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时域平均法摘要 在回转和往复机械和电气设备的状态监测和故障诊断中,时域平均法可有效衰减与回转频率无关的干扰，提取与工作状态直接相关的周期信号，是一种非常有用的信号分析和预处理技术。本文在提出时域平均法背景的基础上阐明了时域平均法的原理，同时实例分析了电机的运行状态，并且对时域平均法结果进行探讨，表明了这一技术的有效性和可行性。最后在以上原理的基础上分析了时域平均法存在的误差。0.引言回转和往复机械和电气设备在运行过程中,反映其运行状态的各种信号是随机器运转而周期性重复的,其频率是机器回转频率的整倍数。但这些信号又往往被伴随产生的噪声干扰,在噪声较强时,不但信号的时间历程显示不出规律性,而且由于常用的谱分析不能略去任何输入分量,在频谱图中这些周期分量很可能被淹没在噪声背景中。因此我们引用了时域平均法来去除噪声，提取感兴趣的周期分量。1.时域平均法时域平均是从混有噪声的复杂周期信号中提取感兴趣周期分量的常用方法，可以消除与给定频率(如某轴的回转频率) 无关的信号分量，包括噪声和无关的周期信号，提取与给定频率有关的周期信号，因此能在噪声环境下工作，提高分析信号信噪比。时域平均的基本原理如图1所示，经过滤波后的原始信号, 用适当的周期T 截取N段，进行时域信号平均后输出。周期T可根据实际结构的运行规律定出, 也可对信号求其自相关系数原理定出。图1. 时域平均的原理图2所示是截取不同的段数N进行时域平均的效果。由图可见，虽然原来信号(N=1)的信噪比很低，SNR=0.5,但经过多段平均后，信噪比大大提高。当N=256段时，可以得到几乎接近理想的正弦信号。而原始信号中的正弦分量，几乎完全被其它信号和随机噪声所淹没。对于旋转机械或往复机械运行中所产生的带有周期重复性的机械信号x(t)，如果x(t)由周期信号f(t)和白噪声n(t)组成，即 (1)以f(t)的周期T去截取信号x(t)，共截得N段，然后将各段对应点相加，由于白噪声的不相关性，可得到 (2)再对x(ti)平均，便得到输出信号y(ti)N=1 (3)N=4此时输出的白噪声是原来输入信号x(t)N=16中的白噪声的，因此信噪比提高N=64倍。下面是对此结论的分析。采用时域平均法提取周期分量f(t)，也可看作是梳状滤波器进行滤波的过N=256程。以为时间间隔对x(t)进行离散采样，得到离散值x(n)，n=0,1,2,。设N为叠加、平均的周期段数目，图2. 用时域平均法提高信噪比M为一个周期中的采样数目，为采样间隔。x(n)为滤波器的输入，则滤波器的输出y(n)为，n=(N-1)M，(N-1)M+1，NM-1 (4)对（4）式进行z变换，设y(n)，x(n)的z变换为Y(z)，有 (5)滤波器的传递函数H(z)为 (6)令，且有周期T=M=，传递函数H(z)的幅值响应为 (7)传递函数H(z)的相位为= (8)当时，K=0,1,2，为正整数，也就当频率f是f0的整数倍，即周期T是各次谐波的公共周期，对于这些周期性的谐波分量，梳状滤波器传递函数的增益在的值可由洛必达法则求得： (9)可见时域平均过程等价于具有中心频率，也就是的梳状滤波器。图3是滤波器关于频率的幅值响应曲线的形状。由(7)式可知滤波器的极点数目等于N-1（当N为偶数）或（当N为奇数），滤波器的零点数目等于N（当N为偶数）或N-1（当N为奇数）。图3是N=4和N=8的曲线形状。当，K=0，1,2，时图3. 梳状滤波曲线形状的幅值响应的值称为滤波器主瓣峰值，此时=1。滤波器有一个主瓣和若干个旁瓣，第一个旁瓣的峰值等于0.212，第二个旁瓣的峰值等于0.128，第三个等于0.091，第四个等于0.058等等。梳状滤波器在频域里抑制了白噪音n(t)，通过滤波器后的等价噪音带宽（ENB）随着N的增大而减小。我们知道输出功率谱密度Sy(f)与输入功率谱密度Sx(f)之比等于滤波器传递函数H模的平方 （10）通过滤波器后的噪音能量的改变，即ENB为 (11)由于时域平均时，截取信号段的周期为T，即频率为f0，所以，的范围为-0.5,0.5，并令，(11)式积分用(7)式代入有 (x=) (12)通过时域平均，从方差意义上讲，使平均后的噪音缩小了N倍，相当于输出的噪音是输入噪音的1/。因此梳状滤波器抑制了白噪音，提高了信噪比。2.实例分析实验选用一级直齿齿轮箱，用电机带动齿轮箱进行旋转。电机转速为1600r/min，频率为28Hz。在实际中，要把经过时域平均后的信号和普通信号的时域谱图和做FFT变换后的谱图做具体对比。没有经过时域平均的振动信号如图所示，经过时域平均的振动信号的时域频谱如图5所示。图5 经过时域平均后的振动信号图4 没有经过时域平均的振动信号经过对比可以发现，没有经过时域平均的振动信号的相位不够明显，里面包含很多的杂质，对这种信号进行分析处理后所得结果不够准确。经过时域平均时后信号中的与基频无关的信号会被过滤掉。图中所显示的谱图相位明显清晰，符合实验要求。把两种时域波形同时进行FFT分析处理，得到结果如图6所示。图6 时域平均前后对比图形图中上曲线表示没有进行时域平均的信号经过快速傅里叶变换后的结果，下曲线表示振动信号经过时域平均后做FFT 处理得到的结果。我们可以观察到是否经过时域平均对信号的基频没有任何影响，而在其它区域，上曲线的值都要比下曲线高出很多，也就是说，如果有故障发生，其振动特点更能在时域同步平均后的曲线中被发现，而如果没有进行时域同步平均处理，故障就很容易被较高频率的噪声淹没掉。所以通过这个实例说明经过时域平均处理能够很好地去除高频的干扰和噪声对整体的影响。3.误差分析离散序列x(n)时域平均时的截取长度M,由其中人们感兴趣的周期分量的周期T和采样间隔t确定,确切地说当M取T /t时就近取整值。感兴趣分量的周期T在实际中有办法事先精确确定,一般情况下总有MT/t ,即总有截取误差T= T- T0 (T0=t )存在。T的存在,对用时域平均方法提取信号中感兴趣的周期分量及倍频分量将有影响。下面首先讨论时域平均方法抑制非感兴趣周期分量的原理。在此基础上,探讨截取误差T对时域平均结果的影响及合理平均段数的确定。式( 1)为离散序列的时域平均公式,离散信号与连续信号时域平均的本质一样,为了方便起见,这里用连续信号来研究。设连续信号x(t)中含有非感兴趣的周期分量xi(t) =sin(2fit+ Qi ) ,其周期记为Ti ,角频率记为ki ,现把信号x(t)按其中的感兴趣周期分量的周期T (角频率记为k)连续截取N 段进行时域平均处理,则分量xi(t)平均后结果为 (13)令，则 (14)其中 ,从式(14)可知，非感兴趣周期分量xi(t)时域平均后信号频率保持不变,幅值乘了一个因子C,相位发生了的相移。式(14)提供了C和的一种算法,但这种算法还不能直观看出时域平均后非感兴趣周期分量xi(t)是否被衰减抑制。式(13)为连续信号的时域平均公式,对其两边取拉氏变换,可求得连续信号时域平均处理的传递函数,易知其幅频响应和相频响应与式(7)式(8)在形式上完全相同, xi(t)经时域平均后的衰减因子C可以这样求 (15)将ki/k就近取整为K，显然有，另有 (16)易推出,ki /k在区间-0.5,0.5取值,C为ki/k的偶函数；当ki= 0时,即ki 等于k或k的整数倍的特殊情况下,C= 1,也就是说时域平均对感兴趣周期分量及其倍频分量不衰减。图7示出了N= 10和N= 30两种截取段数下衰减因子C 随ki/k的变化情况。从图中图7. 两种平均段下衰减因子C随的变化情况可直观看出,随着|ki|的增大,频率为ki 的非感兴趣周期分量呈振荡衰减趋势；一般情况下,对同一个|ki|,截取平均段数N 越大,则衰减越大、即C越小。 前已述及,离散序列时域平均中,若截取长度为M,而人们感兴趣分量的周期为T,则存在截取误差T= T- T0 ( T0= M0t ,t为采样间隔) ,且有|T|t/2。由于T的存在,在实际平均处理中并没有以感兴趣分量的周期T为截取周期,而以T0为实际截取周期,因此,以T为周期的感兴趣分量就象非感兴趣周期分量一样在平均中将被衰减抑制。其衰减程度C当然可按式(15)计算,取式(15)中N 为截取平均段数,k= k0= 2/T0 ,ki=/T 即可。截取误差很小,但时域平均中对感兴趣分量的衰减可能很大。不妨设有信号x(t),对x(t)200 Hz采样得到的离散序列x(n)进行时域平均处理,其中感兴趣的信号分量为一正弦波、频率17. 3 Hz。这里,截取长度应为M= 12(200/17.3的就近取整值) ,t= 0.005s,则k= 2/(Mt) ,ki=217. 3。把k和ki代入式(15) ,则每给一个平均段数N ,就可以算出对应的衰减因子C ,表1列出了不同平均段数N 对应的衰减程度C。可以看出,随着N 的增大,欲提取的17. 3 Hz感兴趣分量很快衰减；当N = 6时,其衰减到原来的1%不到、就是混入原信号中的白噪声也不会衰减这么多,因此说N= 6时没有达到时域平均的目的。本例说明,截取误差T的影响是不容忽视的。在T存在的情况下,并非平均段数N 取得越大越好。一般情况下,在截取误差T确定后,用于平均的截取段数越多,则信号衰减会越大。因此,为了抑制非感兴趣周期分量和白噪声时不致使感兴趣分量衰减过多,必须选择合适的平均段数N。不妨认为,使感兴趣分量衰减因子不小于/2的最大的平均段数N 为合理的平均段数。可以通过式(15)计算出合理的平均段数,具体方法是: 开始令N= 2,计算感兴趣分量的衰减因子C,然后让N+ 1N 再计算下一个C,这样一直搜索到C不小于/2的最大平均段数N 为止。4.总结时域平均作为一种在线监测和故障诊断的方法，它有以下特点：时域平均的结果是时域曲线或图形, 直观、明了。时域平均对于那些非正弦型的周期或准周期信号的处理更有效。时域平均方法具有提取正弦周期分量的功能, 是在时域内进行频率分析的一种理想方法。参考文献1何正嘉,刘雄,屈梁生.信号时域平均处理原理和应用.信号处理,1986; 2(4):236- 2432罗德扬时域同步平均原理与应用J振动、测试与诊断,1999，19(3):202-2073刘红星,林京,屈梁生.信号时域平均处理中的若干问题探讨.1997(04)4绍毅敏,周晓君,欧家福变周期信号的时域同步平均新算法J.振动工程学报,2009，22