线性控制系统理论与方法动态系统模型

第3章动态系统模型 3 1系统模型的建立3 2单变量系统输入 输出模型与状态空间模型的关系3 3多变量系统输入 输出模型与状态空间模型的关系3 4线性系统规范型状态方程3 5代数等价线性系统的不变特性3 6组合系统的状态空间模型和传递函数矩阵 3 1系统模型的建立ConstructionofSystemModel 图3 1系统的方框图表示 定义3 5 系统模型就是反映系统变量间的因果关系和变换关系的一种数学模型 根据不同变量组间的因果关系来表征动态过程 系统模型可分为外部描述模型和内部描述模型 外部描述模型又称为输入 输出模型 内部描述模型又称为状态空间模型 图3 2RLC电路 由基尔霍夫定律得 3 1 其中 其输入 输出模型为 3 2 选择电感电流和电容两端电压为内部变量 则状态空间模型为 3 3 若系统 3 1 在零初始条件下 3 2 式两端取Laplace变换得到 称为系统 3 2 的传递函数 图3 3车辆系统 状态空间模型为 由以上两例可以看出 I O模型只是对系统的一种不完全描述 它不能反映系统内部 黑箱 的某些部分信息 而状态空间模型则是基于系统内部结构的分析 由两个微分方程和一个代数方程组成 我们把反映系统内部变量组与输入变量组之间因果关系的数学表达式 常是差分方程与微分方程形式 称为状态方程 另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间的转换关系的代数方程 称为输出方程 由以上两例可以看出 I O模型只是对系统的一种不完全描述 它不能反映系统内部 黑箱 的某些部分信息 而状态空间模型则是基于系统内部结构的分析 由两个微分方程和一个代数方程组成 我们把反映系统内部变量组与输入变量组之间因果关系的数学表达式 常是差分方程与微分方程形式 称为状态方程 另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间的转换关系的代数方程 称为输出方程 状态变量组在物理上的特征为 若状态变量个数n为有穷正整数时 相应的系统称为有穷维系统 且称n为系统的阶次 当n为无穷大时 相应的系统称为无穷维系统 所有的集中参数系统都是有穷维系统 而所有分布参数系统都是无穷维系统 状态变量组的选取是不惟一的 系统的任意两个状态变量组间是线性变换的关系 3 5 分别把h s 的分母多项式和分子多项式的根称为系统 3 4 的极点和零点 若一个多项式的所有根均在复平面的开左半平面内 即所有根具有负实部 则称该多项式是稳定的 也称为Hurwitz多项式 若传递函数的所有极点均在复平面的开左半 图3 4线性定常系统的复频率域方块图 3 6 3 6 的向量形式为 将定义3 7推广 得到动态系统一般化的输入输出模型如下 定义3 9 设y u分别是系统的q维输出和p维输入向量 动态系统的输入 输出模型为 3 7 定义3 10 对于图3 5所示的动态系统 状态空间模型为 3 8 3 9 称为系统的输出方程 3 8 3 9 写为向量形式为 图3 5动态系统方块图 3 10 称为系统的状态空间模型 定义3 11 离散时间动态系统的状态空间模型是反映系统各变量组在离散时刻的因果关系和转换关系 其状态方程和输出方程为 线性连续时间和离散时间系统的状态空间模型为 3 11 解 该问题的离散时间模型为 连续时间模型为 例3 4考虑如图3 6所示的小车 其上端有一倒置摆 用铰链与之相连 为简化计算 假定小车和倒置摆在同一平面内运动 且忽略摩擦 摆杆质量及风速的影响 问题是要使摆杆维持在垂直位置 若倒摆坠落于图示位置 小车就向右运动并通过铰链施加一力迫使摆回到垂直位置 这一简单机构能够用作导弹助推器在起飞时的简化模型 图3 6车摆系统 解 设H和v分别表示小车给于摆的水平和垂直方向的作用力 应用牛顿定律于直线运动 得 将牛顿定律应用于摆的旋转运动 得 这为一非线性方程组 而此例的目的是要保持摆位于平衡位置 故我们作很小的假设是合理的 在此假设下 可采用 化简得 3 12 利用此线性方程组 可以导出系统的输入 输出描述和状态空间描述 设初始条件为零 应用Laplace变换 可得 由此可得系统的状态空间描述 四 动态系统按其状态空间模型的分类根据状态方程和输出方程中 是否为x u的线性函数而分为非线性系统和线性系统 线性系统模型为 其中均为不依赖于状态x和输入u的时变阵 2 时变系统和非时变系统根据状态空间模型中是否显含时间t而分为时变系统和非时变 时不变或定常 系统 时不变 定常 系统为 线性时不变 定常 系统为 3 连续系统和离散系统根据时间t是连续或离散而分为连续系统和离散系统 线性时不变离散系统模型为 线性连续系统和离散系统的方框图见图3 7 a b 图3 7线性连续系统和离散系统的方框图 另外 还有如下两种分类 1 根据系统是否含有随机因素而分为确定性系统和随机系统 2 根据状态向量导数前面系数矩阵是否奇异而分为正常系统和奇异系统 奇异系统模型为 图3 8动态系统的分类图 五 非线性动态系统的线性化 考虑如下非线性动态系统 3 13 3 14 其中 3 2单变量系统输入 输出模型与状态空间模型的关系RelationshipbetweenI OModelandState SpaceModel一 系统的实现 Realization 问题由I O模型确定出状态空间模型的问题称为实现问题 本节先讨论SISO线性定常系统的实现问题 单变量线性定常系统的I O模型可用如下单变量高阶微分方程表示 其中m n 算法一 引入微分算子 I O模型表示为如下形式 3 16 i 当时 式 3 16 改写为 即有 选取状态变量组为 即 例3 5 已知系统的输入 输出模型为y 3 16y 2 194y 1 640y 160u 1 720u 它的一个状态空间模型为 ii 当m n时 先将 3 16 式有理分式进行严格真化 即 3 18 3 18 式等价于 选取与 i 中相同的状态向量 得到一个状态空间模型为 例3 6 已知系统的输入 输出模型如下 它的一个状态空间模型为 3 19 其中 为待定常数 由 3 19 式得 3 20 由对应项系数相等 得到Markov参数的值为 3 21 并且有 由 3 19 3 20 和 3 21 得 例3 7 给定系统的I O模型为 由式 3 21 先求出Markov参数为 一个状态空间模型为 二 SISO线性系统状态空间模型导出输入 输出模型 定理3 1设单变量系统的状态空间模型为 3 22 其中 证明对式 3 22 取Laplace变换得 进而 有 所以有 又因为y cx t 所以 故g s 是系统的传递函数 由Laplace反变换得系统 3 22 的输入 输出模型为 3 3多变量系统输入 输出模型与状态空间模型的关系RelationshipbetweenMIMOI OModelandState SpaceModel 本节推广讨论MIMO线性定常系统的实现问题 通常一个传递函数矩阵可采用多种形式的描述来表示 所以相应地可采用不同的方法来构造其实现 本节假定所研究的传递函数矩阵G s 是严格真的 且以有理分式矩阵的形式可表示为 其中 为q p常阵 一 传递函数矩阵G s 的两种典型实现方案 1 实现方案 给定式 3 24 所示的传递函数矩阵G s 其实现 A B C 为 3 25 证明 为p p矩阵 则由此可导出 可导出 考虑到 3 25 中矩阵A和B的形式 故由上式可得到 3 26 和 3 27 将 3 26 代入 3 27 又可导出 3 28 将 3 28 代入 3 26 有 于是 即可得到 即 A B C 为G s 的一个实现 2 实现方案 给定式 3 26 所示的传递函数矩阵G s 其实现 为 该方案的证明过程与实现 类似 读者可作为练习来证明 二 MIMO线性系统状态空间模型导出输入 输出模型 定理3 2 由状态空间模型导出传递函数阵 对于状态空间模型 3 23 证明对式 3 23 作Laplace变换 得 因为 所以 当D 0时G s 为真的 当D 0时G s 是严格真的 三 G s 和特征多项式的计算方法 对于给定的线性空间模型 A B C D 求出 再计算 则相应地传递函数阵可按下式求出 证明 设 所以 例3 8 系统的状态空间模型为 计算系数阵 所以传递函数的矩阵为 例3 9 定出下列各传递函数矩阵G s 的两类实现 i ii 解 i 确定出 由此可定出严真传递函数矩阵 s 的两个典型实现为 ii 确定出 由此可定出严真传递函数矩阵G s 的两个典型实现为 3 4线性系统规范型状态方程CanonicalStateEquationofLinearSystems 3 12设线性定常系统的状态方程为 3 29 3 30 所以 由定理3 3可得到如下推论 推论3 1若A具有以下形式 且其特征根两两互异 则变换阵P具有如下形式 二 Jordan规范型1 特征值的代数重数和几何重数定义3 13设 i为矩阵A的一个特征值 且有 2 广义特征向量定义3 14称一个非零向量vi是矩阵A的属于 i的k级广义特征向量 当且仅当 当k 1时 广义特征向量即为常义下的特征向量 性质3 1设vi是A的属于 i的k级广义特征向量 则如下定义的k个向量必是线性无关的 且称此向量组为长度是k的广义特征向量链 所以 k 0 同理 两端再左乘 A iI k 2可推出 k 1 0 依次类推 可得 性质3 2 设 i为A的代数重数为的特征值 计算秩 性质3 3 矩阵A属于不同特征值的广义特征向量之间必为线性无关 证明 类似于性质3 2的证明 表3 1 3 31 Jik称为相应于特征值的Jordan小块且具有形式 证明 由及 3 29 得 因为 由广义特征向量链的定义 不难推出 所以有 因此 关于Jordan规范型我们作如下说明 1 Jordan规范型表明 当系统阵A的特征值有重根时 通常不能通过变换而实现状态变量的完全解耦 Jordan 规范型是状态变量可能达到最少的耦合形式 在此规范型中 每一个状态变量的方程最多和下一序号的状态变量构成耦合 2 i的几何重数 i即为其Jordan小块的个数 而 i的代数重数 i则是所有属于 i的Jordan小块的阶数之和 即 3 当所有特征值的几何重数等于其代数重数 即 i i i 1 2 l时 此时 ik 1 k 1 2 i i 1 2 l Jordan规范型变为对角线规范型 4 对于式 3 31 表示的A的Jordan规范型 记 i 1 2 l 则A的最小多项式为 5 矩阵A为循环矩阵 见定义2 4 的充要条件是A的各特征值的几何重数均为1 也就是各个特征值的Jordan小块个数为1 即循环矩阵的特征多项式与其最小多项式相同 例3 10 系统的状态方程为 将该状态方程化为其规范型 解化为Jordan规范形的计算步骤如下 计算A的特征值 得 组成变换阵Q 导出状态方程的Jordan的规范型 3 5代数等价线性系统的不变特性PropertiesofLinearSystemunderCoordinateTransformation 记 则 所以 实际上 不同基下状态向量的坐标变换是线性非奇异变换 二 系统状态空间模型在坐标变换下的特性定理3 5给定线性定常系统的状态空间描述为 3 32 引入变换 并令变换后状态空间模型 3 33 则有下列公式成立 定理3 6 3 32 和 3 33 表示的系统状态空间模型 和具有相同的特征值 即 证明 定理3 7对于线性时变系统 3 34 3 35 则 3 34 与 3 35 间有如下关系 3 36 由系统代数等价的概念 易得如下结论 1 状态变换下 同一系统的两个状态空间模型是代数等价的 2 对于线性定常系统 代数等价的状态空间模型具有相同的对角线型或Jordan型 定理3 8线性定常系统的传递函数阵在坐标变换下保持不变 证明设变换前后系统状态空间模型分别为 A B C D 和 A B C D 则它们的传递函数矩阵为 当系统的输入和输出变量被确定后 不管如何选取其状态变量组 系统的输出 输入特性总是一样的 3 6组合系统的状态空间模型和传递函数矩阵SSModelandTransferFunctionMatrixofCompositionSystems 一 子