第10讲.与三角形有关的角.doc

第10讲 与三角形有关的角中考说明中考内容中考要求ABC与三角形有关的角了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；掌握三角形的中位线定理，会用三角形中位线性质解决有关问题会运用三角形的知识解决有关问题知识网络图 前章回顾（上一讲的小结与复习的内容）2.1三角形内角和定理概念辨析1. 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于 添加平行线法： 帕斯卡(法国数学家)折纸法： 更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角2. 三角形内角和定理的三个推论：推论1： 直角三角形的两个锐角互余有两个角互余的三角形是直角三角形推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形内角和的几种证明方法：3. 三角形的外角： 三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等每个顶点处的两个外角是相等的 三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再将三个外角相加，叫三角形的外角和(并非个外角之和)三角形的外角和等于三角形外角和等于的证明法：4. 与外角、内角相关的模型模型一 蝴蝶形 模型二 燕尾形 结论： 结论：例题精讲【例1】 已知在中，则的度数是( )A B C D【答案】【讨论一下】在中，高和所在直线相交于点，若不是直角三角形，且，则_.【例2】 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数为_【答案】【讨论一下】一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与交于点如果，那么_【例3】 如图所示，已知，求度数【讨论一下】你能想出几种解法？【解答】【解析】法1：如图(1)，延长交于，求得法2：如图(2)，连接；法3：如图(3)，连接并延长到点本题的一个重要结论：如例题所示图形，【例4】 如图，求的度数【答案】【解析】连接，(对顶角相等)(等量减等量差相等)(等量代换)(三角形内角和定义)(等量代换)【讨论一下】如图，求_ 【答案】【例5】 如图，在三角形纸片中，将纸片的一角折叠（折痕为），使点落在内的处，若，则的度数是（） A B C D【答案】【解析】，又关于折叠得到，在中，【讨论一下】如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则（）A B C D2.2角平分线概念辨析一、 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。二、 角平分线的画法：1. 用量角器2. 用折叠法3. 尺规作图作法： 以点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于两点； 分别以AB两点为圆心，以大于长为半径画弧，画弧交于点； 过C点作射线OC。所以，射线OC就是所求作的。三、 两角平分线相交模型解读：这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程1. 在中，如图，当、为和的角平分线，与为. 2. 如图，当、为和的角平分线，则与之间的关系为3. 如图，、为和的角平分线，则与之间的关系为4. 如图，、为和的角平分线，则、之间的关系为5. 如图，、为和的角平分线，则、之间的关系为 例题精讲【例6】 如图，是的边上的高，是的角平分线，若，求的度数 【答案】，是的边上的高，是的角平分线，；【讨论一下】 若题干信息不变，将“，”改为 “， （）”，求的度数（用含、的代数式表示） 【解答】，是的边上的高，是的角平分线，【例7】 如图，是的角平分线，点在上，且于点，则度数为（）A B C D【讨论一下】如图，在中，平分，交于，交于，则的大小是（ ）A B C D 【例8】 如图，在中，和的三等分线分别交于、，求的度数【答案】【解析】设的三分之一为，的三分之一为，因为三角形内角和为，所以有：，即，所以【讨论一下】 如图，在中，和的三等分线分别交于、，若，则等于（）A B C D【例9】 如图，又的平分线与的平分线相交于点，则为（）A B C D 【讨论一下】如图，已知平分、平分，与交于点，与交于点，若，求的度数2.3多边形与内角和概念辨析1. 多边形及其内角和基本定义(1) 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形(2) 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边(3) 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点(4) 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线(5) 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角(6) 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角(7) 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形(8) 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形【注】不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于.2. 基本性质(1) 稳定性(2) 内角和与外角和定理如下图，边形的内角和为，多边形的外角和都是 (3) 边形：一个顶点有条对角线，边形共有条对角线(4) 正边形的一个内角度数为：(5) 正边形的一个外角度数为：，由此可得正边形的一个内角度数也可以为：例题精讲【例10】 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是( )A四边形B五边形C六边形 D七边形【答案】【讨论一下】 一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为()A B C D 如果一个多边形的边数增加倍后，它的内角和是，那么原来多边形的边数是 【答案】；【例11】 图（1）中是一个五角星，求的度数【讨论一下】(1) 若把图（1）中的点向下移动到上时，得图（2），有无变化？并说明理由(2) 把图（2）中的点向上移到上时，如图（3）所示， 有无变化？并说明理由 【例12】 一个多边形共有条对角线，则它的内角和为_.【答案】【解析】一个边形，从一个顶点出发，有条对角线，故共有条对角线，于是有，从而，这个三角形的内角和为【讨论一下】一个多边形的每一个内角都等于，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A条 B条 C条 D条【例13】 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形【解析】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案不能铺满地面的是正五边形【答案】【讨论一下】下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（）A B C D【解析】、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的【答案】全能突破 基础演练【练1】 如下图，求的度数【答案】【解析】【练2】 如图，则（）A B C D【答案】【解析】在中，则，【练3】 如图，点、是平面上的个点，则的度数是（） A B C D【答案】【解析】是的外角，是的外角，是的外角，、是的外角，【练4】 如下图，已知，求 【答案】【练5】 如下图，中，剪去后，得到四边形，则 【答案】【练6】 如图，已知，求的大小【解析】如图，延长交于点，所以又，即【练7】 如图在三角形纸片中，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则为多少度？【解析】把纸片的折到与四边形在同一平面内，使点落到点处，用三角形内角和及平角定义可求出把沿折到与四边形在同一平面内，使点落到点处，则有，因为，所以因为，所以所以所以【答案】【练8】 如图的两个外角的平分线交于点，若，则等于（） A B C D【答案】【解析】，、是外角平分线，在中，【练9】 如图，已知平分，过作，若比大，则的度数是（）A B C D不能确定【答案】【解析】比大度，平分，得出，【练10】 如图，点，分别在射线，上运动，平分，的反向延长线与的平分线交于点当，移动后，时，则的度数是（） A B C D 【答案】【解析】，平分，又平分的平分线，【练11】 某多边形的内角和是其外角和的倍，则此多边形的边数是( )ABCD【答案】【练12】 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是( )AB CD【答案】【练13】 张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）A、 B、 C、 D、【答案】【解析】能够铺满地面的图形是内角能凑成，正三角形一个内角，正方形一个内角，正五边形一个内角，正六边形一个内角，只有正五边形无法凑成能力提升【练14】 如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边、分别过点、，如果，那么的度数是（）A B C D 【答案】【解析】解：，【练15】 如图所示，将沿着翻折，若，则 【答案】【练16】 如图，平分，平分，则_。【答案】【练17】 如图, 一张四边形纸片,.若将其按照图所示方式折叠后,恰好,则的度数为( ) A B C D图折叠图BDCANCADMBD【答案】【练18】 如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为（） A B C D 【答案】【解析】是的平分线，是的平分线，又， 同理理可得【练19】 如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇形的半径均为，求剩余纸张的面积【答案】【解析】四边形的内角和为，故四个扇形的面积和等于，剩余纸张的面积为【练20】 如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于，则第个多边形中，所有扇形面积之和是 (结果保留)【答案】【练21】 如图（1），中，是角平分线，于点（1）若，求的度数（2）若，试说明（3）如图（2）若将点在上移动到处，于点此时变成，（2）中的结论还正确吗？为什么？【解析】（1）在中，；是角平分线，；在中，；在中，（2）（3）（2）中的结论仍正确；在中,【练22】 如图，已知，平分，平分，试求：（1）的度数；（2）若，试求的度数。（用含的式子表示）【答案】解：（1），平分，；（2），平分，【练23】 如图，延长四边形对边，交于，、交于若，的平分线交于，求证：【答案】【解析】延长交于点，即【练24】 如图，延长四边形对边，交于，、交于若，的平分线交于，求证：【答案】【解析】延长交于点，即巅峰突破【练25】 如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为”字形”如图，在图的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、其中正确结论是（）（1）在图中（2）在图中“字形”的个数为（3）图中，当，时，（4）图中和为任意角时其他条件不变A（1）（2）（3） B（1）（2）（3）C（1）（3）（4） D（1）（2）（3）（4）【答案】【练26】 如图，在第个中，在上取一点，延长到，使得在第个中，；在上取一点，延长到，使得在第个中，；，按此做法进行下去，第个三角形中以为顶点的内角的度数为 .AA1BCDEA2A3A4An【答案】【练27】 如图，在中，的角平分线交于点，则如图，在中，的两条三等分角线分别对应交于，则,根据以上阅读理解，你能猜想（等分时，内部有个点）（用的代数式表示）（） A B C D 【答案】解：时，；时，时，；所以当时，【练28】 黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满按第，个图案（如图）所示规律依次下去，则第个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A.， B.，C.，D.，【答案】【解析】第个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是，；第个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是，；第个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是，；第个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是，【练29】 如图，将六边形沿直线折叠，使点、落在六边形内部，则下列结论正确的是（ ）A BC D【答案】【解析】如图，设的延长线与的延长线交于点，的延长线与的延长线交于点，连接，由对称性知，又，【练30】 已知,，试回答下列问题：（1）如图所示，求证：.（2）如图，若点、在线段上，且满足，并且平分.则的度数等于_；(在横线上填上答案即可）.（3）在（2）的条件下，若平行移动，如图，那么:的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值.（4）在（3）的条件下，如果平行移动的过程中，若使，此时度数等于 .（在横线上填上答案即可）. 【答案】（1）证明：，而，；（2）解：平分，而，；（3）不改变，即的值为；（4）解：设的度数为，则，而，解得，【练31】 (1) 如图, 平分，试说明与的位置关系， 并予以证明；ABCD12(2) 如图，在(1)的条件下，的下方两点，满足, 平分， 若的倍与的补角的