社会统计学(卢淑华)-第十三章.ppt

第十三讲方差分析 定类 定距 x y属丌同变量层次 定类 定距是常见的现象 性别 考试成绩地区 平均收入民族 离婚率方差分析 分析或检验总体间均值是否有所不同 而不是方差是否不同 检验所用的手段则是通过方差来进行的 种类 一元方差分析 一个定类变量 二元方差分析三元方差分析 不只一个 第一节一元方差分析 一 方差分析的假定1 与回归的比较 定距 定距 自变量控制后 因变量是一连串的值 yi为随机变量 回归 可以找出自变量与因变量之间的变化方向 方差 自变量取不同类别时 因变量yi的均值是否有所不同 例 回归不方差分析比较 职业声望 受教育程 度 80 18 70605040 1512108 职业 子女数 工人 4人 2 1 3 2 干部 3人 农民 3人 1 2 1 2 3 4 21m 2 方差分析的假定 对因变量分布的必要限制 只有总体分布满足这些限制的条件下 方差分析的讨论才是有意义的 1 等方差性总体中 自变量xi的每一个数值A1 A2 Am对应的因变量yi的分布都具有相同的方差222 注意 1 总体方差相等 样本方差不一定相等 2 来自等总体的样本方差不会相差太远 最大与最小相差不超过2 3倍 3 总体方差可通过样本方差进行点估计 公式 样本容量的加权 n1 1 S12 n2 1 S22 n1 1 n2 1 S2 2 yi的分布为正态形要求每一个Ai所对应的yi分布都呈正态性 与回归一致 总结 yi应满足正态分布 N ui 2 二 方差分析的检验 设 总体自变量A共分为m类 A1 A2 Am 从A1中抽取n1A2 n2 Am nm 则有统计表 A1 A2 Am 2122 m1m2 y1n1 y2n2 y nm m y11y12 yy yy y1 y 2 y m 原假设H0 u1 u2 um备择假设H1 有一个以上类别 其均值不等统计量 BSSRSS F m 1n m F m 1 n m 当F F 时 拒绝原假设当F F 时 接受原假设 总平方和 TSS yij y 组间平方和 BSS yi y ni yi y mnim 统计量的推导不计算 2 2 2 TSS BSS RSS i 1j 1i 1 2i 1j 1 mnii 1j 1 y yij n niyi ij 1 1n 1ni nij 1 总平均值 y 第i类样本的组平均值 yi 统计量的计算还需 观测总数 n ni 例 下列资料 迚行方差检验 教师 n 5 读书数 本 年 81012205 学生 n 5 读书数 本 年 1036125 yij y E1 TSS 2 ij y y RSS 2 E RSS i 当方差分析检验呈显著性后 讨论两变量之间的相关程度 用减少误差比例PRE的方法 E1 不知因变量y与自变量取值A1 A2 Am有关时 预测y所犯的错误 其值为TSS mni 1j 1E2 知道因变量y与自变量取值A1 A2 Am有关后 预测y时所犯的错误 其值等于mn2i 1j 1 2 三 相关比率eta E1 E2 TSS RSS BSSBSS为已经被自变量解释掉的误差 解释掉的误差越大 变量之间的关系越密切 因此 TSS eta2 BSS 例 已知 BSS 3 5RSS 95求eta2 练习 以下资料求eta2 甲地 家庭人口数 67735 乙地 家庭人口数 44535 丙地 家庭人口数 33242 第三节二元方差分析 自变量增加到两个 一 二元方差分析的数学模型 一 两种模型1 自变量A B独立的对因变量发生影响 独立模型 或线性可加性模型 每一观测值yi均为三种以上因素作用的结果 yij y Ai的效果 Bj的效果 ij2 同时考虑A B两变量的交互影响 交互模型 yij y Ai的效果 Bj的效果 AB ij交互作用 ij 二 两种模型对观测值数目的要求1 对独立模型 A共有a种取值 B共有b种取值 对于可能取值a b种搭配 每种情况只要随机抽取一次 组成a b个观测值即可 2 对具有交互作用的模型 如果a b种搭配只进行一次观测 则无法区别数据的变化是由于自变量的交互作用 还是外界未知因素干扰的结果 因此 对于a b种搭配 每种情况至少要观测2次 则总观测数为a b r r 2 A与B两个变量独立 图形是平行线 三 忽略外界干扰因素后的两种模型的图形 01 理想的独立模型yij y Ai的效果 Bj的效果例 教员不同教学方法 A 和不同性格 B 对教学效果的影响 A1 注入式教学法A2 启发式教学法 B1 性格内向B1 性格外向 2 理想的交互模型 yij y Ai的效果 Bj的效果 AB ij交互作用线段失去平衡是变量间存在交互作用的标志 使每种搭配至少测量二次以上 2 rBA 四 实际的模型在存在干扰情况下 ij 上述线段不再是平行线 有三种情况 1 本身为独立模型 其图形为非平行性是由外界随机因素干扰而成的 yij y Ai的效果 Bj的效果 ij2 非平行性是由交互作用引起的 yij y Ai的效果 Bj的效果 AB ij交互作用3 非平行性由交互因素和随机因素引起的 yij y Ai的效果 Bj的效果 AB ij交互作用 ij由于交互影响 长驻 与随机干扰 随机 性质不同 因此 为使交互作用表现出来 必须ij 二 无重复情况下二元方差分析 一 无重复情况下二元方差分析的假定和假设 原假设H0为 1 ai 0 i 1 a 2 i 0 j 1 b 备择假设H1为 参数不全为0 二 方差分析的检验统计量的推导 平方和的分析法 1 样本观测值 T 1T 2 T j B1B2 Bj Bb A1y11y12 A2 Ai y21yi1y22yi2 Aaya1ya2 y1j y 2j y ij yaj y1bT1 y2bT2 yibTi yab i1yij aT j j1yij bTi yi yij a i1yi b j1y j 2 行平均值y j 1a1a y j y 1a1b 1ab 5 总离差平方和TSS2AB y j是A的平均值 因此 A的影响已被抵消 只反映变量B对A的影响 3 列平均值yi 按列将观测值加总求平均1a1b4 总平均值 Ti T 1 BssAbi 1 变量B的离差平方和 已被变量B 剩余平方和 未被A B解释掉的误差 7 BssB 8 Rss 6 BssA 变量A的离差平方和 已被变量A解释掉的错误 2a2ab 解释掉的错误 2b2 Rss 9 变量A的平均离差平方和 10 变量B的平均离差平方和 BssAa 1 BssA a 1为自由度 BssBb 1 BssB b 1为自由度 11 平均剩余误差平方和Rss a 1 b 1 a 1 b 1 为自由度 F b 1 a 1 b 1 FB 统计量 RssRss A FA F a 1 a 1 b 1 F RssBRss根据显著性水平 查附表得 A B若 A A显著即拒绝域 原假设不成立FA A相反 接受域 原假设成立 FB B显著即拒绝域 原假设不成立FB B相反 接受域 原假设成立 ijk相互独立 且有 0 三 重复情况下的二元方差分析 i 备择假设H1 参数不全为0 一 假设与假定除考虑自变量A和B的独立作用外 还要A和B的交互作用 其数学模型为 yijk u ai j a ij ijkk 1 2 r r为ABj每种搭配重复数 2原假设H0 ai 0 j 0 0 a ij T yijk abr y y j 二 重复情况下二元方差分析的检验 对每一种搭配各进行r次重复的独立观测 得到a b r个样本观测值 1 总平均值 1abr2 行平均值 T j ar3 列平均值 yi Ti br Tss BssA BssB T T 4 格平均值 Tr ij yij Rss A B 5 总离差平方和TSS 2yijk y 6 BssA 列间平方和 变量A解释掉的误差 2i brabr BssA BssB T T T T Rss yijk yij 22ij rabr Bss 7 行间平方和 22 j arabr8 交互作用 A B A B Bss BssA BssB 9 剩余误差RSS 2Rss Tss BssA BssB A B 检验的统计量为 H0 a ij 0H1 不全为0统计量 ab r 1 a 1 b 1 FA B A BRss A BRss