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第三部分 非线性分析第1章 非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。如果绘制一个非线性结构的载荷位移曲线，则力与位移的关系是非线性函数。 2、 引起结构非线性的原因：a几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性 ：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变 c 状态改变非线性 ：接触，单元死活 3、非线性行为分析方法特点 A 不能使用叠加原理! B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。 C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。 1.2非线性分析的应用 1、一些典型的非线性分析的应用包括： A 非线性屈曲失稳分析 B 金属成形研究 C 碰撞与冲击分析 D 制造过程分析（ 装配、部件接触等） E 材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封 :一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶），及状态非线性（接触）的例子。2.1非线性方程组的解法1、 求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值问题。结构总位能 ： 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即ANSYS中的荷载步或荷载子步。A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前，调整刚度矩阵以反映结构刚度的变化。 B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是极限值屈曲分析）十分有用。 C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载位移曲线飘移。 D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。应用最广的就是在每一级载荷增量上用Newton-Raphson或其变形的迭代法。 3、迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newton-Raphson迭代法：切向刚度法中 2.2 Newton-Raphson迭代法1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有二次收敛速度。2、 Newton-Raphson 法迭代求解使用下列方程：KT = 切向刚度矩阵 ，u = 位移增量 Fa = 施加的载荷矢量 ，Fnr = 内力矢量 3、 Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代。 给定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr ）（由单元应力产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内力相平衡。 收敛是平衡的度量。 4、5、 迭代中的Newton-Raphson 不平衡量是：不平衡量 R 实际上从未真正等于零。当不平衡量小到误差允许范围内时，可中止迭代，得到平衡解。6、 虽然使用一致切向刚度的Newton-Raphson法具有平方的收敛速度，但它不能保证一定收敛！只有初始构形在收敛半径以内， Newton-Raphson 才可以保证收敛。，否则，发散。7、 Newton-Raphson迭代法：A F.N.R: 缺点：消耗机时！ 优点：适用于高度非线性问题。 B I.N.R: 缺点：收敛性较差。 优点：消耗机时少。C M.N.R: 优缺点介于前两者之间8、 三种方法的比较：计算效率： I.N.R M.N.R F.N.R 收敛性： F.N.R M.N.R I.N.R 因此： 当非线性程度不高（一般为加载初期）时用I.N.R，当非线性程度较高（一般为加载后期）时用M.N.R或F.N.R。 2.3 收敛准则1、Newton-Raphson迭代法的收敛判据： A 位移/旋转增量准则 :位移收敛准则有时不可靠！ B 力/力矩平衡准则 :不平衡力收敛准则有时也不可靠！ C 能量准则(ansys中不使用，用户可自己定义) 2.4 载荷步、子步与平衡迭代步 1、载荷步： 在ANSYS中，结构上施加的载荷及边界条件由一系列定义的载荷步来描述。 子步： 给定载荷步中的载荷是逐步施加上去的 ，载荷的每个增量称之为子步。 平衡迭代步：每个子步中为得到收敛解而进行的迭代步。 2、a每个载荷步与子步都与“时间”相关联。子步也叫时间步。 B 在率相关分析（蠕变，粘塑性）与瞬态分析中，“时间 ”代表真实的时间。 C 对于率无关的静态分析，“时间” 表示加载次序。在静态分析中，“时间”可设置为任何适当的值。 D 建模技巧: 在静态分析中，“ 时间 ”可设置为给定载荷的大小，这样将易于绘制载荷位移曲线。 2.5 非线性求解控制选项1、 对于非线性分析，有三种方程求解器供选择：Sparse、 波前求解器 、PCG 2、梁/壳模型，或梁/壳/实体模型：使用sparse 求解器。 三维实体模型（ Solid92 或 Solid45 ），自由度数相对较大（ 100,000 ）：使用PCG 求解器 。 病态问题或单元刚度矩阵带宽大（包含在输出文件中）：使用sparse 求解器。 非对称矩阵：使用sparse 求解器。 注意: 如果可使用并行处理，波前求解器可能比sparse 求解器速度快，因为波前求解器对并行计算进行了优化3、 收敛判据收敛范数:L1范数，L2范数，无限范数L1范数:用不平衡量绝对值的和与收敛判据作对比。 L2范数:用力不平衡量的 SRSS （平方和的平方根）。 无限范数:检查所有自由度的最大不平衡量。（此选项的作用是为收敛独立检查模型的每个自由度。）4、若响应平稳且时间步长适当小，预测可以加速收敛。 B 若响应不平稳或分析中涉及大旋转，预测可能导致发散！ C 对大旋转分析不要使用预测。 5、线性搜索是一个非常强大的改进收敛工具。2.6 非线性求解过程1、完成非线性分析所需的典型步骤： a. 指定分析类型 b. 指定几何非线性打开或关闭 c. 为载荷步指定“ 时间 ” d. 用NSUBST或DELTIM设定子步数 e. 施加载荷与边界条件 f. 指定输出控制与监视值 g. 保存数据库 h. 求解载荷步2、最大子步数（ Nmax ）：通过最小时间步长确定子步的 最小子步数（ Nmin ）：通过最大时间步长确定子步的3、如果当载荷移走后，输入系统的能量能恢复，此系统是保守的。如果系统能量耗散了，则此系统是非保守的。保守系统的分析与路径无关，载荷可以按任意顺序施加。非保守系统的分析与路径是相关的，必须根据实际载荷加载历史施加。第二章 结构稳定性3.1 结构稳定性基本知识1、非线性载荷位移曲线： 理想的加载路径 非理想结构的加载路径 结构的动态响应 3.2结构稳定性分析方法 ：1、计算结构的静态力-位移响应不同的分析技巧：载荷控制、位移控制、弧长法 载荷控制：在Newton-Raphson 法中使用载荷控制的困难: 求解无法越过不稳定点 在不稳定点(Fcr)，刚度矩阵KT奇异,使用载荷控制Newton-Raphson 法将不收敛。 此种分析对描述结构的前屈曲特性有益。 位移控制：弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷，可用位移控制完成求解。 优点: 在Fcr 点外产生一个稳定求解。弧长法：强制Newton-Raphson 迭代沿着与平衡路径相交的圆弧收敛，可得到承受零或负刚度的结构的解。 3.3 前屈曲分析1、 分析方法：线性特征值屈曲 、非线性屈曲分析 2、 线性特征值屈曲：线性失稳分析以经典的特征值问题为基础。为求解特征值问题，首先求解线弹性前屈曲加载状态P0 的载荷位移关系；既给定P0解P0 = Keu0 以得到 u0：加载P0的位移结果 s： u0引起的应力结果 假设前屈曲位移很小，可给出任意状态(P,u，s)的增量平衡方程 P = （Ke + Ks(s) ）u 这里 Ke ： 弹性刚度矩阵 Ks(s) ：在应力状态s下计算的初始应力矩阵 将上面的表示式带入前面的针对整个前屈曲范围的增量平衡方程中，可得到 ( Ke + Ks(s0) )u = 0 为满足前面的关系式，必须 Det( Ke + Ks(s0) ) = 0 在有n个自由度的有限元模型中，上式得到n阶的特征值多项式。这种情况下的特征矢量u 代表了叠加在失稳系统上的变形。 计算出的最小的特征值是弹性临界载荷Pcr； 当施加单位载荷时，最小特征值是载荷放大系数； 3、特征值屈曲分析包括下面四个主要步骤： a. 建模 ：只允许线性特性 ，必须定义杨氏模量 b. 用预应力得到静力解 c. 得到特征值屈曲解 d. 查阅结果 4、非线性屈曲 使用一种逐渐增加载荷的非线性静力分析技术，求得使结构变得不稳定的载荷。 可包括： 初始缺陷、 塑性行为、接触 、大变形等其它非线性特征。5、非线性屈曲分析的目标：找到第一个极值点（结构不稳定前的最大载荷）。 6、非线性屈曲比特征值屈曲更准确，因此在设计与评价结构时推荐使用非线性屈曲分析7、 非线性屈曲分析包括下面三个主要步骤： a. 建模 （包含一个初始缺陷或扰动） b. 求解 d. 查阅结果8、建模 A 初始化屈曲时需要一个小扰动（例如小的力）或一个几何缺陷。 B 特征值屈曲分析出的模态形状可用于产生初始缺陷。 C 施加的载荷应设置为略高（ 10 to 20%）于特征值屈曲分析预测的临界载荷。9、 求解不收敛并不一定意味着结构达到最大载荷！ 10、在结构接近屈曲载荷时切向刚度接近于零。数值不稳定性或物理不稳定性可通过载荷位移曲线的斜度来分辨。3.4 后屈曲分析 1、后屈曲分析技巧包括: n位移控制、动态分析 、弧长法2、位移控制可用于预测简单加载条件下的后屈曲响应 主要缺点：复杂加载时通常不清楚施加了多大的位移 3、动态分析：使用力载荷控制的静力稳定性问题可用非线性瞬态动力分析求解。 动力求解的主要缺点是它不易减弱不需要的动态响应（振动）。4、 弧长法只对力控制的比例加载分析有效。 不允许面载荷。 载荷因子作用于所有的载荷 因此，为了产生不稳定性使用几何缺陷比使用扰动载荷更好。5、弧长法分析中时间: 与载荷因子相关 6、如果弧长法不收敛，则减少初始弧长半径可提高收敛性。减小弧长半径乘子(MINARC)同样可提高收敛性。 7、由于采用了过大或过小的弧长半径导致的一个困难是分析沿载荷位移曲线向后“ 漂移”。 可使用子步数(NSUBST) 与弧长半径乘子(MAXARC 与 MINARC) 调节弧长半径 8、特征值屈曲分析 GUI求解步骤: 步骤一： 设置分析标题 步骤二： 定义单元类型 步骤三： 定义实常数和材料特性 步骤四： 定义节点和单元 步骤五： 施加边界条件和载荷。 步骤六： 求解静力分析 步骤七： 求解屈曲分析。 步骤八： 进行后处理。 步骤九： 退出ANSYS 9、非线性屈曲分析 GUI分析步骤： 步骤一：建立模型，给定边界条件。 步骤二：恢复数据库文件“buckle2.db” 步骤三：进入求解器。 步骤四：定义分析类型和选项 步骤五：在结点1的Y方向施加一个大小为-250的力 步骤六：设置载荷步选项 步骤七：选择弧长法 步骤八：求解问题 步骤九：进行所需要的后处理。 第三章 塑性分析4.1 塑性的基本概念1、 塑性: 在施加载荷的作用下，材料发生永久性变形（发生不可恢复塑性应变）的材料行为。2、 比例极限 ：多数韧性金属在一定应力水平下的行为是线性的，此应力水平称为比例极限。在比例极限下，应力与应变间的关系是线性的。屈服点：在此的应力水平下，应力应变响应是弹性的。在屈服点以下，发生的任何应变在载荷移走后都可完全恢复。 3、 典型的塑性行为： 理想弹塑性材料行为或应变强化行为 Bauschinger 效应 ：指在拉伸屈服后再压缩时屈服应力减小，因此在拉伸与屈服应力间存在接近 2sy 的差异。4、对于一般应力状态，应力可分解为：静水压应力 ，应力偏量 应力偏量代表了移走静水压应力后的纯剪状态5、 等效应力是从应力偏量中推导出的，它是剪切应变能的度量。等效应力用于确定一应力状态是否发生了屈服， 即定义屈服判据。6、 Mises等效应力： 7、 塑性应变的大小可能是施加载荷快慢的函数。 率无关： 塑性应变发生不需考虑时间效应。 率相关： 塑性与应变率有关。 4.2 增量塑性理论1、增量塑性理论中有三个基本组成部分： 屈服准则流动准则 强化准则2、 屈服准则 是应力状态的单值（标量）度量，将用于对比单轴实验中的屈服应力。因此，知道了应力状态和屈服准则后，程序可确定是否发生了塑性应变。用于多轴情况 3、 von Mises 屈服准则： 屈服面 是三维空间中一个以 s1=s2=s3 为轴的圆柱面。在二维情况下，屈服准则可绘制为椭圆。屈服面内的任意应力状态是弹性的，屈服面外的则表示已经发生屈服。 4、 总的应变增量可分为弹性部分与塑性部分。塑性流动定义了应力与塑性应变增量间的关系。 流动准则也描述了发生屈服时塑性应变的方向。从屈服准则推导出的流动方程表明，塑性应变发展的方向垂直于屈服面。这样的流动准则称为相关流动准则。 如果使用其它的流动准则（从其它不同的函数中推导出的），则称为不相关的流动准则。 5、 与单轴情况相联系，强化准则 规定了材料的应变强化。强化准则描述了在塑性流动过程中怎样更改屈服面。 6、ANSYS使用了两种强化准则来规定屈服面的更改： 各向同性强化 屈服面将随塑性流动扩大尺寸。 随动强化 屈服面在应力空间移动。 7、 各向同性强化预测初始屈服面随塑性流动将均匀扩张。此强化模型假设塑性变形是各向同性过程，忽略Bauschinger 效应。 对于循环加载，一般不采用此模型。 8、 随动强化 假设随塑性流动，初始屈服面象刚体一样移动。 材料开始时是各向同性的，因为包括了Bauschinger 效应，在屈服后就不再是各向同性的了。 随动强化通常用于小应变和循环加载情况。 4.4 塑性分析的注意事项单元算法 1、 对于塑性分析，可用下列单元算法不协调模式（特殊形函数） ： Solid45 缺省选项，适用于弯曲变形 选择缩减积分（ B-Bar ）： 接近不可压缩材料，体积变形 统一缩减积分 (URI) ： 接近不可压缩材料，弯曲变形 混合 U-P 形式 ： 不可压缩或接近不可压缩材料 2、 排除错误应避免应力奇异，除非此区域的单元过大。导致奇异性模型的例子有： 单点力或单点约束 凹角 模型组件间的单点连接 单点耦合或接触条件 应力奇异会导致单元扭曲，从而引起发散，如果使用了缩减积分，应力奇异会导致沙漏行为。 第13页第四章 接触非线性3.1 接触问题1、特点：1）接触问题是高度非线性的2）具有接触面的结构，在承受载荷过程中，接触面的状态和接触的应力分布相互影响。 在多数接触问题中接触区域是未知的。表面与表面会随时接触或脱离，这会导致系统刚度的突然变化。 摩擦与路径有关，要求精确的加载历史。摩擦的响应还可能是杂乱的，使求解难以收敛。2、 接触类型接触问题一般按照接触体的刚度大小可分为两类:刚体对柔体：一个表面的刚度比另一个表面的刚度要高很多。柔体对柔体：所有表面刚度相差不多3.2 接触协调条件1、物理接触的数学描述：耦合或约束方程2、如果：接触模型没有摩擦 接触区域始终粘在一起 分析是小挠度、小转动问题可以用耦合或约束方程代替接触。使用耦合或约束方程的优点是：分析还是线性的。3、A罚函数法允许侵入，但用一个弹簧施加接触协调条件称为罚函数法。弹簧刚度或接触刚度称为罚参数。B 拉格朗日乘子法不允许侵入，增加一个附加自由度(接触压力)，以满足不侵入条件。C 扩展拉格朗日法将罚函数法和拉格朗日乘子法结合起来施加接触协调条件合称为扩展的拉格朗日法。 不断更新接触刚度的罚函数法：在迭代的开始，接触协调条件基于惩罚刚度决定。一旦达到平衡，就检查许可侵入量。如果侵入大于允许值，则各个接触单元的接触刚度加上接触力乘以拉格朗日乘子的数值继续进行迭代。优点：1）与罚函数法相比较少病态，单个接触单元的接触刚度取值可能更合理。2）与单纯的拉格朗日法相比，没有刚度阵零对角元。因此在选择求解器上没有限制，PCG等迭代求解器都可以应用。3）用户可以自由控制允许的穿透值TOLN。3.3 接触单元1、 ANSYS有三种类型的接触单元： 节点对节点：这是指接触的最终位置事先是知道的。 节点对面：接触区域未知，并且允许大滑动。面对面：接触区域未知，并且允许大滑动。2、 如果两个表面的节点一一对应，相对滑动变形量可以忽略,并且两表面的挠度（转动量）较小，那么这些单元还能用于模拟面对面接触问题。注意：点对点接触只能用于低次单元3、 节点对表面接触单元缺省：罚函数法作为接触协调条件可以使用综合的罚函数和拉格朗日乘子。节点对表面接触只可以用于低次单元。4、 面对面接触单元：面对面接触单元使用扩展的拉格朗日法施加接触协调条件(默认)。根据需要用户也可以用罚函数法。u 面对面接触的优点a 与低次和高次单元都兼容。b 支持具有大滑动和摩擦的大变形。c 提供更好的接触结果 (易于进行接触压力和摩擦应力的后处理)。d 能计算壳和梁的厚度及壳厚度的改变。e 半自动接触刚度计算。f “ 控制节点” 对刚性面的控制。g 智能缺省设置、接触向导 (易于使用)。5、面对面接触单元由分别定义目标面和接触面的独立的单元类型组成。接触对通过共用一个实常数指定。目标169和170单元：刚性或可变形的目标表面接触171到 174单元：二维和三维接触单元3.4 接触刚度1、点对点(接触12单元和接触52单元)和节点对表面(接触48单元和接触49单元)接触单元都要求给出罚刚度。罚刚度越大，接触表面的侵入量越小。但罚刚度太大，则会由于病态条件而引起收敛困难。可以通过多次试算来确定一个合适的接触刚度，使求解收敛且侵入量可以接受。接触刚度是接触面的相对刚度的函数。2、对于块状实体， 通常赫兹接触刚度适用于罚刚度, 可以这样估算:k = f E式中f 是介于0.110之间的系数， E是较软的接触材料的弹性模量。对于柔性组分(梁和壳模型)，系统的刚度可以比赫兹接触刚度要低很多接触刚度可以这样估算:k = f (P/D)。上式适用于柔性体接触，f 是介于1100之间的系数。3.5 面对面接触问题处理1、对于面对面接触单元，一个面指定为“目标”面，另一个面为“接触”面。 对于刚体对柔体接触，刚体表面总是指定为目标面。 对于柔体对