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第八章曲线积分与曲面积分习题课 主要内容典型例题 一 曲线积分与曲面积分 二 各种积分之间的联系 三 场论初步 一 主要内容 曲线积分 曲面积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 计算 定义 计算 一 曲线积分与曲面积分 定积分 曲线积分 重积分 曲面积分 计算 计算 计算 Green公式 Stokes公式 Guass公式 二 各种积分之间的联系 积分概念的联系 定积分 二重积分 曲面积分 曲线积分 三重积分 曲线积分 计算上的联系 其中 理论上的联系 1 定积分与不定积分的联系 牛顿 莱布尼茨公式 2 二重积分与曲线积分的联系 格林公式 3 三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 4 曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式 Green公式 Guass公式 Stokes公式之间的关系 推广 推广 梯度 通量 旋度 环流量 散度 三 场论初步 重点一 曲线积分的计算法 1 基本方法 曲线积分 第一类 对弧长 第二类 对坐标 1 统一积分变量 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 2 确定积分上下限 第一类 下小上大 第二类 下始上终 1 利用对称性及重心公式简化计算 2 利用积分与路径无关的等价条件 3 利用格林公式 注意加辅助线的技巧 4 利用斯托克斯公式 5 利用两类曲线积分的联系公式 2 基本技巧 重点二 曲面积分的计算法 1 基本方法 曲面积分 第一类 对面积 第二类 对坐标 二重积分 1 统一积分变量 代入曲面方程 2 积分元素投影 第一类 始终非负 第二类 有向投影 3 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 2 基本技巧 1 利用对称性及重心公式简化计算 2 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 辅助面一般取平行坐标面的平面 3 两类曲面积分的转化 思路 闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线或用公式 二 典型例题 解 解 如下图 曲面面积的计算法 曲顶柱体的表面积 如图曲顶柱体 解 由对称性 例 解 利用两类曲面积分之间的关系 向量点积法 例 解 利用向量点积法 例6 计算曲面积分 中 是球面 解 用重心公式 例7 设L是平面 与柱面 的交线 从z轴正向看去 L为逆时针方向 计算 解 记
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