应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第六章习题解答).ppt

应用多元统计分析 第六章部分习题解答 2 第六章聚类分析 6 1证明下列结论 1 两个距离的和所组成的函数仍是距离 2 一个正常数乘上一个距离所组成的函数仍是距离 3 设d为一个距离 c 0为常数 则仍是一个距离 4 两个距离的乘积所组成的函数不一定是距离 3 第六章聚类分析 2 设d是距离 a 0为正常数 令d ad 显然有 4 第六章聚类分析 故d ad是一个距离 3 设d为一个距离 c 0为常数 显然有 5 第六章聚类分析 故d 是一个距离 6 第六章聚类分析 7 第六章聚类分析 6 2试证明二值变量的相关系数为 6 2 2 式 夹角余弦为 6 2 3 式 证明 设变量Xi和Xj是二值变量 它们的n次观测值记为xti xtj t 1 n xti xtj的值或为0 或为1 由二值变量的列联表 表6 5 可知 变量Xi取值1的观测次数为a b 取值0的观测次数为c d 变量Xi和Xj取值均为1的观测次数为a 取值均为0的观测次数为d等等 利用两定量变量相关系数的公式 8 第六章聚类分析 9 第六章聚类分析 故二值变量的相关系数为 6 2 2 10 第六章聚类分析 利用两定量变量夹角余弦的公式 其中 故有 11 第六章聚类分析 6 3下面是5个样品两两间的距离阵 试用最长距离法 类平均法作系统聚类 并画出谱系聚类图 解 用最长距离法 合并 X 1 X 4 CL4 并类距离D1 1 12 第六章聚类分析 合并 X 2 X 5 CL3 并类距离D2 3 合并 CL3 CL4 CL2 并类距离D3 8 所有样品合并为一类CL1 并类距离D4 10 13 第六章聚类分析 最长距离法的谱系聚类图如下 14 第六章聚类分析 合并 X 1 X 4 CL4 并类距离D1 1 用类平均法 15 第六章聚类分析 合并 X 2 X 5 CL3 并类距离D2 3 合并 CL3 CL4 CL2 并类距离D3 165 4 1 2 所有样品合并为一类CL1 并类距离D4 121 2 1 2 16 第六章聚类分析 类平均法的谱系聚类图如下 17 第六章聚类分析 6 4利用距离平方的递推公式 来证明当 0 p 0 q 0 p q 1时 系统聚类中的类平均法 可变类平均法 可变法 Ward法的单调性 证明 设第L次合并Gp和Gq为新类Gr后 并类距离DL Dpq 且必有Dpq2 Dij2 新类Gr与其它类Gk的距离平方的递推公式 当 0 p 0 q 0 p q 1时 这表明新的距离矩阵中类间的距离均 Dpq DL 故有DL 1 DL 即相应的聚类法有单调性 18 第六章聚类分析 对于类平均法 因 故类平均法具有单调性 对于可变类平均法 因 故可变类平均法具有单调性 19 第六章聚类分析 对于可变法 因 故可变法具有单调性 对于离差平方和法 因 故离差平方和法具有单调性 20 第六章聚类分析 6 5试从定义直接证明最长和最短距离法的单调性 证明 先考虑最短距离法 设第L步从类间距离矩阵出发 假设 故合并Gp和Gq为一新类Gr 这时第L步的并类距离 且新类Gr与其它类Gk的距离由递推公式可知 设第L 1步从类间距离矩阵出发 21 第六章聚类分析 故第L 1步的并类距离 即最短距离法具有单调性 类似地 可以证明最长距离法也具有单调性 22 第六章聚类分析 6 6设A B C为平面上三个点 它们之间的距离为 将三个点看成三个二维样品 试用此例说明中间距离法和重心法不具有单调性 解 按中间距离法 取 1 4 将B和C合并为一类后 并类距离D1 1 而A与新类Gr B C 的类间平方距离为 23 第六章聚类分析 故中间距离法不具有单调性 按重心法 将B和C合并为一类后 并类距离D1 1 而A与新类Gr B C 的类间平方距离为 当把A与 B C 并为一类时 并类距离 24 第六章聚类分析 故重心法法不具有单调性 并类过程如下 当把A与 B C 并为一类时 并类距离 A B C 25 第六章聚类分析 解一 利用如果样品间的距离定义为欧氏距离 则有 6 7试推导重心法的距离递推公式 6 3 2 26 第六章聚类分析 27 第六章聚类分析 28 第六章聚类分析 解二 因样品间的距离定义为欧氏距离 利用 29 第六章聚类分析 利用 30 第六章聚类分析 故有 31 第六章聚类分析 6 8试推导Ward法的距离递推公式 6 3 3 解 Ward法把两类合并后增加的离差平方和看成类间的平方距离 即把类Gp和Gq的平方距离定义为 利用Wr的定义 32 第六章聚类分析 33 第六章聚类分析 34 第六章聚类分析 当样品间的距离定义为欧氏距离时 记Gr Gp Gq 则新类Gr与其它类Gk的平方距离为 利用重心法的递推公式 6 7题已证明 可得 35 第六章聚类分析 36 第六章聚类分析 6 9设有5个样品 对每个样品考察一个指标得数据为1 2 5 7 10 试用离差平方和法求5个样品分为k类 k 5 4 3 2 1 的分类法bk及相应的总离差平方和W k 解 计算样品间的欧氏平方距离阵 合并 1 2 CL4 并类距离D1 0 5 1 2 0 707 并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得 37 第六章聚类分析 合并 5 7 CL3 并类距离D2 2 1 2 1 414 并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得 合并 CL3 10 5 7 10 CL2 并类距离D3 32 3 1 2 3 266 并利