练习题样题简析1.doc

练习题（样题）简析（）选修第一章测试样题【标准要点】计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的练习，会解决简单的计数原理。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。.通过实例，理解排列、组合的概念；能够用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東。.能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。【考试说明要点】.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【知识归纳拓展】一、分类加法计数原理和分步计数乘法计数原理（）要结合实际问题，认真思考、细心体会、准确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（）要清楚在什么情况下应用分类加法计数原理；在什么情况下应用分步乘法计数原理.（）分类加法计数原理、分步乘法计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要，必须认真学好，准确掌握，并能正确地、灵活地加以运用.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤。（）分类加法计数原理、分步乘法计数原理是历届高考常考内容，常与排列、组合知识相结合，以选择题、填空题型出现.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂。二、排列和排列数公式（）要理解排列的定义.排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”，另一个是“按照一定顺序排列”.“一定顺序”就是与位置有关，因此在解题时一定要首先搞清是否与位置有关.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔。（）按照排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.（）从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数；排列这一节研究的重点内容就是推导从个不同元素中取出个元素的排列数公式，并应用这个公式去解决有关排列数的应用问题.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞。（）记准、记熟排列数公式.三、组合和组合数公式（）准确理解组合的定义，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 排列与组合的共同点，是要“从个不同元素中取出个元素”，而不同点是，对于所取出的个元素，前者要“按一定顺序排成一列”，后者却“不管怎样的顺序并成一组”.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾。（）熟练掌握组合数公式，与求排列数的两个公式相类似，后一个公式，当较大时借助于科学计算器，利用这个公式计算组合数较为方便，对于含有字母的组合数公式进行变形或论证时，利用这个公式也便于沟通.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉。（）熟练掌握组合数的两个性质，性质：，性质：，在进行有关组合数计算、化简、证明等方面有着广泛的应用.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅。四、排列组合的综合应用.在解排列、组合应用问题时，注意利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法解题.注意三点：仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合；要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，分类考虑，这不仅有助于锻炼提高逻辑推理能力，也尽可能避免出错；对于有限制条件的比较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞。.解决“相邻”问题一般捆绑法，解决不相邻问题一般用插空法，解决某些元素在某些位置用定位法，解决某些元素不在某些位置一般用间接法.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴。五、二项式定理的应用.（）准确掌握二项式定理：.其右端展开式共有项；通项公式表示的是第项，其中；与的位置不能调换；对于任意实数与，上面的等式恒成立（）二项式系数与二项展开式系数的区别.二项式系数指二项展开式的系数与、前面的系数有关.（）二项式系数的性质对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由公式得到.增减性与最大值 当为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当为奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无。各二项式系数的和在中令得：.在求系数或部分系数和时，通常用赋值法.设，则：（）（）（）（）（）一、选择题：将名教师分配到所中学任教，每所中学至少名教师，则不同的分配方案共有（ ） 种 . 种 . 种 . 种（）本题考查排列、组合及简单计数问题及逻辑思维、逻辑推理能力（）本题属于基础题（）由题意知将名教师分配到种中学任教，每所中学至少名教师，只有一种分法，从个人中选个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，得到结果贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉。（）将名教师分配到种中学任教，每所中学至少名教师，只有一种结果，首先从个人中选个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有种结果，故选名运动员争夺项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（）、 、 、 、（）本题以实际问题为载体，考查计数原理及逻辑思维、逻辑推理能力.（）本题属于基础题（）每个冠军都有种可能，因为有项体育比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况（）由题意，每个冠军都有种可能，因为有项体育比赛，所以冠军获奖者共有种可能.故选. 从正方体的个面中选取个面，其中有个面不相邻的选法共有( )种 种 种 种坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣。（）本题考查组合的运用及逻辑思维、逻辑推理能力，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯。（）本题属于基础易错题（）根据题意，使用间接法，首先分析从个面中选取个面的情况数目，再分析求出其中其中有个面相邻，即个角上个相邻平面的情况数目，进而可得答案買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻。首先分析从个面中选取个面，共种不同的取法，而其中有个面相邻，即个角上个相邻平面，选法有种，则选法共有种；故选綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦。（）根据题意，使用直接法：正方体个面共有对不相邻面，从这对中任选一组共有种不同选法，再从余下的个面中任选一个平面共有种，由分步乘法计数原理得：共有种，故选.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针。.五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建项，其中甲工程队不能承建号子项目，则不同的承建方案共有( )猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩。（）种 （）种 （）种 （）种（）本题考查排列、组合的应用及逻辑思维、逻辑推理能力，注意优先分析受到限制的元素（）本题属于中档题（）依题意，优先分析甲甲工程队，除号子项目外有种方法，其他个工程队分别对应个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈。（）根据题意，甲工程队不能承建号子项目，则有种方法，其他个工程队分别对应个子项目，有种情况，根据乘法原理，分析可得有种情况；故选. 有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法的种数是（ ）構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯。. . . . （）本题考查排列组合和分类计数问题及分类讨论思想及逻辑思维、逻辑推理能力，在分类计数过程中，要考虑到各种情况是解题的关键，因为本题的分类情况比较多，要做到不重不漏輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃。（）本题属于难题（）由题意知本题是一个分类计数问题，可以分成人都在前排、都在后排，一个在前排另一个在后排，对于都在前排或后排这两种情况，由于此二人不相邻，需要利用插空法尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭。（）本题可以分为三大类：第一大类：人都在后排，由于后排一共个座位，排人，故有个空座，这个空座之间出现个空位，从这个空位之中选个排此人，共有种；识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙。第二大类：人都排在前排，由于前排的个座位中的中间个座位不能坐，所以还要将这两个人分成是坐在左边、右边，还是一个左一个右.左右种数相同，以左边为例：左边共有个位置排人，共有两个空座，这两个空座之间出现个空位，这个空位排人共有种；左右各一个时，从左右各取一个座位排这二人，共有种，这种情况共有种；凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗。第三大类，一个前一个后，共有种，故一共有种，故选. 从双不同颜色的手套中任取只，其中恰好有一双同色的取法有（ ）种 种 种 种恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐。（）组合及组合数公式及逻辑思维能力（）本题属于较难题（）手套和袜子成对问题是一种比较困难的题目，解决组合问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗。（）法一：根据分步计数原理知先从双手套中任选一双，再从其余手套中任选只，其中包含选到一双同色手套的选法，把不合题意的去掉，得到总的选法数硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据。根据分步计数原理知先从双手套中任选一双有种取法，再从其余手套中任选只有种，其中选到一双同色手套的选法为种故总的选法数为（）种故选阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜。法二：从双中任取一双有种取法，再从余下的双中任取双，每双中取一只有种取法，故总的选法数为种故选氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧。（）错误的解法：从从双中任取一双有种取法，再从余下的只里任取只，再从余下的只里任取只，共有种不同选法，错在：比如在中取的是甲，在只中取的是乙；另外在中取的是乙，在只中取的是甲，这两组实质是一组，故所得结论中有重复现象.釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞。. 六个人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐人，则不同的乘车方法为（ ） （）本题考查排列组合的实际应用，考查分类计数原理及逻辑思维、逻辑推理能力，注意本题是一个带有约束条件的排列问题，注意约束条件是每一辆车不超过个人，这样就有三种不同的选法怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟。（）本题属于中档题（）认定一辆车，把个人选出来坐在这辆车里，余下的人坐在另一辆车里，根据加法原理得到结果（）首先认定一辆车，把个人选出来坐在这辆车里，余下的人坐在另一辆车里，符合条件的选法有选，分别有、种结果，根据分类计数原理知共有种结果，故选谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋鸾。某校开设类选修课门，类选择课门，一位同学从中共选门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳迹。() 种 ()种 ()种 ()种（）本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想及逻辑思维、逻辑推理能力（）本题属于中档题（）两类课程中各至少选一门，包含两种情况：类选修课选门，类选修课选门；类选修课选门，类选修课选门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库圆鍰缄。（）解法：可分以下种情况:()类选修课选门类选修课选门,有种不同的选法;()类选修课选门类选修课选门,有种不同的选法.所以不同的选法共有种.故选鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣择。解法：，故选现安排甲、乙、丙、丁、戌名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛覲僨鴛。 （）本题考查排列、组合的综合运用及分类讨论思想及逻辑思维、逻辑推理能力（）本题属于中档题（）根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷涨负這。（）法一：分类讨论：若有人从事司机工作，则方案有；若有人从事司机工作，则方案有种，所以共有种，故正确濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減栖綜。法二：根据题意，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一： 种；甲乙不同时参加一项工作，进而又分为种小情况；丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有 种；甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作： 种；由分类计数原理，可得共有种，故选将标号为，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼鏗穎報。（） 种 () 种 () 种 () 种挤貼綬电麥结鈺贖哓类芈罷鸨。（）本题考查了排列组合的知识，考察考生分析问题的能力.（）本题是中档易错题（）本题是一个分步计数问题，首先从个信封中选一个放，有种不同的选法，再从剩下的个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈極嚕辫。（）由题意知，本题是一个分步计数问题，先从个信封中选一个放，有种不同的选法，再从剩下的个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，共有，故选如图，用四种不同颜色给图中的六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）塤礙籟馐决穩賽釙冊庫麩适绲。（）种 （）种 （）种 （）种（）题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想及逻辑思维、逻辑推理能力.（）本题属于难题（）由题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当，用四种颜色，用三种颜色，用两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺递灿扰。（）：图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，用四种颜色，则有种涂色方法；，用三种颜色，则有种涂色方法；，用两种颜色，则有种涂色方法；根据分类计数原理知共有种不同的涂色方法故选 已知（）展开式中常数项为，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） 或 或仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁絛鯛鱧。（）本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；赋值法是求展开式的系数和的重要方法绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧恒蟬轅。（）本题属于中档题（）利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为得常数项列出方程求出，给二项式中的 赋值求出展开式中各项系数的和骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙骠弒綈。（）解：令，当时，令，则当时，令，则故答案为的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是（ ）（） （） （） （）（）本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法；考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉貿锕戧。（）本题属于中档题（）先通过给赋值得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为得到展开式中的系数鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類碍穑鳓。（）令得展开式的各项系数和为解得展开式的通项为令解得展开式中的系数为. 故选 若,则的值为（ ）（） （） （）() （）考查二项式定理的应用，注意赋值法在二项式定理中的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力（）本题是基础题（）观察已知表达式与所求表达式的关系，不难发现令，即可求解（）法一：因为，所以当时，当时，所以，所以故答案为：故选法二：因为，所以，即所以 故选二、填空题： 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬奧伛辊。（）本题考查排列、组合的简单应用及分类讨论思想及逻辑思维、逻辑推理能力（）本题属于中档题（）由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有人另一个是人，根据分类计数原理得到结果辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应頁諳绞。（）由题意知本题需要分类解决，对于个台阶上每一个只站一人有种；若有一个台阶有人另一台阶是人共有种，根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种故答案为： 某展室有个展台，现有件展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有种（用数字作答）；如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有种（用数字作答）. 峴扬斕滾澗辐滠兴渙藺诈機愦。（）本题考查排列中的不相邻问题及逻辑思维、逻辑推理能力（）本题属于中档题（）件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，可以采用插空法，首先剩余个展台，在这六个站台中间形成个空，把三件展品从个空中选三个放上，后面一个题目可以通过列举得到结果詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜靈韬鰍。（）排列完件展品以后余下个展台是：，相邻的之间恰好可以放展品，则有个空挡，结果是种；要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷华缙輅。可以这样，可以选择：（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（），胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻锵咏繞。即种故答案为：； 从名大学生毕业生中选个人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）鳃躋峽祷紉诵帮废掃減萵輳慘。（）本题考查组合的实际