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文档简介

1 3行列式按行 列 展开 分析三阶行列式的一个规律 现以第二行元素为标准 将各项分组 其中 来自于 称为元素的代数余子式 注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式 例如 D中项符号为 中每一项可写成 例1计算行列式 说明 行列式按某行 列 展开是 降阶 简化计算行列式的重要方法 解 练习 计算 D 解 注 直接应用按行 列 展开定理计算行列式 运算量较大 尤其是高阶行列式 因此 计算行列式时 一般选择行 列 中零元素多的行 列 展开 或者先利用行列式性质将某行 列 化为仅含一个非零元素 再按此行 列 展开 化为低一阶行列式 如此继续下去 直到化为三阶或二阶行列式求解 例2计算 解将行列式按第一列展开 对于n阶范德蒙行列式 从第n行开始依次减去上一行的x1倍 得到 n 1阶范德蒙行列式 练习1 计算 解 每一行提取各行的公因子 于是得到 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式 由范德蒙行列式知 注 本题所给行列式各行 列 都是某元素的不同方幂 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同 需要利用行列式的性质 如提取公因子 调换各行 列 的次序等 将此行列式化成范德蒙行列式 然后根据公式计算出结果 即i行元素与j行对应元素的代数余子式乘积之和为0 i列元素与j列对应元素的代数余子式乘积之和为0 把行列式按第行展开有 证明 把行列式中的换成可得 同理 命题得证 0 例如 选1 3行 2 4列 得到D的一个2阶子式 M的余子式 M的代数余子式 解 例5计算行列式 解析选取第1 2行展开 得到 小结 计算行列式的常用方法利用定义计算 利用行列式性质化三角形行列式进行计算 利用行列式性质和展开定理 降阶法 计算 利用递推公式法与数学归纳法计算 利用范德蒙行列式计算 计算行列式的方法比较灵活 同一行列式可以有多种计算方法 有的行列式计算需要几种方法综合应用 在计算时 首先要仔细考察行列式在构造上的特点 利用行列式的性质对它进行变换后 再考察它是否能用常用的几种方法 作业 P3110 3 15 2 16 17 1 2 3 思考题 解析 第一行各元素的代数余子式之和为 求第一行各元素的
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