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文档简介
换元法的常见形式在数学解题过程中，根据已知条件的特征，引入新的变量，对题目进行转化，形成一个用新变量表达的问题，通过解决新问题，来达到解决原问题的目的，这种解题方法叫做换元法。换元法的形式很多，但它们有一个共同特点，改变问题的结构形成新问题，为解决问题提供可能性，它是数学中转化和化归思想的一个重要体现。下面举例说明换元法的常见形式的应用。一、三角换元例1已知，求的最大值。解由，可设；由，可设.于是又当时，上式中等号成立。即的最大值是6.一般地，题目中若有条件，常设进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。事实上，对于任意两个实数，在坐标平面上总有惟一的对应点与之对应，设此点到原点的距离为，射线逆时针方向旋转到射线OA时，所转过的最小正角为，则。例2实数满足，设，求的最大值和最小值。解设，则，所以所以当时，；当时，.二、增量换元若题目的已知中有形如的条件，则可考虑设，将问题进行转化。此法称为增量换元，也叫设差换元。它的作用是将不等条件转化为相等条件，使得式子方便地进行运算变形。例3已知，且.三、分母换元将分式的分母看成整体，用新的变量代替，从而可以较方便地进行分式的变形，达到解决问题的目的，不妨称之为分母换元。例4已知是正数，求证证明设，则.所以例5已知.求证：.证明：由，可设.于是四、根式换元对于根式用一个变量将其代替，即可把无理式问题转化为有理式问题，实现问题的转化，称之为根式换元。例6求函数的值域。解设，则，.在平面直角坐标系中，点是圆弧上的点，如图所示。，所以P表示点到直线的距离的2倍。过点作直线的平行线，则P表示直线与的距离的2倍。设平行直线与的距离为.则当过点A时（直线），取最小值1，此时；当与圆弧相切时（直线），取最大值2，此时.所以函数的值域为.此题通过做的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由，可设则是三角换元，也可以解决问题。五、式子的部分代换将式子的一部分视为一个整体，用一个变量代替，将问题进行转化，达到解决问题的目的。不妨称之为式子的部分代换。它是上面根式换元的推广。例7已知，并且.求证.证明：设，则并且.又，所以.所以同理.本例中，通过换元，使得复杂的已知条件三个分式的和为1，转化为看起来较简单的条件，便于将其应用于要证的结论，从而解决问题。六、和差代换对于任意两个实数，总存在实数使得。这就是和差代换，利用它常可独辟溪径、简化问题。例8实数满足，求的最小值。分析：注意到已知条件整理成，设，则，.所以.所以当时，取最小值12.同学们在解题实践中，不断地积累经验，探索规律，就能达到根据问题的特点，熟练进行换元转化，实现化繁为简。下面是一组用可以换元法解答的题目，请同学们试一试。1.实数满足，求的最小值；2.实数满足，比较与大小；3.求函数的值域；4. 设是三角形的三边，求证：；5. 已
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