符号计算.doc

6 符号计算MATLAB4.2中，符号计算所依赖的Symbolic Math Toolbox 1.0版是一个过渡性产品。1.0版中的几乎所有指令都已经被废止。而今MATLAB5.3的符号计算工具包已升级为2.1版，它的工作原动机是Maple V5。2.1版采用全新的数据结构、面向对象编程和重载技术，使得符号计算和数值计算在形式和风格上浑然统一。6.1 符号对象和符号表达式6.1.1 符号对象的生成和使用【*例6.1.1-1】符号常数形成中的差异a1=1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)%a1是数值常数a2=sym(1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)%最接近的有理表示a3=sym(1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5),e)%带估计误差的有理表示a4=sym(1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)%绝对准确的符号数值表示a24=a2-a4 a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777a2 = 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2(-50)a3 = 1/3-eps/12, pi/7-13*eps/165, sqrt(5)+137*eps/280, 6054707603575008*2(-50)a4 = 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)a24 = 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5(1/2) 【*例6.1.1-2】演示：几种输入下产生矩阵的异同。a1=sym(1/3,0.2+sqrt(2),pi)%产生符号数组a2=sym(1/3,0.2+sqrt(2),pi)%产生符号数组a3=sym(1/3 0.2+sqrt(2) pi)%2.1版中产生符号数组a1_a2=a1-a2%为比较a1,a2 a1 = 1/3, 7269771597999872*2(-52), pia2 = 1/3, 0.2+sqrt(2), pia3 = 1/3, 0.2+sqrt(2)pia1_a2 = 0, 1.4142135623730951010657008737326-2(1/2), 0 【*例6.1.1-3】把字符表达式转换为符号变量y=sym(2*sin(x)*cos(x)%把字符表达式转换为符号变量y=simple(y) %按规则把已有的y符号表达式化成最简形式 y =2*sin(x)*cos(x)y =sin(2*x) 【*例6.1.1-4】用符号计算验证三角等式。syms fai1 fai2;y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2) y =sin(fai1-fai2) 【*例6.1.1-5】求矩阵的行列式值、逆和特征根syms a11 a12 a21 a22;A=a11,a12;a21,a22DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A) A = a11, a12 a21, a22DA =a11*a22-a12*a21IA = a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21) -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a11*a22-a12*a21)EA = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) 【*例6.1.1-6】验证积分。syms A t tao w;yf=int(A*exp(-i*w*t),t,-tao/2,tao/2);Yf=simple(yf) Yf =2*A*sin(1/2*tao*w)/w 6.1.2 符号计算中的算符和基本函数6.1.3 识别对象类别的指令【*例6.1.3-1】数据对象及其识别指令的使用。（1）生成三种不同类型的矩阵，给出不同的显示形式clear,a=1;b=2;c=3;d=4;%产生四个数值变量Mn=a,b;c,d%利用已赋值变量构成数值矩阵Mc=a,b;c,d%字符串中的a,b,c,d与前面输入的数值变量无关Ms=sym(Mc)%Ms是一个符号变量，它与前面各变量无关。 Mn = 1 2 3 4Mc =a,b;c,dMs = a, b c, d （2）三种矩阵的大小不同SizeMn=size(Mn),SizeMc=size(Mc),SizeMs=size(Ms) SizeMn = 2 2SizeMc = 1 9SizeMs = 2 2 （3）用class获得每种矩阵的类别CMn=class(Mn),CMc=class(Mc),CMs=class(Ms) CMn =doubleCMc =charCMs =sym （4）用isa判断每种矩阵的类别（若返回1，表示判断正确）isa(Mn,double),isa(Mc,char),isa(Ms,sym) ans = 1ans = 1ans = 1 （5）利用whos观察内存变量的类别和其它属性whos Mn Mc Ms%观察三个变量的类别和属性 Name Size Bytes Class Mc 1x9 18 char array Mn 2x2 32 double array Ms 2x2 408 sym objectGrand total is 21 elements using 458 bytes 6.1.4 符号表达式中自由变量的确定【*例6.1.4-1】对独立自由符号变量的自动辨认。（1）生成符号变量syms a b x X Y;k=sym(3);z=sym(c*sqrt(delta)+y*sin(theta);EXPR=a*z*X+(b*x2+k)*Y; （2）找出EXPR中的全部自由符号变量findsym(EXPR)%除常数符号k外的所有独立符号变量都被列出ans =X, Y, a, b, c, delta, theta, x, y （3）在EXPR中确定一个自由符号变量findsym(EXPR,1) ans =x （4）在EXPR中确定2个和3个自由变量时的执行情况findsym(EXPR,2),findsym(EXPR,3) ans =x,yans =x,y,theta 【*例6.1.4-2】findsym确定自由变量是对整个矩阵进行的。syms a b t u v x y;A=a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+vfindsym(A,1) A = a+b*x, sin(t)+u x*exp(-t), log(y)+vans =x 6.2 符号表达式和符号函数的操作6.2.1 符号表达式的操作【*例6.2.1-1】按不同的方式合并同幂项。EXPR=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t);expr1=collect(EXPR)%默认合并x同幂项系数expr2=collect(EXPR,exp(-t)%合并exp(-t)同幂项系数 expr1 =x3+2*exp(-t)*x2+(1+exp(-t)2)*x+exp(-t)expr2 =x*exp(-t)2+(2*x2+1)*exp(-t)+(x2+1)*x 【*例6.2.1-2】factor指令的使用（1）除x外不含其它自由变量的情况syms a x;f1=x4-5*x3+5*x2+5*x-6;factor(f1) ans =(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1) （2）含其它自由变量的情况之一f2=x2-a2;factor(f2) ans =(x-a)*(x+a) （3）对正整数的质数分解factor(1025) ans = 5 5 41 【*例6.2.1-3】对多项式进行嵌套型分解clear;syms a x;f1=x4-5*x3+5*x2+5*x-6;horner(f1) ans =-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x 【*例6.2.1-4】写出矩阵各元素的分子、分母多项式（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式syms x;A=3/2,(x2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x2,3*x+4;n,d=numden(A)pretty(simplify(A)%为方便阅读而设。请用simple代替simplify试试。 n = 3, x3+5*x2-3 4, 3*x+4d = 2, (2*x-1)*(x-1) x2, 1 3 2 x + 5 x - 3 3/2 - (2 x - 1) (x - 1) 4 - 3 x + 4 2 x （2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令相同。pretty(simplify(n./d)%注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除” 3 2 x + 5 x - 3 3/2 - (2 x - 1) (x - 1) 4 - 3 x + 4 2 x 【*例6.2.1-5】简化（1）运用simplify简化（即使多次运用simplify也不能得到最简形式。）syms x;f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3);sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1) sfy1 =(2*x+1)3/x3)(1/3)sfy2 =(2*x+1)3/x3)(1/3) （2）运用simple简化g1=simple(f),g2=simple(g1) g1 =(2*x+1)/xg2 =2+1/x 【*例6.2.1-6】简化syms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)2);ssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1) ssfy1 =cos(x)+(-sin(x)2)(1/2)ssfy2 =cos(x)+(-sin(x)2)(1/2) gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1) gg1 =cos(x)+i*sin(x)gg2 =exp(i*x) 6.2.2 符号函数的求反和复合【*例6.2.2-1】求的反函数syms x;f=x2;g=finverse(f) Warning: finverse(x2) is not unique. In E:MAT53toolboxsymbolicsymfinverse.m at line 43g =x(1/2) fg=simple(compose(g,f)%验算g(f(x)是否等于x fg =x 【*例6.2.2-2】求的复合函数（1）自变量由机器确定syms x y u fai t;f=x/(1+u2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g) fg1 =cos(y+fai)/(1+u2) （2）指定自变量fg2=compose(f,g,u,fai,t) fg2 =x/(1+cos(y+t)2) 6.2.3 置换及其应用6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令【*例6.2.3.1-1】演示子表达式的置换表示。clear all,syms a b c d W;V,D=eig(a b;c d);RVD,W=subexpr(V;D,W)% RVD = -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c 1, 1 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*WW =(d2-2*a*d+a2+4*b*c)(1/2) 6.2.3.2 通用置换指令【*例6.2.3.2-1】用简单算例演示subs的置换规则。（1）产生符号函数syms a x;f=a*sin(x)+5; （2）符号变量置换f1=subs(f,sin(x),sym(y)% f1 =a*y+5 （3）符号常数置换f2=subs(f,a,x,2,sym(pi/3)% f2 =3(1/2)+5 （4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取a=2，x=pi/3）f3=subs(f,a,x,2,pi/3)% f3 = 6.7321 （5）数值数组置换之一（取a=2，x=0:pi/6:pi）f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi)% f4 = 5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000 （6）数值数组置换之二（取a=0:6，x=0:pi/6:pi）f5=subs(f,a,x,0:6,0:pi/6:pi)% f5 = 5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000 6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算6.2.4.1 向双精度数值转换的doblue指令6.2.4.2 任意精度的符号数值【*例6.2.4.2-1】指令使用演示。digits%显示省缺符号数值计算相对精度 Digits = 32 p0=sym(1+sqrt(5)/2);%p0为(1+sqrt(5)/2准确值 p1=sym(1+sqrt(5)/2)%p1是(1+sqrt(5)/2在数值环境下的近似值e01=vpa(abs(p0-p1)%在符号环境32位省缺精度下，观察p0, p1间误差 p1 =7286977268806824*2(-52)e01 =.543211520368250e-16 p2=vpa(p0)%p2是p0在32位相对精度下的近似e02=vpa(abs(p0-p2),64)%在64位相对精度下，观察p0, p2间的误差 p2 = 1.6180339887498948482045868343657 e02 = .61882279690820194237137864551377e-31 digits%验证vpa变精度计算不影响全局的符号数值计算精度 Digits = 32 6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换【*例6.2.5-1】符号、数值间的转换。phi=sym(1+sqrt(5)/2)%把数值对象转换成符号常数double(phi)%把符号常数转换为双精度存储的数值 phi =7286977268806824*2(-52)ans = 1.6180 【*例6.2.5-2】各种多项式表示形式之间的转换syms x;f=x3+2*x2-3*x+5;%生成符号多项式sy2p=sym2poly(f)%由符号多项式产生数值系数行向量p2st=poly2str(sy2p,x)%把系数行向量变成易读表示式p2sy=poly2sym(sy2p)%把数值系数行向量再转换为符号多项式pretty(f,x)%显示符号多项式的易读表示形式 sy2p = 1 2 -3 5p2st = x3 + 2 x2 - 3 x + 5p2sy =x3+2*x2-3*x+5 3 2 x + 2 x - 3 x + 5 6.3 符号微积分6.3.1 符号序列的求和【*例6.3.1-1】求，syms k t;f1=t k3;f2=1/(2*k-1)2,(-1)k/k;s1=simple(symsum(f1)%f1的自变量被确认为ts2=simple(symsum(f2,1,inf)%f2的自变量被确认为k s1 = 1/2*t*(t-1), k3*ts2 = 1/8*pi2, -log(2) 6.3.2 符号微分和矩阵【*例6.3.2-1】求、和syms a t x;f=a,t3;t*cos(x), log(x);df=diff(f)%求矩阵f对x的导数dfdt2=diff(f,t,2)%求矩阵f对t的二阶导数dfdxdt=diff(diff(f,x),t)%求二阶混合导数 df = 0, 0 -t*sin(x), 1/xdfdt2 = 0, 6*t 0, 0dfdxdt = 0, 0 -sin(x), 0 【*例6.3.2-2】求的矩阵。syms x1 x2 x3;f=x1*exp(x2);x2;cos(x1)*sin(x2);v=x1 x2;fjac=jacobian(f,v) fjac = exp(x2), x1*exp(x2) 0, 1 -sin(x1)*sin(x2), cos(x1)*cos(x2) 6.3.3 符号积分6.3.3.1 通用积分指令6.3.3.2 交互式近似积分指令6.3.3.3 符号积分示例【*例6.3.3.3-1】求。演示：积分指令对符号函数矩阵的作用。syms a b x;f=a*x,b*x2;1/x,sin(x);disp(The integral of f is);pretty(int(f) The integral of f is 2 3 1/2 a x 1/3 b x log(x) -cos(x) 【*例6.3.3.3-2】求。演示如何使用mfun指令获取一组积分值。（1）求一般积分结果F1=int(1/log(t),t,0,x) F1 =-Ei(1,-log(x) （2）利用mfun指令求x=0.5 , 0.6 , 0.7 , 0.8 , 0.9时的定积分x=0.5:0.1:0.9F115=-mfun(Ei,1,-log(x) x = 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000F115 = -0.3787 -0.5469 -0.7809 -1.1340 -1.7758 【*例6.3.3.3-3】求积分。注意：内积分上下限都是函数。syms x y zF2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2)VF2=vpa(F2)%积分结果用32位数字表示 F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2(1/2)+14912/4641*2(1/4)+64/225*2(3/4)VF2 =224.92153573331143159790710032805 【*例6.3.3.3-4】利用rsums求积分。（与例6.3.3.3-2结果比较）syms x positive;px=0.5/log(0.5*x);rsums(px) 图6.3.3.3-4 交互式近似积分6.3.4 符号卷积【*例6.3.4-1】本例演示卷积的时域积分法：已知系统冲激响应，求输入下的输出响应。syms T t tao;ut=exp(-t);%定义系统输入ht=exp(-t/T)/T;%定义系统冲激响应uh_tao=subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao);%运用变量替换指令形成被积函数yt=int(uh_tao,tao,0,t);%实施卷积yt=simple(yt) yt =-(exp(-t)-exp(-t/T)/(T-1) 【*例6.3.4-2】本例演示通过变换和反变换求取卷积。系统冲激响应、输入同上例，求输出。syms s;yt=ilaplace(laplace(ut,t,s)*laplace(ht,t,s),s,t);yt=simple(yt) yt =-(exp(-t)-exp(-t/T)/(T-1) 【*例6.3.4-3】求函数和的卷积。（1）在5.2版（配Symbolic Math Toolbox 2.0.1）中，采用以下指令。syms t tao;ut=sym(Heaviside(t)-Heaviside(t-1);ht=t*exp(-t);yt=int(subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,abs(t)-tao),tao,0,abs(t);yt=collect(yt,signum(abs(t)-1),yt=subs(yt,abs(t),t)% yt =(-1/2+1/2*exp(-abs(t)+1)*abs(t)*signum(abs(t)-1)-exp(-abs(t)*abs(t)-exp(-abs(t)+1/2*exp(-abs(t)+1)*abs(t)+1/2yt =(-1/2+1/2*exp(-t+1)*t)*signum(t-1)-exp(-t)*t-exp(-t)+1/2*exp(-t+1)*t+1/2 （2）5.3版（配Symbolic Math Toolbox 2.1）中的运行指令和结果如下。syms tao;t=sym(t,positive);%把t定义为限定性符号变量 ut=sym(Heaviside(t)-Heaviside(t-1);ht=t*exp(-t);yt53=int(subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao),tao,0,t);yt53=collect(yt53,Heaviside(t-1) yt53 =(-1+exp(1-t)*t)*Heaviside(t-1)+1+(-t-1)*exp(-t) 6.4 符号积分变换6.4.1 Fourier变换及其反变换【*例 6.4.1-1】求的Fourier变换。本例演示三个重要内容：单位阶跃函数和单位脉冲函数的符号表示；fourier指令的使用；simple指令在MATLAB不同版本中的表现差异。（1）求Fourier变换syms t w;ut=sym(Heaviside(t);%定义0时刻起跳的单位阶跃函数UT=fourier(ut)%实施Fourier变换，给出与理论一致的结果UTC=maple(convert,UT,piecewise,w)%计算结果起指示作用UTS=simple(UT)%在此是5.3版的运算结果，简化导致漏项！ UT =pi*Dirac(w)-i/wUTC =PIECEWISE(undefined, w = 0,0, otherwise)UTS =-i/w （2）求Fourier反变换进行验算Ut=ifourier(UT,w,t)%结果与原函数相等Uts=ifourier(UTS,w,t)%结果与原函数不等 Ut =1/2+1/2*Heaviside(t)-1/2*Heaviside(-t)Uts =1/2*Heaviside(t)-1/2*Heaviside(-t) 【*例6.4.1-2】用fourier指令求例6.1.1-6中方波脉冲的Fourier变换。本例再次演示：fourier, simple 指令的配合使用。（1）求Fourier变换syms A t tao w;yt=sym(Heaviside(t+tao/2)-Heaviside(t-tao/2);Yw=fourier(yt,t,w)Ywc=maple(convert,Yw,piecewise,w)%计算结果起指示作用Yws=simple(Yw) Yw =exp(1/2*i*tao*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)-exp(-1/2*i*tao*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)Ywc =-i*exp(1/2*i*tao*w)/w+i*exp(-1/2*i*tao*w)/wYws =2*sin(1/2*tao*w)/w （2）用反变换验算Yt=ifourier(Yw,w,t),Yws=ifourier(Yws,w,t) Yt =1/2*Heaviside(t+1/2*tao)-1/2*Heaviside(-t-1/2*tao)-1/2*Heaviside(t-1/2*tao)+1/2*Heaviside(-t+1/2*tao)Yws =1/2*Heaviside(t+1/2*tao)-1/2*Heaviside(-t-1/2*tao)-1/2*Heaviside(t-1/2*tao)+1/2*Heaviside(-t+1/2*tao) 【*例6.4.1-3】求的Fourier变换。本例演示：fourier的缺省调用格式的使用要十分谨慎。syms t x w;ft=exp(-(t-x)*sym(Heaviside(t-x);F1=simple(fourier(ft,t,w)%给出以w为频率变量的正确结果F2=simple(fourier(ft)%误把x当作时间变量F3=simple(fourier(ft,t)%误把x当作时间变量，又误把t当作频率变量 F1 =1/exp(i*x*w)/(1+i*w)F2 =i*exp(-i*t*w)/(i+w)F3 =i*exp(-t*(2+i*t)/(i+t) 6.4.2 Laplace变换及其反变换【*例6.4.2-1】求的Laplace变换。syms t s;syms a b positive%对常数进行“限定性”设置 Dt=sym(Dirac(t-a);%Ut=sym(Heaviside(t-b);%Mt=Dt,Ut;exp(-a*t)*sin(b*t),t2*exp(-t);MS=laplace(Mt,t,s) MS = exp(-a*s), exp(-b*s)/s b/(s+a)2+b2), 2/(1+s)3 【*例6.4.2-2】验证Laplace时移性质： 。syms t s;t0=sym(t0,positive);%ft=sym(f(t-t0)*sym(Heaviside(t-t0)FS=laplace(ft,t,s),FS_t=ilaplace(FS,s,t) ft =f(t-t0)*Heaviside(t-t0)FS =exp(-s*t0)*laplace(f(t),t,s)FS_t =f(t-t0)*Heaviside(t-t0) 6.4.3 Z变换及其反变换【*例6.4.3-1】求序列 的Z变换，并用反变换验算。（1）单位函数及性质验证syms nDelta=sym(charfcn0(n);%定义单位函数D0=subs(Delta,n,0);%计算D15=subs(Delta,n,15);%计算disp(D0,D15);disp(D0,D15) D0,D15 1, 0 （2）求序列的Z变换syms z;fn=2*Delta+6*(1-(1/2)n);FZ=simple(ztrans(fn,n,z);disp(FZ = );pretty(FZ),FZ_n=iztrans(FZ,z,n) FZ = 2 4 z + 2 - 2 2 z - 3 z + 1FZ_n =2*charfcn0(n)+6-6*(1/2)n 6.5 符号代数方程的求解6.5.1 线性方程组的符号解【*例 6.5.1-1】求线性方程组的解。本例演示，符号线性方程组的基本解法。A=sym(1 1/2 1/2 -1;1 1 -1 1;1 -1/4 -1 1;-8 -1 1 1);b=sym(0;10;0;1);X1=Ab X1 = 1 8 8 9 【*例 6.5.1-2】求解上例前3 个方程所构成的“欠定”方程组，并解释解的含义。syms kA2=A(1:3,:);X2=A2b(1:3,1)%求一个特解：最少非零元素的最小二乘解XX2=X2+k*null(A2)%构成通解A2*XX2%验算 X2 = 0 8 4 6XX2 = k 8 4+4*k 6+3*kans = 0 10 0 6.5.2 一般代数方程组的解【*例6.5.2-1】求方程组，关于的解。S=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z)disp(S.y),disp(S.y),disp(S.z),disp(S.z) S = y: 2x1 sym z: 2x1 symS.y -1/2/u*(-2*u*w-v+(4*u*w*v+v2-4*u*w)(1/2)-w -1/2/u*(-2*u*w-v-(4*u*w*v+v2-4*u*w)(1/2)-wS.z 1/2/u*(-2*u*w-v+(4*u*w*v+v2-4*u*w)(1/2) 1/2/u*(-2*u*w-v-(4*u*w*v+v2-4*u*w)(1/2) 【*例6.5.2-2】用solve指令重做例 6.5.1-2。即求，构成的“欠定”方程组解。syms d n p q;eq1=d+n/2+p/2-q;eq2=n+d+q-p-10;eq3=q+d-n/4-p;S=solve(eq1,eq2,eq3,d,n,p,q);S.d,S.n,S.p,S.q Warning: 3 equations in 4 variables. In E:MAT53toolboxsymbolicsolve.m at line 110 In E:MAT53toolboxsymbolicsymsolve.m at line 49ans =dans =8ans =4*d+4ans =3*d+6 【*例6.5.2-3】求的解。clear all,syms x;s=solve(x+2)x=2,x) s =.69829942170241042826920133106081 6.6 符号微分方程的求解6.6.1 符号解法和数值解法的互补作用6.6.2 求微分方程符号解的一般指令6.6.3 微分方程符号解示例【*例6.6.3-1】求的解。S=dsolve(Dx=y,Dy=-x);disp(blanks(12),x,blanks(21),y),disp(S.x,S.y) x y cos(t)*C1+sin(t)*C2, -sin(t)*C1+cos(t)*C2 【*例6.6.3-2】图示微分方程的通解和奇解的关系。y=dsolve(y=x*Dy-(Dy)2,x)%求微分方程解clf,hold on,ezplot(y(2),-6,6,-4,8,1)%画奇解cc=get(gca,Children);%取奇解曲线的图柄set(cc,Color,r,LineWidth,5)%把奇解画成粗红线for k=-2:0.5:2;ezplot(subs(y(1),C1,k),-6,6,-4,8,1);end%画通解hold off,title(fontname隶书fontsize16通解和奇解) y = x*C1-C12 1/4*x2图 6.6.3-2 通解和奇解曲线【*例6.6.3-3】求解两点边值问题： 。（注意：相应的数值解法比较复杂）。y=dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,y(1)=0,y(5)=0,x) y =-1/3*x3+125/468+31/468*x4 【*例6.6.3-4】求边值问题的解。（注意：相应的数值解法比较复杂）。S=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g,f(0)=0,f(3)=1)S.f,S.g S = f: 1x1 sym g: 1x1 symans =exp(3*t)*sin(4*t)/sin(12)/(cosh(9)+sinh(9)ans =exp(3*t)*cos(4*t)/sin(12)/(cosh(9)+sinh(9) 6.7 利用MAPLE的深层符号计算资源6.7.1 经典特殊函数的调用6.7.2 MAPLE库函数在线帮助的检索树（1） 翻阅Maple在线帮助的索引类目的指令是mhelp indexmhelp index%查看Maple在线帮助的索引类目 Index of help descriptionsCalling Sequence: ?indexcategory or help(index, category);Description:- The following categories of topics are available in the help subsystem:indexexpression#expression operators for forming expressions indexfunction#