正态样本统计量的抽样分布

课件制作 应用数学系概率统计课程组 概率论与数理统计 6 2正态样本统计量的抽样分布 6 2 1正态分布 6 2 3t分布 学生分布 6 2 4F分布 6 2 2 卡方 分布 6 2 5正态总体抽样分布的某些结论 6 2 6Excel实现 确定统计量的分布 抽样分布 是数理统计的基本问题之一 采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布 由于样本容量一般不止2或3 甚至还可能是随机的 故计算往往很复杂 有时还需要特殊技巧或特殊工具 由于正态总体是最常见的总体 故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言 6 2 1正态分布 Normaldistribution 则 特别地 则 上 双 侧 分位数的概念 设X为连续型随机变量 其概率密度函数为f x 为给定常数 0 1若 则称x 为X所服从的分布的上 分位数 如果X的概率密度函数为偶函数 则对于满足0 1 2的 则称x 2为X所服从的分布的双侧 分位数 若 标准正态分布的上 分位数z 常用数字 z 2 z1 2 6 2 2 分布 Chisquaredr v 且都服从标准正态分布N 0 1 则 n 1时 其密度函数为 n 2时 其密度函数为 为参数为1 2的指数分布 一般地 其中 在x 0时收敛 称为 函数 具有性质 例如 分布的性质 n 10 相互独立 则 6 2 3t分布 Student分布 定义 则T所服从的分布称为自由度为n的t分布其密度函数为 t分布的图形 红色的是标准正态分布 t分布的性质 1 fn t 是偶函数 2 t分布的上 分位数t 与双测 分位数t 2有表可查 t t t 2 t 2 6 2 4F分布 Fdistributionwithnandmdegrees 则F所服从的分布称为第一自由度为n 第二自由度为m的F分布 其密度函数为 令 m 10 n 4m 10 n 10m 10 n 15 m 4 n 10m 10 n 10m 15 n 10 F分布的性质 例如 事实上 故 但 例1证明 证 证 例2 证明 设 令 6 2 5正态总体抽样分布的某些结论 一个正态总体 设 总体的样本为 则 II 两个正态总体 它们相互独立 令 则 则 例3设总体 解设样本容量为n 则 故 令 查表得 即 所以取 42 n 20的样本 1 求 2 求 解 1 即 故 P 386 2 故 例5设X与Y相互独立 X N 0 16 Y N 0 9 X1 X2 X9与Y1 Y2 Y16分别是取自X与Y的简单随机样本 求统计量 所服从的分布 解 从而 解 故 因此 则服从自由度为n 1的t分布的随机变量为 故应选 B 解 例8在总体X N 12 4 中抽取容量为5的样本X1 X2 X5 求下列概率 1 因为 2 1 118 1 0 7364 解 解 0 2923 例8在总体X N 12 4 中抽取容量为5的样本X1 X2 X5 求下列概率 解 0 4215 例8在总体X N 12 4 中抽取容量为5的样本X1 X2 X5 求下列概率 Step1在数据编辑窗口中 建立数据文件 Step2计算样本均值 调用Average函数 Step3计算样本方差 调用Var函数 Step4计算样本标准差 调用Stdev函数 1 利用Excel计算样本均值 样本方差 样本标准差 6 2 6Excel实现 Step1计算标准正态分布的上侧 分位数 Step2计算的上侧 分位数 Step3计算的上侧 分位数 Step4计算的上侧 分位数 2 利用Excel计算四大分布的分位数 内容小结 1 正态分布 3 t分布 学生分布 4 F分布 2 卡方 分布 6 Excel实现 5 正态总体抽样分布的某些结论 思考题 非正态总体的样本均值分布问题 设总体X的分布未知 其期望 为来自总体X的样本 则当n充分 均已知 大时 其样本