imc试题决赛试题及参考答案(高一年级).doc

高一年级决赛试题姓名_ _国家_ 得分_一、 选择题（每小题5分，共40分）1. 若非空集合A=x|2a+1x3a-5，B=x|3x22，则使A(AB)成立的所有a的集合是（）；（A）a|6a9（B）a|a9（C）a|1a9（D）2. 已知函数y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数，且y=f-1(x+5)的图像经过点(-1，3)，则y=f(x+1)的图像经过点（）；（A）(2,4)（B）(3,-1)（C）(-2,8)（D）(3,4)3. Determine the monotonic range（单调递增区间）of where .（A）（B）（C）（D）4. 从1、2、3、20中，任取3个不同的数，使这3个数按从小至大排列组成等差数列，那么这样的等差数列有（）个；（A）90（B）120（C）180（D）2405. The three vertices of ABC are A, B, C and P is a point the plane such that，Determine the relationship of point P and ABC. A. P is on the straight line of side ABB. P is an exterior point of ABC C. P is an interior point of ABC D. P is a trisection point on side6. 已知是第二象限角，且sincos，则等于（）；（A）sec(-)（B）cos（C）sec(-)（D）-cos(-)7. 甲随机的从19这9个数字中选3个数字并将它们按高位数字大低位数字小的方式排成一个三位数；乙随机的从18这8个数字中选3个数也按照同样的方式得到一个三位数；那么事件“甲得到的数比乙的大”发生的概率为（）；（A）（B）（C）（D）8. 集合中有（）个元素；（A）1（B）2（C）0（D）无数二、 填空题（每小题5分，共40分）9. 若函数,，且，则的最大值是_；10. For any real numbers x and y, we have a function f(x) satisfy and 11. 已知A、B为锐角，且满足，则cos(A+B)=_；12. Given two sets:and.what are the possible values of a?13. 写出的一个素因子：_；14. 设实数x、y满足，那么x+y=_；15. 对一个数列进行一次“冒泡排序”是指如下系列操作：首先比较数列中第一项与第二项的大小，若则交换这两项在数列中的位置（即交换的数值），否则数列的所有项都保持不变；接着比较现在数列中第二项与第三项的大小，按照同样的规则，若则交换，否则不变；接着比较第三项与第四项的大小如此等等，直至最后比较与的大小并按规则交换位置后结束；现将1、2、3、4、2013随机排列成一个2013项的数列，对此数列进行一次“冒泡排序”操作，则所得的数列第10项恰是初始数列的第5项的概率为_；16. 设函数，则f(2013)=_；三、 解答题（每小题10分，共20分）17. 已知，满足：A中任意两个元素之差的绝对值不等于3或4或5，求|A|的最大值，并说明理由；18 . 对三元数组(A,B,C)可进行以下变换：变换1：可将三个数进行任意重新排列；变换2：可将(A,B,C)变换成(2B+2C-A,B,C)；假设初始状态给定的三元数组为(-1,0,1)；1）能否可经有限步变换，得到三元数组(2012,2013,2014)；并说明理由；2）能否可经有限步变换，得到三元数组(2009,2010,2011)；并说明理由；3）已知可经有限步变换，得到三元数组(1,2024,x)，求x的所有可能取值，并说明理由；高一年级（决赛）试题 答案题号12345678答案CACACACA题号910111213141516答案400873、649657、9273721简答题17、18题答案详解17、已知，满足：A中任意两个元素之差的绝对值不等于3或4或5，求|A|的最大值，并说明理由；【答案】756【解析】将1、4、7、2、5、8、3、6顺次标记到正八边形的8个顶点处，两个数之差为3或5或4当且仅当这两个数在八边形上相邻或位于一条主对角线的两端；容易证明：任意连续八个数中至多能选3个数满足两两之差不是3、4、5，故在1至2013中至多能选3252=756个数满足要求；-5分构造也可由上述得到：如选取所有8k+1、8k+2、8k+3型数；-5分18、对三元数组(A,B,C)可进行以下变换：变换1：可将三个数进行任意重新排列；变换2：可将(A,B,C)变换成(2B+2C-A,B,C)；假设初始状态给定的三元数组为(-1,0,1)；1）能否可经有限步变换，得到三元数组(2012,2013,2014)；并说明理由；2）能否可经有限步变换，得到三元数组(2009,2010,2011)；并说明理由；3）已知可经有限步变换，得到三元数组(1,2024,x)，求x的所有可能取值，并说明理由；【答案】否、否、1935或2115【解析】1）A+B+C的奇偶性在变换1、2下保持不变；故1+0+(-1)=0为偶数，不可能得到2012+2013+2014为奇数；-3分2）A+B+C(mod4)在变换1、2下或者保持不变；或者变为-(A+B+C)(mod4)；故1+0+(-1)=0(m