立体几何证明题专题教师版资料.doc

立体几何证明题考点1：点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题：空间不同三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；垂直于同一直线的两直线平行；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是_【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题错，中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，错空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示在正方体ABCDABCD中，直线BBAB，BBCB，但AB与CB不平行，错ABCD，BBABB，但BB与CD不相交，错如图(2)所示，ABCD，BCAD，四边形ABCD不是平行四边形，故也错【答案】2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则lm，这与l，m异面矛盾对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条3.已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行答案C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则ab，与a，b异面矛盾考点2：共点、共线、共面问题例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()【解析】在A中易证PSQR，P、Q、R、S四点共面在C中易证PQSR，P、Q、R、S四点共面在D中，QR平面ABC，PS面ABC P且PQR，直线PS与QR为异面直线P、Q、R、S四点不共面 在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，P、N、R、S四点共面，设为.可证PSQN，P、Q、N、S四点共面，设为.、都经过P、N、S三点，与重合，P、Q、R、S四点共面【答案】D2.空间四点中，三点共线是这四点共面的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A3.下面三条直线一定共面的是()Aa、b、c两两平行 Ba、b、c两两相交Cab，c与a、b均相交 Da、b、c两两垂直答案C4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点【解析】设a，b，c，由a，b，则abO，如图(1)，或ab，如图(2)，若abO，Oa，a，则O，Ob，b，则O，又c，因此Oc；若ab，a，b，则a，又a，c，则ac.因此三条交线相交于一点或互相平行5.如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且.(1)求证：三条直线EF，GH，AC交于一点(2)若在本题中，2，3，其他条件不变求证：EH、FG、BD三线共点【解析】(1)E，H分别是AB，AD的中点，由中位线定理可知，EH綊BD.又，在CBD中，FGBD，且FGBD.由公理4知，EHFG，且EHHG.四边形EFGH为梯形设EH与FG交于点P，则P平面ABD，P平面BCD.P在两平面的交线BD上EH、FG、BD三线共点考点3：异面直线的夹角1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点求BD1与CE所成角的余弦值【解析】连接AD1，A1D交点为M，连接ME，MC，则MEC(或其补角)即为异面直线BD1与CE所成的角，设AB1，CE，MEBD1，CM2CD2DM2.在MEC中，cosMEC，因此异面直线BD1与CE所成角的余弦值为.2.如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是_答案3.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B. C. D.答案C解析连接BA1，则CD1BA1，于是A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB1，则BE，BA1，A1E1，在A1BE中，cosA1BE，选C.4.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_【解析】取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EFB1C1BC，AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，则有EF2a，AFa，AE3a.在AEF中，cosAEF.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是.【答案】考点4：直线与平面平行的判定与性质1.下列命题中正确的是_若直线a不在内，则a；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行；如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点；平行于同一平面的两直线可以相交答案解析aA时，a不在内，错；直线l与相交时，l上有无数个点不在内，故错；l时，内的直线与l平行或异面，故错；ab，b时，a或a，故错；l，则l与无公共点，l与内任何一条直线都无公共点，正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，正确2.给出下列四个命题：若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行其中正确命题的个数是_个答案1解析命题错，需说明这条直线在平面外命题错，需说明这条直线在平面外命题正确，由线面平行的判定定理可知命题错，需说明另一条直线在平面外3.已知不重合的直线a，b和平面，若a，b，则ab；若a，b，则ab；若ab，b，则a；若ab，a，则b或b，上面命题中正确的是_(填序号)答案解析若a，b，则a，b平行或异面；若a，b，则a，b平行、相交、异面都有可能；若ab，b，a或a.4.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且APDQ.求证：PQ平面BCE.【证明】方法一如图所示作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AEBD.又APDQ，PEQB.又PMABQN，.PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK.AEBD，APDQ，PEBQ，.又ADBK，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PMBE，交AB于点M，连接QM.PM平面BCE.又平面ABEF平面BCEBE，PMBE，.又AEBD，APDQ，PEBQ.，.MQAD.又ADBC，MQBC，MQ平面BCE.又PMMQM，平面PMQ平面BCE.又PQ平面PMQ，PQ平面BCE.5.一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)求证：MN平面CDEF；求多面体ACDEF的体积解析(1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且ABBCBF2，DECF2，CBF90.取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知：NGCF，MGEF.又MGNGG，CFEFF，平面MNG平面CDEF，MN平面CDEF.(2)作AHDE于H，由于三棱柱ADEBCF为直三棱柱，AH平面CDEF，且AH.VACDEFS四边形CDEFAH22.6.若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面()A不存在B有且只有一个C可以有两个 D有无数多个答案B7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.【证明】方法一如右图，作MEBC，交BB1于E；作NFAD，交AB于F，连接EF，则EF平面AA1B1B.BDB1C，DNCM，B1MBN.，MENF.又MEBCADNF，MEFN为平行四边形NMEF.又MN面AA1B1B，MN平面AA1B1B.方法二如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P平面AA1B1B.NDCNBP，.又CMDN，B1CBD，MNB1P.B1P平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.方法三如右图，作MPBB1，交BC于点P，连接NP.MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN.，NPDCAB.平面MNP平面AA1B1B.MN平面AA1B1B.8.如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点(1)求证：PA平面EFG；(2)求三棱锥PEFG的体积解析(1)证明如图，取AD的中点H，连接GH，FH.E，F分别为PC，PD的中点，EFCD.G，H分别是BC，AD的中点，GHCD.EFGH，E，F，H，G四点共面F，H分别为DP，DA的中点，PAFH.PA平面EFG，FH平面EFG，PA平面EFG.(2)PD平面ABCD，CG平面ABCD，PDCG.又CGCD，CDPDD，GC平面PCD.PFPD1，EFCD1，SPEFEFPF.又GCBC1，VPEFGVGPEF1.9.如图所示，a，b是异面直线，A、C与B、D分别是a，b上的两点，直线a平面，直线b平面，ABM，CDN，求证：若AMBM，则CNDN.【证明】连接AD交平面于E点，并连接ME，NE.b，ME平面ABD，平面面ABDME，MEBD.又在ABD中AMMB，AEED.即E是AD的中点又a，EN平面ACD，平面面ADCEN，ENAC，而E是AD的中点N必是CD的中点，CNDN.10.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E为AC上一点，若AB1平面C1EB，求：AEEC.【解析】连接B1C交BC1于点F，则F为B1C中点AB1平面C1EB，AB1平面AB1C，且平面C1EB平面AB1CEF.AB1EF，E为AC中点AEEC11.【答案】11考点5：面面平行的判定及性质1.设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1Bml1且nl2 Cm且n Dm且nl2答案B解析因m，l1，若，则有m且l1，故的一个必要条件是m且l1，排除A.因m，n，l1，l2且l1与l2相交，若ml1且nl2，因l1与l2相交，故m与n也相交，；若，则直线m与直线l1可能为异面直线，故的一个充分而不必要条件是ml1且nl2，应选B.2.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：PR与BQ是异面直线；RQ平面BCC1B1；平面PQR平面D1AC；过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)答案解析由于PR是A1BC1的中位线，所以PRBQ，故不正确；由于RQA1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以不正确；由于PRBC1D1A，PQA1BD1C，所以正确；由于A1BC1是边长为的正三角形，所以正确故填.3.已知P为ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是PAB、PCB、PAC的重心求证：平面G1G2G3平面ABC；求SG1G2G3SABC.【解析】(1)如图，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F.连接DE、EF、FD.则有PG1PD23，PG2PE23.G1G2DE.又G1G2不在平面ABC内，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因为G1G2G2G3G2，平面G1G2G3平面ABC.(2)由(1)知，G1G2DE.又DEAC，G1G2AC.同理G2G3AB，G1G3BC.G1G2G3CAB，其相似比为13.SG1G2G3SABC19.4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题为_答案解析中当与不平行时，也能存在符合题意的l、m.中l与m也可能异面中lm，同理ln，则mn，正确5.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点求证：平面AMN平面EFDB.【证明】连接MF，M、F是A1B1、C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，MF A1D1.又A1D1 AD，MF AD.四边形AMFD是平行四边形AMDF.DF平面EFDB，AM平面EFDB，AM平面EFDB，同理AN平面EFDB.又AM、AN平面ANM，AMANA，平面AMN平面EFDB.6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.证明方法一如图(1)所示，连接B1D1.P，N分别是D1C1，B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN平面A1BD，PN平面A1BD.同理：MN平面A1BD.又PNMNN，平面PMN平面A1BD.方法二如图(2)所示，连接AC1，AC，ABCDA1B1C1D1为正方体，ACBD.又CC1平面ABCD，AC为AC1在平面ABCD上的射影，AC1BD.同理可证AC1A1B，AC1平面A1BD.同理可证AC1平面PMN.平面PMN平面A1BD.7.如图所示，平面平面，点A，C，点B，D，点E、F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.求证：EF.【证明】当AB，CD在同一平面内时，由，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF.当AB与CD异面时，设平面ACDDH，且DHAC，平面ACDHAC，ACDH.四边形ACDH是平行四边形 在AH上取一点G，使AGGHCFFD，又AEEBCFFD，GFHD，EGBH.又EGGFG，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上，EF.8.已知：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点(1)当的值等于何值时，BC1平面AB1D1；(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值【解析】 (1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O、D1分别为A1B、A1C1的中点，OD1BC1.又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.1时，BC1平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1BC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，因此BC1D1O，同理AD1DC1.，.又1，1，即1.考点6：线线、线面垂直1.设、是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A若a，b，则abB若a，b，ab，则C若a，b，ab，则D若a、b在平面内的射影互相垂直，则ab答案C解析与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图(1)，设OAa，OBb，直线OA、OB确定的平面分别交、于AC、BC，则OAAC，OBBC，所以四边形OACB为矩形，ACB为二面角l的平面角，所以，C正确；如图(2)，直线a、b在平面内的射影分别为m、n，显然mn，但a、b不垂直，所以D错误，故选C.2.“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B3.若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()nmnmn nA1 B2 C3 D4答案C解析正确，错误4.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【证明】(1)PA底面ABCD，CDPA.又CDAC，PAACA，故CD平面PAC，AE平面PAC.故CDAE.(2)PAABBC，ABC60，故PAAC.E是PC的中点，故AEPC.由(1)知CDAE，从而AE平面PCD，故AEPD.易知BAPD，故PD平面ABE.5.设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则B若l，l，则C若l，则lD若，l，则l答案B解析A项中由l，l不能确定与的位置关系，C项中由，l可推出l或l，D项由，l不能确定l与的位置关系6.设b，c表示两条直线，表示两个平面，下列命题中真命题是()A若b，c，则bcB若b，bc，则cC若c，c，则 D若c，则c答案C解析如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平行，只有部分平行，故A错；若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内的直线，故B错；如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故C对；对D来讲若c，则c与的位置关系不定，故选C.7. 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBCAA12，ACB90，E为BB1的中点，A1DE90，求证：CD平面A1ABB1.证明连接A1E，EC，ACBC2，ACB90，AB2.设ADx，则BD2x.A1D24x2，DE21(2x)2，A1E2(2)21.A1DE90，A1D2DE2A1E2.x.D为AB的中点CDAB.又AA1CD，且AA1ABA，CD平面A1ABB1.8.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点证明：BDEC1；如果AB2，AE，OEEC1，求AA1的长【解析】(1)如图，连接AC，A1C1，AC与BD相交于点O.由底面是正方形知，BDAC.因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又由AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)设AA1的长为h，连接OC1.在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12.故EC(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OCh2()2.因为OEEC1，所以OE2ECOC.即4(h)2(2)2h2()2，解得h3.所以AA1的长为3.考点7：面面垂直1.ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：DEDA；平面BDM平面ECA；平面DEA平面ECA.【证明】取EC的中点F，连接DF.BDCE，DBBA.又ECBC，在RtEFD和RtDBA中，EFECBD，FDBCAB，RtEFDRtDBA，DEDA.取CA的中点N，连接MN、BN，则MN綊EC.MNBD，N点在平面BDM内EC平面ABC，ECBN.又CABN，BN平面ECA.BN平面BDM，平面BDM平面ECA.DMBN，BN平面ECA，DM平面ECA，又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.2.已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC.AE平面PBC，E为垂足求证：PA平面ABC；当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形【证明】在平面ABC内取一点D，作DFAC于F.平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.又PA平面PAC，DFPA.作DGAB于G，同理可证：DGPA.DG、DF都在平面ABC内，PA平面ABC.连接BE并延长交PC于H，E是PBC的垂心，PCBH.又已知AE是平面PBC的垂线，PC平面PBC，PCAE.又BHAEE，PC平面ABE.又AB平面ABE，PCAB.PA平面ABC，PAAB.又PCPAP，AB平面PAC.又AC平面PAC，ABAC.即ABC是直角三角形3.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB AC，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)AMMA1是截面MBC1侧面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由【证明】(1)ABAC，D是BC的中点，ADBC.底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC，由面面垂直的性质定理可知AD侧面BB1C1C.又CC1侧面BB1C1C，ADCC1.(2)方法一取BC1的中点E，连接DE、ME.在BCC1中，D、E分别是BC、BC1的中点DE綊CC1.又AA1綊CC1，DE綊AA1.M是AA1的中点(由AMMA1知)，DE綊AM.AMED是平行四边形，AD綊ME.由(1)知AD面BB1C1C，ME侧面BB1C1C.又ME面BMC1，面BMC1侧面BB1C1C.方法二延长B1A1与BM交于N(在侧面AA1B1B中)，连接C1N.AMMA1，NA1A1B1.又ABAC，由棱柱定义知ABCA1B1C1.ABA1B1，ACA1C1.A1C1A1NA1B1.在B1C1N中，由平面几何定理知：NC1B190，即C1NB1C1.又侧面BB1C1C底面A1B1C1，交线为B1C1，NC1侧面BB1C1C.又NC1面BNC1，截面C1NB侧面BB1C1C，即截面MBC1侧面BB1C1C.(3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明下面仅证明必要性(即由截面BMC1侧面BB1C1C推出AMMA1，实质是证明M是AA1的中点)，过M作ME1BC1于E1.截面MBC1侧面BB1C1C，交线为BC1.ME1面BB1C1C.又由(1)知AD侧面BB1C1C，垂直于同一个平面的两条直线平行，ADME1，M、E1、D、A四点共面又AM侧面BB1C1C，面AME1D面BB1C1CDE1，由线面平行的性质定理可知AMDE1.又ADME1，四边形AME1D是平行四边形ADME1，DE1綊AM.又AMCC1，DE1CC1.又D是BC的中点，E1是BC1的中点DE1CC1AA1.AMAA1，MAMA1.AMMA1是截面MBC1侧面BB1CC1的充要条件考点8：平行与垂直的综合问题1.如图所示，在直角梯形ABEF中，将DCEF沿CD折起使FDA60，得到一个空间几何体 (1)求证：BE平面ADF；(2)求证：AF平面ABCD；(3)求三棱锥EBCD的体积【解析】(1)由已知条件，可知BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变又因为BC平面ADF，AD平面ADF，所以BC平面ADF.同理CE平面ADF.又因为BCCEC，BC，CE平面BCE，所以平面BCE平面ADF.所以BE平面ADF.(2)由于