浅谈柯西不等式的应用及推广.doc

浅谈柯西不等式的应用及推广 【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。【关键词】柯西（Cauchy）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学【Abstract】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequalitys some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed.【Key words】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangles proving引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。1 柯西不等式的证明12 对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指 当且仅当时，等号成立。1.1 构造二次函数证明当或时，不等式显然成立令 ，当中至少有一个不为零时，可知A0构造二次函数，展开得： 故的判别式移项得，得证。1.2 向量法证明令.则对向量有，由，得当且仅当，即平行时等号成立。1.3 数学归纳法证明i ) 当n=1时，有，不等式成立。当n=2时， 因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设n=k时不等式成立，即当且仅当时等号成立。那么当n=k+1时， 当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是n=k+1时不等式成立。由i ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。1.4 利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西拉格朗日恒等式由实数性质可得柯西不等式成立。 以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数收敛，则有不等式。证明：收敛，收敛，且从而有不等式成立。2.2 命题23若级数收敛，且对有，则对定义在上的任意连续函数有不等式证明：因为函数在区间上连续，所以函数在上可积，将区间n等分，取每个小区间的左端点为，由定积分的定义得：令，则收敛，由柯西不等式得从而有不等式。2.3 赫尔德不等式4设满足则：，等号成立的充分必要条件是证明：首先证明时，对任何正数A及B，有.对凹函数有：令代入以上不等式并对于，把这n个不等式相加.即成立。等号成立的充分必要条件是：即3 柯西不等式的应用 我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样。柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。3.1 在不等式的证明中，柯西不等式的作用 柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索。例 1：设定义在R上的函数，若且求证：.分析：要证明，即证：只需证：证明：又因且故即例 2：已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式。证明：由柯西不等式得： 于是。又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于你，这样就有。所以有。因为而所以有。例 3：设则证明：证明：由柯西不等式，对于任意的n个实数有即于是=。3.2 利用柯西不等式求最值例5已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3， 试求a的最值解：由柯西不等式得，有即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时， 时，3.3 求函数的极值 柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值。事实上，由可得如将上式左边当作一个函数，而右边值确定时，则可知的最大值与最小值分别是与且取最大值与最小值的充要条件是 反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。例 1：求函数的最大值。解：函数的定义域为：当且仅当即时等号成立。所以例 2：求函数的极值，其中a,b是常数。解：由柯西不等式：故有。当且仅当时，即时，函数有极小值，极大值。例 3：已知a,b,c,R为常数，当时，求函数的最大值与最小值。解：由柯西不等式：故。当且仅当即时等号成立。将代入得则即当时，分别为所求的最大值与最小值。3.4 求参数范围例：已知对于满足等式的任意实数，对恒有求实数a的取值范围。解：要使对恒有即3.5 三角形及三角函数问题例 1：设p是VABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离，R是VABC外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得记S为VABC的面积，则故不等式成立。例 2：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的倍，即其中a，b，c为三角形的三边长，S为三角形的面积。证明：由海伦秦九韶面积公式：其中于是由柯西不等式：当且仅当即a=b=c时等式成立。于是。变形得：即故有当且仅当a=b=c时等号成立。例 3：在三角形ABC中，证明。证明：由柯西不等式：即 （1）因为故 （2）又因为因而 （3）将（3）代入（2）得 （4）将（4）代入（1）得即。3.6 利用柯西不等式解方程5例 在实数集内解方程解：由柯西不等式，得 （1）又即即（1）式取等号。由柯西不等式取等号的条件有 （2）（2）式与联立，则有。3.7 用柯西不等式解释样本线性相关系数【6】 在概率论与数理统计一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 记，则，由柯西不等式有当时， 此时，k为常数。点均在直线上，当时， 即而，k为常数 点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大；当时，不具备上述特征，从而找不到合适的常数k使点都在直线附近。所以越接近于0，则相关程度越小。4 中学数学中柯西不等式的应用技巧 在上文柯西不等式的应用中可以看出,柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式,而且它对初等数学也有很好的指导作用,利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题。 下面我们特别以柯西不等式证明不等式为例，谈谈此类问题的解题技巧。4.1 巧拆常数例：设a、b、c为正数且各不相等。求证：分析：因为a、b、c均为正 所以为证结论正确只需证而 又4.2 重新安排某些项得次序 例：a、b为非负数，a+b=1， 求证：分析：不等号左边为两个二项式积，a、b为非负数，每个两项式可以使用柯西不等式，直接做得不到预想结论。当把两个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。4.3 改变结构例：若 求证：分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了 结论改为4.4 添项例：分析：左端变形只需证此式即可。5 小结 许多学生对数学不等式证明的题型感到困难，其原因有以下几种：一是数学基础知识不扎实，二是识别数学模型和组织信息的能力训练不够，三是在思考和解决问题中缺乏理念、方向、方法和技巧，四是在探索隐蔽模式显现化过程中缺乏必要的心理素质和技巧。我们在求证数学不等式命题中不必拘泥于某种单一的方法，可根据具体情况灵活选择最简单、最优化的方法，从而达到最佳的证明效果。同时，教师应该把不等式的常见形式归纳总结给学生，使学生