵是物理名称，新华字典对于熵这个字的解释是，“科学技术上泛指某些物质系统状态的一种量度，某些物质系统状态可能出现的程度”。而在信息论和控制论领域中与熵等价的概念则分别是信息量和不确定性。当我们不知道某事物的具体状态，但知道它存在几种可能性时，可能性种类越多，则不确定性越大。不确定性越大的事物，当我们最后确定的时候，我们从中得到了越多的信息，即信息量越大。理解了熵的概念，我们也就容易去理解语言的熵这一概念了，顾名思义，即是指语言所带信息量。2.1.2 语言的熵从信息论角度来看，自然语言交际的过程，可以视为语言的发送者通过媒介将信息传输到语言的接收者那里。我们假设语言只有两个符号（当然现实中不可能出现，除了计算机语言是0和1两个符号外，任何自然语言的符号数目都是成千上万的），并且这两个符号的出现概率有很大区别，那么在接收者接收到这一信息之前，他可以很有把握地预测将接收到哪个符号。这时语言符号出现的不确定性是比较小的。反之，则不确定性很大。而接收者一旦接收到语言符号，则这种不确定性将完全消失，并且从中获取了一定的信息量。不确定性消除的程度越大，则获取的信息量也越大。在语言交际中，语言符号出现的不确定性大小，称为语言的熵。熵的大小，取决于语言符号的数目以及出现的概率。只要测出了语言的熵，就可以清楚该语言所蕴含的信息量大小。如何消除不确定性？这里我们用到概率论中的大数定律：设为一随机序列，数学期望存在，令，若.则称随即序列服从大数定律。下面给出频率稳定于概率的伯努利大数定律证明。设为相互独立同分布的随机序列，且，其中则服从大数定律，即若令，则有.证 因为由切比雪夫不等式得，对任意有故得.同理，我们可以测得某种具体文字的熵以此来衡量该文字所负荷的信息量。我们可以根据事情发生概率的大小，用下式计算信息量：式中P是收到的信息中所指事件的概率。信息量的单位为比特，即bit，下面试举简例说明。例1 设英语中字母E出现的频率为0.105，X出现的频率为0.002，分别求X和E的信息量解: ,.例2 计算一封含1000个字母的英文段落所含信息量 解: 假定每个字母都以等可能性出现，英文字母共26个，把空白也算作一个字母，那么共有27个字母。所以每个字母出现的概率为。每个字母的信息量我们均可以视为 bit.拿27个字母来平均，得到的结果也是4.76bit，所以10000个字母所含信息量为4760bit，如果考虑到每个字母出现的概率并不相同，则每个字母的平均信息量为.我们利用现成的字母频率表，并代入上式计算可得bit，则1000个字母总信息量为4030bit。 上述简例可以看出，字母出现概率越均匀，则信息量越大，反之则越小。当字母以等概率出现时，所含信息量将达到最大值，假设27个字母有26个出现概率为0，剩余一个为1，则熵为0。2.2 汉字的熵汉语书面语由汉字组成。与使用拼音字母的语言不同，汉字的数量巨大，而类似印欧语系中的英语、意大利语、西班牙语、俄语等语言所使用的字母数量仅仅在20到33个之间，因而要测得汉字的熵比之测定拼音文字的熵，无疑难度要大很多。本文援引我国著名计算语言学家冯志伟的方法，逐渐扩大汉字容量来推敲汉字的熵。这里我们把汉语中的总字次称为文句长度，文句中出现的不同汉字称为汉字容量。前者用N表示，后者用n表示。由前文可知，要测出汉字的熵，就要知道汉字在句中出现的概率，这里我们可以认为，汉字出现的频率可以代替汉字出现的概率。引用冯志伟老师的数据，得到下表： 文句长度N11521480124813525112537114294515239152汉字容量n1 1051183149115105521012371熵H（bit）07.539.529.619.639.649.65由上表可以看出，当汉字容量n比较小时，熵H随n的扩大而迅速增大，当n达到足够大的时候，熵H的增加变得缓慢。这种趋势将随n的增大越发明显。如何解释这一现象？第一，随着汉字容量的增大，文句中的常用汉字数目将趋于稳定，不再有显著的增大。我们知道，汉字总共有八万之巨，而常用汉字不过三千到五千，仅占到总量的百分之五。 第二，随着汉字容量的增大，非常用汉字的出现概率将进一步减小，使得熵的值减小，而此时新增加的一些非常用字使得熵增大，两相抵消，熵的值变动不大。 那么，汉字的容量究竟达到什么程度，将使熵值趋于稳定？如何求得这一最大汉字容量？下面将用齐普夫定律来解决这一问题，而齐普夫定律在后文还将进一步详述，这里不再赘述。 我们把文句中出现的词按出现概率递减的顺序排列，并且依次从1（即出现概率最大的那个词）到L（出现概率最小的那个词）编码，词的出现概率为P，词的号码为r，r的取值为1到L内的全部自然数。编表如下：词的号码()1 2 3 rL词的出现频率() P P PPP随着r的增大，对应的P将逐渐减小。 这里应用齐普夫定律，得到 而由概率知识可以得到 结合上两式，可以得到 ，因此 上式即 n的值，即是我们要求的最大容量。由数学知识可以得到,式中为自然对数，为欧拉常数。由上式我们可解得 .由换底公式可得 得到 .所以得到.即汉字容量达到12366个时，汉字的熵将不再显著增加。此时汉字的熵H将稳定在9.65。2.3 汉字的极限熵上一节介绍了汉字的熵，并做了简要计算，得到汉字的熵H为9.65左右。而这一节将是整篇文章的核心所在，也是主题思想渗透之处。延续上一节思路，我们在测得H的值时，仅仅考虑了汉字在文本中出现概率的差异，而忽略了汉字在文本中出现概率之间的相互影响。实际上，在任何一个自然语言的文本中，各个语言符号的出现是相互影响的。我们把语言看成是一个随机过程，在这个过程中，语言符号是随机试验的结果，语言就是一系列具有不同随机试验结果的链。如果在随机试验中，每个语言符号的出现相互独立，那么这种链就是独立链。反之，则称为马尔可夫链。实际上，语言是马尔可夫链而非独立链，因为前面的语言符号对后面语言符号会产生影响。所以上一节所测得的熵可以视为是不等概率独立链条件下的熵。这里我们引用概率论知识具体给出马尔可夫链的定义：设随即序列满足下列条件（这里N一般包括有穷或可列无穷个非负整数）：1. 对每一只取非负整数值；2. 对任意非负整数及任意非负整数及,有.当上式左方有意义时，则称该随机序列为马尔可夫链。因此，考虑到前面语言符号对后面语言符号出现概率的影响，那么可得出条件熵，马尔可夫链的熵就是条件熵，其计算公式如下：.假设我们只考虑前文一个语言符号对后文一个语言符号出现概率的影响，那么这样的语言成分链称之为一重马尔可夫链；同理，假设考虑前面两个语言符号的影响，则叫做二重马尔可夫链。以此类推，我们可以得到三重马尔可夫链，四重马尔可夫链等等。而应用上式，我们可求得一阶马尔可夫链条件熵为.二阶马尔可夫链条件熵为.以此类推，我们可以求得任意阶马尔可夫链的条件熵。而随着马尔可夫链重数的增大，条件熵将越来越小，因此可以得到.所以可以得到 .这一式子说明，熵存在下限，当n值逐渐增大时，熵值趋于稳定而不再减少。此时的熵，就叫做极限熵。如何求得汉字的极限熵？这是一个艰巨的任务。前文在计算不等概率独立链熵值时，已是困难重重，要计算多重马尔可夫链的熵将是难上加难。为避免复杂的统计及测算，这里通过英汉文本的容量对比来简介推算。但是必须指出的是，这仅仅是作为一个估值，要精确得到汉字极限熵仍然还很遥远，需要学者们的后续努力。通盘考虑汉译英和英译汉文本的容量情况，可以得出，一个汉字大致等于3.25个英文字母。而英文字母的极限熵存在一个公认区间，0.9296到1.5640，因此汉字的极限熵介于3.0212到5.0713之间，取其平均值为4.0462。本节重点并非在于求得汉字的极限熵，而是介绍了极限熵的概念以及在未来如何更好地去求值，因为当前的条件还无法得到准确的数据。相信在不久的将来，概率语言学将会有更好的发展，汉字的熵值也将得到精确解决。3 统计及其语言学应用相比较概率，统计在语言学上的应用更为人所知，因而这一学科的开展也更为蓬勃积极。本节将介绍统计的几个应用极其数学发展，从中大致能够看出统计语言学的研究领域和研究模式。3.1 齐普夫定律 统计语言学这门学科的诞生，正是源于齐普夫定律在上世纪30年代的提出。其在统计语言学中的核心地位，不亚于牛顿定律之于力学。定律的表述并不复杂，如果把英文单词出现的频率按由大到小的顺序排列，则每个单词出现的频率p与它的名次n的常数次幂存在简单反比关系，即.其中c经测得为0.1该定律的应用十分广泛，我们在前文求汉字的熵时已经用到，不仅于此，我们按以上原则编排的词表中取前1000个词的频率累加起来, 就可知道这1000个最常用的词在该语言中的覆盖面，这个计算结果表明，这1000个频率最高的词语占到了整个词库的74.8%，换言之，只需要掌握这种语言中的1000个频率最高的词语，就可以应对该书面材料的绝大多数内容。同样的计算，我们如果取3000个词，则可以读懂99%的内容。这个结果可以广泛应用到语言教学和自然语言的处理中去。上述1000词频的具体计算方法如下： .3000词频的计算方法同上。3.2 语言单位频率统计语言单位包括字母、音节、音素、字符等等，统计语言单位的频率有其实际意义，我们以英文字母试举例。由概率论定义：设在同一条件组下进行n次试验(n足够大)，时间A发生m次，则时间A发生的频率定义为我们用作为时间A的概率的一个量度。因此由定义我们可以以字母出现的频率表示概率，统计大量的文本，可以得到每个英文字母在文句中出现的频率，如下所示，字母概率字母概率字母概率空格0.2S0.052Y.W0.012E0.105H0.047G0.011T0.072D0.035B0.0105O0.0654L0.029V0.008A0.063C0.023K0.003N0.059F.U0.0225X0.002I0.055M0.021J.Q.Z0.001R0.054P0.0175这一表格显示，每个字母出现的频率极不均匀，这一结论对密码的破译有重要作用。另外，由于通讯技术的发展，要对负载信息的语言寻求最佳编码方法，目的是提高通讯传输的效率。每个字母出现的概率不同就表示每个字母的熵不同，因此可以考虑为不同的字母编不同长度码来提高效率。3.3 计算风格学 计算风格学.即语言风格统计学，简单地说，就是利用数理统计的方法来分析出语言作品的种种风格特征。试举一例来说明该学科的应用。 陈大康对文学作品红楼梦进行了统计，利用计算机对作品中的脏字进行了分析。所谓的脏字是指“屁”“放屁”“屎”之类的词语。这类词语在文雅作品中一般是比较少见的。最后得出的结论是，该类词语在前78回合中出现频率为0.0129%，而在后40回合出现的频率只有0.000854%，两者相差了15倍。这充分说明了该作品的前后两部分风格存在很大差异，显然并非同一作者所写。这个例子说明，对语言风格的统计可以用来判别文学作品的真伪以及鉴定匿名文章的归属。具体数学方法如下：假设某一作家的二阶相关矩阵为m(i,j),定义偏离指数为：.这其中为标准语言的二阶相关矩阵。这里引入统计学中的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程：设为一马尔可夫链，则对任意非负整数有.我们可以得到结论，即值越小，作家的语言同标准语就越接近。如果是比较两位作家的风格，则用相关指数S： .其中与表示作家m和n的二阶相关矩阵。S值越大，则两位作家的风格就越接近。3.4 语言年代学语言年代学属于历史语言学的范畴，而在历史语言学中学者也普遍应用了数理统计的方法。这一方法的核心思想是利用词汇的消亡速度或者保留的百分比来确定语言关系。在语言的词汇中，有一类基本词汇，特征是稳固，消亡速度很慢，总体上能够基本稳定保留下来。经统计检测，基本词汇在任何时期的保留率为一固定常数，即在1000年的时间跨度中，基本词汇能够保留86%。根据公式 .我们可以计算一种语言的绝对年代t。假设某种语言在当前的基本词汇保留率测得为60%，则代入计算可得.38.可以得到结论，该语言存在的绝对年代大约在三千四百年左右。也可以利用该理论估算两种现代语言从共同语分化的时间。利用公式,式中L表示两种现代语言中的同源词比例。假设两种现代语言A和B，测得同源词比例为0.82，则.即两种语言A和B是在大约1300年前分离出来。结论以上只是对数理语言学的一小部分做了简要分析，之所以选择这一课题，与我大学的爱好兴趣相关。我在大学里阅读了大量语言学方面书籍，产生了很大的兴趣，因此希望能将所得知识应用于论文中去。本文立足于数学和语言学的交叉学科即数理语言学，并通过简要介绍其子学科，分析其现状，并分析具体数学方法是如何应用到该学科上去。概率方面着重讲述语言的熵这一概念，并以汉字的熵为例作了具体计算分析。得出的结论也具有普遍应用性，在其他领域可以得到进一步拓展应用。统计方面的介绍比较基础，更多的是普及这一方向的知识，介绍了几个比较有趣味的小学科，相信能吸引更多人关注语言学。而数学方法在语言学上的应用，也需要注意一些问题：1、数学方法从根本上说，还不能完全代替语言学原有的研究手段，毕竟社会科学有其不可忽视的特点。2、数学是抽象的学科，不能仅仅停留在初等数学的阶段，防止数学方法的简单化。当然，数理语言学的内容不止如此，有待继续深研。正如前文所言，本文仅是作管中窥豹之用，权当抛砖引玉，希望数理语言学能得到更多重视，并能引入更多的数学方法用作这方面研究。总之，概率统计的应用十分广泛，还需要我们不断地学习和研究。在本文的写作过程中，我最大的体会就是，学科之间的联系可以很容易地建立，而并非是像表面上看到的那样简单直观。而数学，我们可以发掘其更大的潜力，对于更多的应用问题，我们都可以尝试用数学的方法去试探，去解决。本文中的概率统计方法，是我所举的例子。通过这一阶段的努力，我对这部分数学内容印象更加深刻了。加上考研阶段的学习，可以说，概率统计是我学的最好的一门专业课程了。这是我最直接的收获，也将对我研究生阶段的后续学习大有裨益，因为概率统计在会计学上的应用可以说是很成熟了，今后我必将受益于现在的努力。更加重要的收获则是，研究的思路以及治学的态度。正如前文所言，思维的僵化对于问题的研究是最大的阻滞，今后无论遇到什么问题，多开拓思路，多角度地观察，都会对解决问题有所帮助。以语言学作为题材写作这篇文章，并非是我刻意独树一帜。因为在我看来，单纯地介绍书本上的公式定理，只能体现数学的理论，却无法反映出数学的应用性。我不满足于那种传统的形式，我想应用数学专业应该更多地介绍关于如何应用数学方法，因此不惴谫陋大胆做了这一尝试。虽然很难写，且在这一过程中确实遇到了很多的困难和阻碍，但也得到了很多收获。我相信阅读本文将有助于大家了解这一学科，因为大家可能对这一领域并不是很熟悉，而多学科的交叉研究也有助于拓展视野，或许能得到研究的新灵感也未可知。学科不分轩轾，每门科学都是为人类谋求福利，都是为社会的进步和发展作自己的贡献。可以很轻易地想见，概率统计也可以对分子物理学、量子力学、生命科学等等学科提供帮助，并且我相信概率统计这