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不定积分 一 原函数与不定积分的概念 F x 为f x 的一个原函数 内容提要 二 基本积分公式 4 5 三 常见凑微分 6 一般地 7 四 第二类换元法 令 1 被积函数含 令 8 2 被积函数含 令 令 令 先配方 再作适当变换 有时用倒代换 简单 9 五 有理函数真分式的积分 分母在实数范围内因式分解 若分母含因式 若分母含既约因式 则对应的部分因式为 则对应的部分因式为 10 六 分部积分公式 注 下列题型用分部积分法 11 不定积分 典型例题 12 例1 求 解 一 由求 13 例2 在 上定义 在 内可导 在 内定义且可导 时 求 的表达式 解 时 时 14 例2 在 上定义 在 内可导 在 内定义且可导 时 求 的表达式 答案 15 例3 分段函数不定积分的求法 1 各段分别积分 常数用不同C1 C2等表示 2 根据原函数应该在分段点连续确定C1 C2 的关系 用同一个常数C表示 二 分段函数求不定积分 16 例3 解 17 在 连续 在 连续 18 自学 解 由处连续 得 19 例4 定义在R上 求 在 连续 解 20 三 有理函数的积分 例5 的结果中 求常数a b的值 使 不含反正切函数 不含对数函数 仅含有理函数 21 例5 求a b 使 不含反正切函数 不含反正切函数 解 22 例5 求a b 使 不含反正切函数 不含反正切函数 b任意 23 例5 的结果中 求常数a b的值 使 不含反正切函数 不含对数函数 仅含有理函数 不含对数函数 仅含有理函数 解 24 四 凑微分法 例6 求 原式 解 25 时 原式 时 原式 26 例7 解 求 27 例8 求 解 28 例9 求 解1 29 例9 求 解2 烦 30 例10 自学 解 31 五 分部积分法 被积函数是两类不同函数的乘积 例11 原式 解 32 例12 原式 解 33 例13 求 解 34 例14 递推公式 解 35 六 三角代换 例15 原式 解 36 例16 原式 解 37 七 倒代换 例17 分母含x的因子 分母x的最高次幂m与分子x的最高次幂n满足 原式 解 38 例18 原式 解 39 40 八 型 m n为正负整数 化为 m n中至少一个奇数 m n均为偶数 降次 m n均为负偶数 负奇数 化为 或 或 41 化为 m n中至少一个奇数 或 例19 答案 解 42 m n均为偶数 降次 例20 原式 积化和差公式 解 43 m n均为负偶数 负奇数 化为 或 例21 解 44 九 型 a b p q为常数 解题方法 求待定常数A B 使 分母 分母 45 例22 原式 解 46 例23 课外练习 47 十 两项都难积分 例24 一项用分部积分 产生另一项的相反项 解 48 例25 解 49 例26 解 50 十一 含抽象函数的积分 例27 设 的原函数是 求 或 解 51 例28 求 原式 解 52 例28 求 原式 另解 53 化为参数方程 十二 54 例29 其中 解题思路 把积分中变量x y换