3 微积分问题的计算机求解

2014/11/8 1 第 3 章 微积分问题的计算机求解 薛定宇、陈阳泉著 高等应用数学问题的MATLAB求解 ，清华大学出版社 2004 CAI课件开发：刘莹莹、薛定宇 2014/11/8 2 主要内容 微积分问题的解析解 函数的级数展开与级数求和问题求解 数值微分 数值积分问题 曲线积分与曲面积分的计算 本章要点简介 2014/11/8 3 3.1 微积分问题的解析解 3.1.1 极限问题的解析解 3.1.2 函数导数的解析解 3.1.3 积分问题的解析解 2014/11/8 4 3.1.1 极限问题的解析解 3.1.1.1单变量函数的极限 2014/11/8 5 【 例 3-1】 试求解极限问题 2014/11/8 6 【 例 3-2】 求解单边极限问题 2014/11/8 7 3.1.1.2 多变量函数的极限 2014/11/8 8 【 例 3-3】 求出二元函数极限值 2014/11/8 9 3.1.2 函数导数的解析解 3.1.2.1 函数的导数和高阶导数 2014/11/8 10 【 例 3-4】 syms x %声明 x为符号型变量 f=sin(x)/(x2+4*x+3)； f1=diff(f,x) %计算 1阶导数 pretty(f1) % 数学方式显示 f1=diff(f,x,4) %计算 4 阶导数 2014/11/8 11 x1=0:.01:5； y=subs(f,x,x1)； % subs 将函数 f中的 x用 x1替代，结果赋值给 y y1=subs(f1,x,x1)； plot(x1,y,x1,y1,:) 将具体值代入函数及其导数运算 2014/11/8 12 3.1.2.2 多元函数的偏导 2014/11/8 13 【 例 3-5】 syms x y z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y)； zx=simple(diff(z,x) zxy=simple(diff(zx,y) 2014/11/8 14 【 例 3-6】 2014/11/8 15 3.1.2.4 隐函数的偏导数 2014/11/8 16 【 例 3-8】 2014/11/8 17 3.1.2.5 参数方程的导数 已知参数方程 ，求 【 例 3-9】 2014/11/8 18 3.1.3 积分问题的解析解 3.1.3.1 不定积分的推导 2014/11/8 19 【 例 3-10】 用 diff() 函数求其一阶导数，再积分， 检验是否可以得出一致的结果。 syms x %声明 x为符号型变量 f=sin(x)/(x2+4*x+3)； f1=diff(f,x) %计算 1阶导数 f0=int(f1,x) 2014/11/8 20 对原函数求 4 阶导数，再对结果进行 4 次积分 2014/11/8 21 作业：证明 2014/11/8 22 3.1.3.2 定积分与无穷积分计算 2014/11/8 23 【 例 3-13】 syms x I1=int(exp(-x2/2),x,0,1.5) vpa(I1,70) I2=int(exp(-x2/2),x,0,inf) 2014/11/8 24 【 例 3-15】 3.1.3.3多重积分 问题的 MATLAB求解 一重一重积分（积分函数嵌套使用） 2014/11/8 25 2014/11/8 26 2014/11/8 27 【 例 3-16】 2014/11/8 28 3.4 数值积分问题 3.4.1 由给定数据进行梯形求积 3.4.2 单变量数值积分问题求解 3.4.3 双重积分问题的数值解 3.4.4 三重定积分的数值求解 2014/11/8 29 3.4.1 由给定数据进行梯形求积 2014/11/8 30 2014/11/8 31 3.4.2 单变量数值积分问题求解 2014/11/8 32 【 例 3-29】 方法一： f=(x)2/sqrt(pi)*exp(-x.2)； %定义函数 y=quad(f,0,1.5) %求积分值 方法二 : syms x y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x.2),0,1.5),60) 2014/11/8 33 【 例 3-29】 第三种：匿名函数 (MATLAB 7.0) 第一种，一般函数方法 2014/11/8 34 【 例 3-31】 求解 分段函数，并绘制 : x=0:0.01:2,2+eps:0.01:4,4； y=exp(x.2).*(x2) y(end)=0； y=0,y； x=eps,x fill(x,y,g) 2014/11/8 35 2014/11/8 36 3.4.3 双重积分问题的数值解 2014/11/8 37 【 例 3-33】 求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y)； y=dblquad(f,-2,2,-1,1) 2014/11/8 38 比较 2014/11/8 39 工具箱中的函数，需要专门下载 2014/11/8 40 【 例 3-34】 fh=inline(sqrt(1-x.2/2),x)； fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x)； f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y)； y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps) 2014/11/8 41 【 例 3-34】 解析解方法： syms x y i1=int(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),y,-sqrt(1-x.2/2),sqrt(1-x.2/2)； int(i1,x,-1/2,1) vpa(ans) 2014/11/8 42 3.5 曲线积分与曲面积分的计算 3.5.1 曲线积分及 MATLAB求解 3.5.2曲面积分与 MATLAB语言求解 2014/11/8 43 3.5.1 曲线积分及 MATLAB求解 3.5.1.1 第一类曲线积分 2014/11/8 44 【 例 3-36】 2014/11/8 45 【 例 3-37】 绘制曲线 2014/11/8 46 3.5.1.2 第二类曲线积分 20