《建筑工程制图与识图》(第二版)课件 第3章.ppt

第三章点 直线和平面的投影 同济大学出版社 1 熟练掌握点的三面投影的投影规律及作图方法 2 熟练掌握各种位置直线 平面的投影特性和作图方法 3 会用直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角及线段的实长 4 掌握两直线相互垂直 其中一条直线平行于投影面时的投影特性和作图方法 5 熟练掌握平面内点和直线的投影特性及在平面内定点和直线的作图方法 6 能够利用积聚性求直线与平面的交点和平面与平面的交线 学习目标 1 点的三面投影的投影规律及作图方法 2 用直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角及线段实长的方法 3 用定比的方法确定直线上点投影 4 两直线相互垂直 其中一条直线平行于投影面时的投影特性和作图方法 5 平面内点和直线的投影特性及在平面内定点和直线的作图方法 6 求平面内水平线和平面内正平线的方法 7 利用积聚性求直线与平面的交点和直线与平面的交线 学习重点 3 1点的投影 点的单面投影点的三面投影点的投影规律点的投影与坐标两点的相对位置和重影点 3 1 1点的单面投影 点在某一投影面上的投影 实质上是过该点向投影面所作垂线的垂足 因此 点的投影仍然是点 过空间点A向投影面H作投影线 该投影线与投影面的交点a 即为点A在投影面H上的投影 这个投影是唯一确定的 仅根据点的一个投影还不足以确定点在空间的位置 3 1 2点的三面投影 前章说过 为了表达形体的形状 通常要画出三面投影图 点 作为形体的几何元素 通常也要画出三面投影 a 直观图 b 投影图 3 1 3点的投影规律 1 点A的水平投影a与正面投影a 的连线垂直于OX轴 即aa OX 2 点A的正面投影a 和侧面投影a 的连线垂直于OZ轴 即a a OZ 3 点A的水平投影a到OX轴的距离aax等于点的侧面投影a 到OZ的距离a aZ 即aax a aZ 符合 长对正 高平齐 宽相等 的投影规律 3 1 3点的投影规律 位于投影面上的点也符合三条投影规律 3 1 3点的投影规律 知道点的任何两个投影都能反映出该点到三个投影面的距离 只要给出点的任意两个投影就可以补出第三个投影 即 二补三 作图 例3 1 已知A点的水平投影a和正面投影a 求侧面投影a 例3 1解 1 过a 引OZ轴的垂线a aZ 2 在a aZ的延长线上截取a aZ aax a 即为所求 3 1 4点的投影与坐标 点到某一投影面的距离 等于该点在另一投影面上的投影到相应投影轴的距离 空间点到三个投影面的距离就等于它的坐标 空间点的位置不仅可以用其投影确定 也可以由它的坐标确定 已知三面投影即可求三个坐标 已知三个坐标也可求三面投影 例3 2 已知点A的坐标为 20 10 15 求点A的三面投影a a 和a 例3 2解 1 作出投影轴 即坐标轴 2 在OX轴上截取x 20 得ax 然后过ax作OX轴的垂线 由沿该垂线向前量取y 10 即得点A的水平投影a 向上量取z 15 即得点A的正面投影a 3 过a 引OZ轴的垂线a aZ 从OZ轴向右量取y 10 即得点A的侧面投影a A 20 10 15 例3 3 在立体图中画出点A 20 12 15 的投影及其空间位置 例3 3解 1 画出H V W三投影面的立体图 将V面画成正离的矩形 下边作为OX 右边作为OZ 然后分别以OX和OZ为一边 把H面和W面画成锐角为45 的两个相交平行四边形 交线即OY 例3 3解 2 分别在OX OY OZ上量取Oax 20 Oay 12 OaZ 15 求得ax ay和aZ 分别过ax和ay作OY和OX的平行线 交点即为水平投影a 分别过ax和aZ作OZ和OX的平行线 交点即为正面投影a 分别过ay和aZ作OZ和OY的平行线 交点即为侧面投影a 例3 3解 3 分别过a a a 作OZ OY和OX的平行线 这三条线必交于一点 该点即为空间点A 3 1 5两点的相对位置和重影点 两点的相对位置两点的相对位置是指两点间左右 前后 上下的位置关系可通过比较两点在投影图中同名投影坐标值的大小来判断两点的相对位置比较x坐标的大小 可以判断两点左右的位置关系 x大的点在左 x小的点在右 比较y坐标的大小 可以判断两点前后的位置关系 y大的点在前 y小的点在后 比较z坐标的大小 可以判断两点上下的位置关系 z大的点在上 z小的点在下 3 1 5两点的相对位置和重影点 两点的相对位置A点的x坐标小于B点的x坐标 所以A点距W面较近 A点在B点的右方 A点的y坐标大于B点的y坐标 所以A点距V面较远 A点在B点的前方 A点的z坐标大于B点的z坐标 所以A点距H面较远 A点在B点的上方 综合A B两点三个坐标大小的比较 可以判定A点在B点的右前上方 例3 4 已知点A的三个投影 另一点B在点A上方8mm 左方12mm 前方10mm 求点B的三面投影 例3 4解 1 在a 左方12mm 上方8mm处确定b 2 过b 作OX轴的垂线 在其延长线上a前10mm处确定b 3 根据三面投影关系求得b 3 1 5两点的相对位置和重影点 重影点及其投影的可见性若空间两点位于某一投影面的同一条投影线上 则它们在该投影面上的投影必然重合 这两点投影称为该投影的重影点 ghostimagepoint 水平投影重合的两个点 叫水平重影点 正面投影重合的两个点 叫正面重影点 侧面投影重合的两个点 叫侧面重影点 3 1 5两点的相对位置和重影点 重影点投影可见性的判别方法对水平重影点 观者从上向下看 上面一点看得见 下面一点看不见 上下位置可从正面投影或侧面投影中看出 对正面重影点 观者从前向后看 前面一点看得见 后面一点看不见 前后位置可从水平投影或侧面投影中看出 对侧面重影点 观者从左向右看 左面一点看得见 右面一点看不见 左右位置可从正面投影或水平投影中看出 3 1 5两点的相对位置和重影点 3 2直线的投影 直线投影图的作法各种位置直线的投影特性一般位置直线的实长和倾角直线上的点两直线的相对位置 3 2 1直线投影图的作法 两点可以确定一条直线 直线的投影可以由直线上任意两点的投影决定 若已知直线上的点A a a a 和点B b b b 那么就可以画处直线AB的投影图 3 2 2各种位置直线的投影特性 1 投影面平行线平行于一个投影面倾斜于另两个投影面的直线 称为投影面平行线 Parallelline 与H面平行的直线称为水平线 与V面平行的直线称为正平线 与W面平行的直线称为侧平线 3 2 2各种位置直线的投影特性 3 2 2各种位置直线的投影特性 投影面平行线的特性 1 直线在所平行的投影面上的投影反映实长 此投影与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的夹角实形 2 直线在另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴 但不反映实长 例3 5 已知直线AB的水平投影ab 并知AB对H面的倾角为30 A点距水平投影面H为5mm A点在B点的左下方 求AB的正面投影a b 例3 5解 1 过a作OX轴的垂直线aax 在aax的延长线上截取a ax 5mm 2 过a 作与OX轴成30 的直线 与过b作OX轴垂线bbx的延长线相交 因点A在点B的左下方 得b 3 2 2各种位置直线的投影特性 2 投影面垂直线垂直于某一投影面的直线 称为投影面垂直线 verticalline 与H面垂直的直线称为铅垂线 与V面垂直的直线称为正垂线 与W面垂直的直线称为侧垂线 3 2 2各种位置直线的投影特性 3 2 2各种位置直线的投影特性 投影面垂直线的特性1 直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点 2 直线在另两个投影面上的投影 垂直于相应的投影轴 且反映线段的实长 3 2 2各种位置直线的投影特性 3 一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线叫一般位置直线 generalpositionline 特点 1 直线的三个投影均倾斜于投影轴 2 直线的三个投影与投影轴的夹角 均不反映直线与任何投影面的倾角 和 均为锐角 3 各投影的长度小于直线的实长 3 2 3一般位置直线的实长和倾角 1 求直线段对H面的倾角 及实长按照投影求出直线与投影面的倾角及线段的实长 通常将这种方法称为直角三角形法 只要求出直角 AA0B的实形 即可求得AB对H面的倾角 及其实长 3 2 3一般位置直线的实长和倾角 作法 1 1 过b 作OX轴的平行线与aa 交于a 1 则a a 1等于A B两点到H面的距离之差 2 过a作ab的垂线 在该垂线上截取aA0 a a 1 连接bA0 则 A0ba即为AB对H面的倾角 A0b AB T L 3 2 3一般位置直线的实长和倾角 作法 2 1 过b 作OX轴的平行线与aa 交于a 1 则a a 1即为A B两点到H面的距离之差 2 在b a 1的延长线上截取a 1B0 ab 并连接a B0 则 a 1B0a 即为AB对H面的倾角 a B0 AB T L 3 2 3一般位置直线的实长和倾角 2 求直线段对V面的倾角 及实长只要求出直角 AB0B的实形 即可求得AB对V面的倾角 及其实长 AB的正面投影a b 已知 B A两点到V面的距离之差 可由其水平投影求得 由此即可作出直角 AB0B 的实形 3 2 3一般位置直线的实长和倾角 作法 1 1 过a作OX轴的平行线与b b交于b1 则bb1等于B A两点到V面的距离之差 2 过b 作a b 的垂线 在该垂线上截取b B0 bb1 连接a B0 则 B0a b 即为AB对V面的倾角 a B0 AB T L 3 2 3一般位置直线的实长和倾角 作法 2 1 过a作OX轴的平行线与b b交于b1 则bb1等于B A两点到V面的距离之差 2 在ab1的延长线上截取b1A0 a b 并连接b A0 则 bA0b1即为AB对V面的倾角 bA0 AB T L 例3 6 已知直线AB的正面投影a b 和点A的水平投影a 并知AB 25mm 点B在点A之后 求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角 例3 6解 1 以a b 为一直角边 以25mm为斜边 作一直角 A0a b 则A0a YA YB 它所对的 A0b a 2 过b 作OX轴的垂线 过a作OX轴的平行线 两者交于b1 然后从b1沿OX轴的垂线向上截取b1b YA YB 因为B点在A点之后 即得b 3 连接a b 即得AB直线的水平投影ab 例3 7 已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a 并知AB对H面的倾角 30 点B在点A之上 求AB的正面投影a b 例3 7解 1 以ab为一直角边 作一锐角为30 的直角 B0ba 则B0b等于A B两点到H面的距离之差ZB ZA 2 过b作OX轴的垂线 过a 作OX轴的平行线 两者交于b 1 然后从b 1沿OX轴的垂线向上截取b 1b ZB ZA 因为B点在A点之上 即得b 3 连接a b 即得AB直线的正面投影a b 例3 7 已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a 并知AB对H面的倾角 30 点B在点A之上 求AB的正面投影a b 3 2 4直线上的点 点在直线上 其各面投影必在直线的同名投影上 且符合点的投影规律 直线上的点分直线段所成的比例等于点的投影分直线段同名投影所成的比例 例3 8 在直线AB上找一点K 使AK KB 2 3 例3 8解 1 过a任作一直线 并从a起在该直线上任取五等分 得1 2 3 4 5五个分点 2 连接b 5 再过分点2作b5的平行线 与ab相交 即得点K的水平投影k 3 过k作OX轴的垂线 与a b 相交 即得点K的正面投影k 则a k k b ak kb 2 3 例3 9 判定图示的点K 是否在侧平线AB上 例3 9解 作图方法一 用定比性来判定 1 在水平投影上过b任作一直线 取bk1 b k k1a1 k a 2 连接a1 a 过k1作a1a的平行线 它与ab的交点不是k 这说明a k k b ak kb 由此可判定点K不在直线AB上 例3 9解 作图方法二 用直线上点的投影规律来判定 分别补出点K和直线AB的侧面投影k 和a b 可以看出k 不在a b 上 由此也可判定点K不在直线AB上 3 2 5两直线的相对位置 1 两直线平行空间两直线相互平行 则它们的同名投影也相互平行 且同名投影的长度之比等于空间两线段的长度之比 若判别两直线是否平行 一般只要看它们的正面投影和水平投影是否平行 3 2 5两直线的相对位置 1 两直线平行两直线均为某投影面平行线时 应从直线在所平行的投影面上的投影来判定是否平行 3 2 5两直线的相对位置 2 两直线相交空间两直线相交 则它们的同名投影必定相交 而且各同名投影的交点就是两直线空间交点的同名投影 只要任意两个同面投影的交点的连线垂直于相应的投影轴 就可判定这两条直线在空间一定相交 3 2 5两直线的相对位置 2 两直线相交当两条直线中有一条直线是投影面平行线时 应利用直线在所平行的投影面内投影来判断两直线是否相交 3 2 5两直线的相对位置 3 两直线交叉两直线即不平行也不相交 称为两直线交叉 两种表现形式 同面投影可表现为有一个或两个同面投影互相平行 但不可能有三个同面投影互相平行 表现为有一个 两个甚至三个同面投影相交 但三个同面投影的交点不符合一个点的三面投影规律 3 2 5两直线的相对位置 3 两直线交叉在投影图上 如果两直线有两同面投影相交 而交点的连线不垂直于相应的投影轴 则空间这两直线一定交叉 3 2 5两直线的相对位置 3 两直线垂直对于直角 只要有一边平行于某一投影面 则该直角在该投影面上的投影仍然是直角 反之 如果两直线的某一投影面互相垂直 而且其中有一条直线平行于该投影面 则这两直线在空间一定互相垂直 例3 10 过点C作直线CD 使之与直线AB平行 并使AB CD 3 2 例3 10解 1 过c和c 分别作cd ab c d a b 2 过a任作一直线 截此直线为三等分 等分点为1 2 3 3 连b3 过2作e2 b3 交ab于e 求出e 4 在cl上取cd ae 在c l 上取c d a e 例3 11 作一条水平线MN与直线AB和CD相交 且距水平投影面H的距离为l 例3 11解 1 在正面投影图上 距离OX轴l作OX轴的平行线 分别与a b 和c d 交于n 和m 2 过n 和m 作OX轴的垂线分别交ab于n 交cd于m 3 连接nm 即为所求 例3 11解 1 在正面投影图上 距离OX轴l作OX轴的平行线 分别与a b 和c d 交于n 和m 2 过n 和m 作OX轴的垂线分别交ab于n 交cd于m 3 连接nm 即为所求 例3 12 过点A作直线AB与水平线CD相交垂直 例3 12解 1 过a作cd的垂线 与cd相交于b 2 过b作OX轴的垂线 与c d 相交于b 连接b a 即得AB的正面投影a b 例3 13 已知矩形ABCD的一边平行于面 根据图中所给的投影 补全该矩形的两面投影 例3 13解 1 过a作ab的垂线 过c 作OX轴的垂线 这两条直线的交点 即为点C的水平投影c 2 过b和c分别作ac和ab的平行线 这两直线的交点 即为点D的水平投影d 3 过b 和c 分别作a c 和a b 的平行线 这两直线的交点 即为点D的正面投影d 3 3平面的投影 平面的表示方法各种位置平面的投影特性平面上的点和直线平面内的特殊位置直线直线与平面相交 平面与平面相交 3 3 1平面的表示方法 1 不在同一条直线上的三个点 2 一直线和线外一点 3 两平行直线 4 两相交直线 5 平面图形 即平面的有限部分 例如三角形等 3 3 2各种位置平面的投影特性 1 投影面平行面 与一个投影面平行的平面 1 平面在它平行的投影面上的投影反映实形 2 平面的其他两个投影积聚成线段 并且平行于相应的投影轴 3 3 2各种位置平面的投影特性 3 3 2各种位置平面的投影特性 2 投影面垂直面 与一个投影面垂直的平面 1 平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线 并且该投影与投影轴的夹角等于该平面与相应投影面的倾角 2 平面的其他两个投影不是实形 但有相仿性 3 3 2各种位置平面的投影特性 3 3 2各种位置平面的投影特性 3 一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面 均不反映实形 也无积聚性 但具有原图形的相仿性 3 3 3平面上的点和直线 1 平面上的点如果点在平面上的某一直线上 则此点必在该平面上 3 3 3平面上的点和直线 2 平面上的直线如果直线经过平面上两个点 或经过平面上一点 且平行于平面上的一条直线 则此直线必定在该平面上 欲在平面内取点 需先在平面内取线 欲在平面内取线 又需先在平面内取点 例3 14 已知 ABC平面上点M的正面投影m 求它的水平投影图m 例3 14解 法1 1 在正面投影上过a 和m 作辅助线a m 并延长与b c 相交于d 2 自d 向下引OX轴的垂线 与bc相交于d 连ad 3 自m 向下引OX轴的垂线 与ad相交于m m即为所求 例3 14解 法2 1 过m 作辅助线e f 使e f a c 并与b c 相交于e 2 自e 向下引OX轴的垂线 与bc相交于e 作ef ac 3 自m 向下引OX轴的垂线 与ef相交于m m即为所求 例3 15 已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和两邻边AB BC的正面投影a b 和b c 试完成该四边形的正面投影 例3 15解 1 连接A C两点的同面投影a c和a c 2 连接B D两点的水平投影b d 与ac相交于e 3 过e向上作OX轴的垂线 与a c 相交于e 连接b e 4 自d向上作OX轴的垂线 与b e 的延长线相交得d 连接a d 和d c 完成作图 3 3 4平面内的特殊位置直线 1 平面内的正平线和水平线平面内平行于V的直线 称为平面内的正平线 平面内平行于H的直线 称为平面内的水平线 图中A1为正平线 a 1 反应实长 C2为水平线 c2反应实长 3 3 4平面内的特殊位置直线 2 平面内的最大斜度线平面内对投影面的最大斜度线是指该平面内对该投影面倾角最大的某一条直线 平面内对投影面的最大斜度线必垂直于平面内的该投影面的平行线 例3 16 求平面 ABC对H面的倾角 例3 16解 1 过c 引c d OX轴交a b 于d 求出cd CD为 ABC内的水平线 2 过b作bk cd交cd于k 求出b k BK即为平面对H面的最大斜度线 3 以bk为一直角边 以B K两点的z坐标差为另一直角边作直角三角形 bkk0 则直角三角形中斜边bk0与bk的夹角为BK对H面的倾角 该倾角 即为所求 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 直线与平面相交有一个交点 交点是公共点 它即在直线上又在平面上 平面与平面相交有一条交线 交线是两平面的公共线 即同时位于两个平面上 求交点 交线 利用共有性求解 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 1 特殊情况相交参与相交的无论是直线还是平面 至少有一个元素对投影面处于特殊位置 它在该投影面上的投影有积聚性 利用积聚性可以直接确定交点或交线的一个投影 而后再利用线上定点或面上定点的方法求交点的第二个投影 利用面上定线的方法求出交线的第二投影 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 1 特殊情况相交 直线与平面相交直线与平面相交后 直线便从平面的一侧到了平面的另一侧 以交点为分界 假定平面是不透明的 则沿投射方向观察直线时 位于一般直线与铅垂面相交面两侧的直线 一侧直线看得见 另一侧直线则被平面遮挡而看不见 这就有判别可见性的问题 看得见的直线画成粗实线 把看不见的直线画成虚线 交点是可见与不可见的分界点 例3 17 求一般位置直线AB与铅垂面P的交点K 例3 17解 1 在直线AB的水平投影ab和平面的积聚投影p的交点处标出交点的水平投影k 2 自k向上作OX轴垂线 与直线AB的正面投影a b 交于k k 为交点的正面投影 ak在p面之前 所以其正面投影a k 为可见 b k 与p 重影部分为不可见 例3 18 已知铅垂线MN和一般位置平面 ABC相交 求它们的交点K 例3 18解 1 在铅垂线MN的水平积聚投影m n 上 标出交点K的水平投影k 2 在平面内过k点作辅助线ad 并作出它的正面投影a d a d 与m n 的交点k 即交点K的正面投影 从水平投影可以看出 ab上的点2在后 mn上的点1在前 故k n 为可见 m k 和 a b c 的重影部分为不可见 画虚线 例3 18解 1 在铅垂线MN的水平积聚投影m n 上 标出交点K的水平投影k 2 在平面内过k点作辅助线ad 并作出它的正面投影a d a d 与m n 的交点k 即交点K的正面投影 从水平投影可以看出 ab上的点2在后 mn上的点1在前 故k n 为可见 m k 和 a b c 的重影部分为不可见 画虚线 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 1 特殊情况相交 平面与平面相交积聚投影与一般位置平面水平投影重合部分 即为交线的投影 而交线的另一投影必在该平面的另一投影上 平面与平面相交也有可见性问题 例3 19 求作铅垂面 ABC与一般位置平面 EFG的交线MN 例3 19解 1 在铅垂面的积聚投影 abc上标出交线MN的水平投影mn 端点M和N实际上是GF边和GE边与 ABC平面的交点 2 自m和n分别向上作OX轴的垂线 与g f 和g e 相交于m 和n 3 连接m n m n 即为交线MN的正面投影 e f g 的g m n 部分在铅垂面的后面 被铅垂面遮挡的部分为看不见 e f g 的e f m n 部分在铅垂面的前面 未被遮挡为看得见 例3 20 求作水平面 ABC与正垂面P的线MN 例3 20解 1 在水平面 ABC的正面投影 a b c 与正垂面P的正面投影p 的交点处标注出两平面交线MN的正面投影m n 2 过m n 向下作轴的垂线 垂线在 abc与p的重影部分范围内的线段mn 即是交线MN的正面投影 MNAB在平面P的下方 MNC在平面P的上方 所以mnab与p重影部分为不可见 mnc和p重影部分为可见 交线mn为可见 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 1 特殊情况相交当两个铅垂面相交 其交线为一铅垂线 两铅垂面的水平投影有积聚性 而交线具有共有性 所以积聚投影的交点即为交线的水平投影 交线是一条铅垂线 同理 两个正垂面相交 交线为一条正垂线 两个侧垂面相交 交线为一条侧垂线 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 2 一般情况相交一般情况相交 是指参与相交的无论是直线还是平面在投影体系中均处于一般位置 投影无积聚性 直线与平面交点投影 平面与平面交线的投影不能利用积聚性求出 可通过作辅助面的方法求出交点或交线的投影 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 2 一般情况相交 直线与平面相交通过辅助平面法求交点 具体分为三个步骤 过已知直线作一辅助平面 为使作图简单 辅助平面应选择投影面的垂直面 如正垂面 铅垂面等 求出辅助平面和已知平面的交线 已知直线和上述交线的交点 即为与平面的交点 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 2 一般情况相交 直线与平面相交例 求直线EF和平面 ABC的交点投影 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 2 一般情况相交 直线与平面相交a 包含直线EF作铅垂面P 则铅垂面P的水平投影PH与ef重合 b 求出平面P与平面 ABC的交线MN 因为铅垂面P的水平投影具有积聚性 直接定出mn 再求出m n c 交线的正面投影m n 和直线EF的正面投影e f 的交点k 即为交点的正面投影 过k 向下作OX轴垂线和直线EF的水平投影ef相交 求出交点的水平投影k 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 2 一般情况相交 直线与平面相交因为直线EF和平面 ABC均处于一般位置 H面 V面投影均要分别判断可见性 先判断正面投影的可见性 再判断水平投影的可见性 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 2 一般情况相交 平面与平面相交两面相交的交线是两面的共有线 只要作出两一般位置平面的两个公有点 连接起来就是该两面的交线 由于两一般位置平面的位置各有不同 它们的交线有全在一个面的轮廓之内的 也有互相穿插的 也有在两平面图形之外的 求交线的方法有线面交点法 辅助平面法等 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 2 一般情况相交 平面与平面相交 线面交点法求交线在两平面相交时 选取两根直线 分别与另一平面相交 求出它们的交点 连接起来 即为所求的交线 例3 21 求平面 ABC和 DEF的交线MN 例3 21解 1 求 DEF的DE与 ABC的交点M 2 求 DEF的DF与 ABC的交点N 3 连接m n和m n 直线MN即为两平面的交线 判断可见性 3 3 5直线与平面相交 平面与平面相交 2 一般情况相交 平面与平面相交 辅助平面法求交线相交两平面在图形有限范围内不相交 为求交线用辅助平面法求它们的交线 为方便作图 两辅助平面可选用平行的两个投影面平行面或投影面垂直面 例3 22 已知平面ABDC和平面GEF 求出它们的交线MN