系统预测5(马尔科夫预测法).ppt

46 1 马尔科夫预测法 马尔科夫方法的基本原理案例分析 10A 46 2 马尔科夫预测法 马尔科夫预测法是预测技术中一种重要的方法不需要大量的统计资料 只需近期资料就可进行预测 既可用于短期预测 也可用于长期预测 46 3 马尔科夫方法的基本原理 1 基本概念2 状态转移概率矩阵3 稳态概率矩阵 46 4 引例 假设一片树林里共有n棵树 一只松鼠随机地从某棵树跳到另一棵树 我们可以把松鼠的运动看作是一个随机运动系统 在时刻t 松鼠所在的那棵树 可称为松鼠所处的状态 n棵树则表示共有n个状态 由此 可以引出以下概念 基本概念 46 5 基本概念 1 随机运动系统如果系统在任何时刻上的状态是随机的 则变化过程就是一个随机过程 这个系统就是随机运动系统 2 状态随机变量为了表示一个随机运动系统在变化过程中的状态 可以用一组随时间过程而变化的变量来描述 这个变量称为状态随机变量 46 6 设有一个随机运动系统处于的状态为i i 1 2 n 它只能在时刻t t 1 2 m 上改变它的状态 则状态随机变量 系统所取状态的集合 称为状态空间 即表示在时刻t 系统处于状态i Xt i 46 7 马尔科夫发现 对于实际存在的随机运动系统系统在每一时刻 或每一步 的状态 仅仅取决于前一时刻 或前一步 的状态 而与过去的其它状态无关 这个性质称为无后效性例如 松鼠下一步将处于什么状态 将跳到哪棵树上 只与它现在所处的状态 现在所处的那颗树 有关 而与它以前的状态 以前曾在的树 无关具备无后效性的离散型随机过程 称为马尔科夫链 简称马氏链 或称时间和状态均离散的马尔科夫过程 3 马尔科夫链 46 8 基本概念 4 状态转移即状态变化 当系统的变量从一个特定值变化到另一个特定值 就表示系统由一个状态转移到另一个状态 从而实现了状态转移 5 转移概率系统状态的变化 转移 是随机的 用概率来描述系统从某种状态转移到各种状态的可能性大小 这种概率称为状态转移概率 简称转移概率 46 9 转移概率中最重要的是一步 次 转移概率 表示为 其中 pij 1 表示系统从状态i到状态j的一步转移概率 1 表示一步 pij 表示系统从状态i经过一步转移到状态j的概率 P Xm 1 j Xm i 表示在时刻m的系统状态为i的条件下 转移到 发生 在时刻m 1的系统状态为j的条件概率 马尔科夫链的任何k步转移概率都可由一步转移概率求出 46 10 若系统有n个状态 则系统全部一步转移概率的集合所组成的矩阵 称为一步状态转移概率矩阵 简称状态转移概率矩阵 状态转移概率矩阵 1 一步状态转移概率矩阵 表示为 46 11 pij 0i j 1 2 n 满足 这两个性质的行向量称为概率向量 由概率向量构成的方阵称为概率矩阵转移矩阵必是概率矩阵 状态转移概率矩阵的性质 如果A和B均是概率矩阵 则AB也是概率矩阵 如果A是概率矩阵 则An也是概率矩阵 46 12 状态转移概率矩阵一般是指一步状态转移概率矩阵实际工作中往往需要预计今后第k个时刻系统的状态 需要求出系统的k步状态转移概率矩阵 2 K步状态转移概率矩阵 记k步状态转移概率矩阵为P k 则 即系统的k步状态转移概率矩阵可由k 1步状态转移概率矩阵乘上一步状态转移概率矩阵求得 也可由一步状态转移概率矩阵的k次方求得 46 13 例若 则 46 14 定义 一个概率矩阵P 若它的某个m m为正整数 次方Pm的所有元素都为正数 即无负数和0 则称P为正规概率矩阵 稳态概率矩阵 1 正规概率矩阵 例判断下列矩阵是否为正规概率矩阵 46 15 所以 是正规概率矩阵 解 所以 不是正规概率矩阵 因为 对于任何正整数m 都有 46 16 定义 任一非零概率向量u u1 u2 un 乘以概率矩阵P后 其结果仍为u 即 2 固定概率向量 则称u为P的固定概率向量 或特征向量 uP u 例如 因为 所以 u是P的一个固定概率向量 46 17 设P是正规概率矩阵 则已被证明 P恰有一个固定概率向量u 且u的所有元素都是正数 P的各次方组成的序列 P P2 P3 趋于方阵T 且T的每一个行向量都是固定概率向量 若pi为P的任一概率向量 则向量序列 piP piP2 piP3 都趋于固定概率向量u 3 正规概率矩阵的性质 46 18 若马氏链的状态转移矩阵为正规概率矩阵 当转移步数k足够大时 k步转移矩阵将趋向某一方阵T 即 4 稳态概率矩阵 则称方阵T为稳态概率矩阵 根据定义很难求出稳态概率矩阵T 但由正规概率矩阵的性质可知 稳态概率矩阵T的每一个行向量都是固定概率向量u 因此 求出状态转移矩阵的固定概率向量u 可以进而得到稳态概率矩阵T 46 19 例求下列正规概率矩阵的稳态概率矩阵T 解 因为 所以P为正规概率矩阵 46 20 第 步 先求固定概率向量 设P的唯一固定概率向量为 根据固定概率向量的定义有 即 46 21 根据概率向量的定义有 得到 将u3代入 式得 将u1 u3代入 式得 所以 46 22 第二步 求稳态概率矩阵T 根据正规概率矩阵的性质 可知 从该例可见 如果系统经过较长时间的运行 即转移步数k足够大 后 不管系统的初始状态如何 从各状态转移到某状态的概率都是相等的 这种稳定的转移概率 称为稳态概率 46 23 分析思路 机器的运行存在正常和故障两种状态 由于出现故障带有随机性 故可将机器的运行看作一个状态随时间变化的随机系统 为简单起见 可以认为机器以后的状态只与目前的状态有关 而与过去的状态无关 即具有无后效性 这样 机器的运行可看作马氏链 机器运行状态的预测 预测目的 在机器很多的大批量生产的企业里 需要掌握机器发生故障的规律性 以便有效地计划和控制生产 同时也为合理配备维修人员提供依据 为此 可运用马尔科夫方法预测机器某个时刻的状态和长期运行状态 二 案例分析 46 24 例1某企业经过调查统计 得知机器在一周时间内 从正常状态转移到故障状态的概率是0 6 而从故障状态转移到正常状态的概率为l 如果机器本周末均处于正常状态 试预测第3周机器的状态和机器长期运行的状态 解 设机器的正常状态为状态1 故障状态为状态2 即得本周 即第0周 末机器的初始状态向量为 由已知条件可得机器的一步状态转移概率矩阵为 12 12 12 46 25 当已知系统的初始状态和一步转移概率时 就可预测系统在任意时刻所处的各种状态的可能性大小 预测模型为 式中s k 表示系统经k步转移后所处的状态 k为大于0的正整数 46 26 第3周机器的状态为 由此可知 机器在第3周处于正常状态的可能性和处于故障状态的可能性大致相当 46 27 由于P3的矩阵中所有元素都大于0 所以P为正规概率矩阵 由正规概率的性质可知 机器长期运行后 将趋于稳态概率矩阵 因此可进行机器长期运行的预测 长期预测 设固定概率向量u u1 u2 则有uP u 即 46 28 得到 再根据 可解得u1 0 625 u2 0 375 即固定概率向量 稳态概率矩阵 u 0 625 0 375 46 29 该例说明 在现有的生产和维修条件下 机器长期运行时 处于正常状态的可能性约为0 6 处于故障状态的可能性约为0 4 或者说 约有0 6的时间处于完好状态 约有0 4的时间处于故障状态 据此 可合理安排生产计划和维修计划 46 30 市场占有率预测 背景 对于某种产品 往往有若干厂家生产 用户购买哪家的产品 会受到消费偏好 厂家的广告宣传和推销活动等多方面的影响 因此 在产品质量基本相同的情况下 可以认为市场的变化带有随机性 如果本期市场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率 转移概率在一定时期内无大的变化 则可用马尔科夫方法预测市场状况 例设某产品有三种牌号 商标 在市场上销售 调查得知 本月购买1 2 3种产品的顾客各占0 4 0 3 0 3 顾客选购这三种产品的变化情况如下表所示 试预测第3个月该产品的市场占有率和长期的市场占有率 46 31 表中第一行说明 上月选购产品1的顾客 本月有0 4仍选购产品1 各有0 3转而选购产品2和产品3 其它各行类似 转移概率表 46 32 解 由已知条件 得本月市场的初始状态向量 一步转移概率矩阵 由此可预测第3个月的市场占有率 本月为第0月 为 46 33 因为一步转移概率矩阵P是正规概率矩阵 所以长期的市场占有率将趋向稳定状态 设固定概率向量 根据正规概率矩阵的性质有 46 34 整理得 解得 即固定概率向量 u 0 5 0 25 0 25 稳态概率矩阵为 于是预测的长期市场占有率 产品1为0 5 产品2和3均为0 25 46 35 一个与经济有关的随机系统在状态转移时 会发生收益的变化 若马氏链各状态转移时 赋于其一定的利润 则可称为有利润的马氏链 期望利润预测 若系统有n个状态 设由状态i经过一步转移到状态j时 所获得的利润为rij 则所有各状态转移时获得的利润依次排列 构成利润矩阵R 若rij 0 表示盈利若rij 0 表示亏损若rij 0 表示盈亏平衡 46 36 由于系统状态的转移是随机的 因而得到的利润也是随机的 设qi 1 qi为系统从状态i开始 经过一步转移到各状态所获得的期望利润 可称为即时期望利润 若状态i经过一步转移到状态j的概率为pij 状态转移概率矩阵为P 则即时期望利润的计算公式 或预测模型 为 46 37 规定未转移前 转移步数k 0时 的期望利润为0 亦即qi 0 0 i 1 2 n 系统经过k步转移 所得到的期望利润可由以下递推公式求得 即时期望利润列向量Q为 i 1 2 n 46 38 因为 所以k步转移的期望利润公式又可写成以下矩阵形式 46 39 说明期望利润预测值 不是绝对利润的数值 而是概率意义上的平均值 它反映了系统状态转移的过程中所得到的期望收益 因而可作为企业经济分析和有关决策的依据 46 40 例3其种商品在市场上的销路受多方面因素的影响 现按一定准则将销售状况分为畅销 滞销两种 并调查统计了过去24个月的销售状况如表所示 经统计得出销路变化时的利润变动数值见下表 已知本月处于畅销状态 试预测下一个月的即时期望利润和3个月的期望利润 表1 46 41 表中说明 连续畅销可获利50万元 由畅销转入滞销可获利15万元 由滞销转入畅销可获利20万元 连续滞销则亏损30万元 表2利润变动数值 46 42 解 设状态1为畅销 状态2为滞销 则状态转移概率计算如下 同理 或根据概率向量的性质 有 或p12 1 p11 表1中 由畅销转移的次数共14次 其中由畅销转到畅销的次数为7次 故 同样可得 46 43 于是得商品销售的状态转移概率矩阵为 根据已知销路变化时的利润变动数值 即表2 可得利润矩阵 46 44 根据即时期望利润的公