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高等代数教案第一章 多项式关键知识点：最大公因式,互素,不可约多项式,重因式(重根）,本原多项式,对称多项式;最大公因式存在性定理(定理2，P13）,因式分解及唯一性定理(P20),高斯引理(定理10，P30),艾森斯坦因判别定理(定理13，P33),对称多项式基本定理(定理15). 1.1 设的最大公因式是一个二次多项式,求的值. 详解 作辗转相除得如下关系式:,其中,(注:?).为使最大公因式是二次,必须:,解得. 1.2 证明:,(的首项系数等于1). 略证 ,又设,则.1.3 证明:若,则. 提示 (相乘所得).1.4 设,求证:.详证 先证.对作归纳.时成立.假设时成立.下证时也成立,设,由归纳假设,则,由题1.3,则成立.同理,.最后,对于,仍用最先所证方法即得要证问题. 或提示 反证,设,存在不可约多项式,推出矛盾. 1.5 证明:若,则. 提示 证. 问题 ?(参见题1.2). 1.6 求多项式有重根的条件. 详解 ,由于是一个三次多项式,那么有重根有重因式. 作辗转相除得:,其中,.上述运算中,若,则必须(否则),若,可运算到最后,为使,必须,即. 总之,必须. 1.7 证明:不能有重根.略证 反证,设有重根为,矛盾.问题 (1)是否有重根? (2)(素数)在上是否不可约?(利用艾森斯坦因判别定理). 1.8 若是的一个重根,证明:是的一个重根,其中.略证 ,则有重根,设重数为重根,又由题设,则重根,则,. 问题 重根重根?1.9 证明:是的重根,而.略证 由定理6推论1(P23). ,则为的重根,设重数为,则为的重根(由什么保证?),又由条件,为的0重根, 所以,即. 1.10 证明:如果,那么,.详证 设是的一根(三次单位根),则是其另一根.由于,并且,那么,则,即,所以,即,.问题 (1)? (2)?(为非负整数).提示 利用4(或3)次单位根讨论.1.11 判定多项式(奇素数)在有理数域上是否可约?略解 作变换(存在逆变换),则 ,又(为什么?素数),利用艾森斯坦因判别法即可. 1.12 求多项式的有理根. 详解 设其有理根为,则,那么可能的有理根为-1,1,-3,3.由综合除法-1 1 1 -6 -14 -11 -3-1 1 0 -6 -8 -3 ( 0-1 1 -1 -5 -3 ( 0-1 1 -2 -3 ( 0 1 -3 ( 0则知的有理根为-1(4重),3.问题 试在上分解多项式.1.13 用初等对称多项式表示如下对称多项式:.详解 是3元6次齐次对称多项式,首项为,利用基本定理的作法,则中间产生的序列其首项相应的数组有(4,1,1),(3,3,0),(3,2,1),(2,2,2).那么的首项只有,可设.取为1,1,0,代入上式,解得=-4,取为2,-1,-1,代入上式解得=-27, 取为2,2,-1,代入上式,解得=-4,取为1,1,1,代入上式,解得=18.那么.第二章 行列式关键知识点：逆序数,行列式的定义,矩阵及其初等行变换,元素的余子式及代数余子式,子式的余子式及代数余子式;行列式的基本运算性质,行列式的行(列)展开性质(定理3,P78),克兰姆法则;利用运算性质化三角形法,利用展开性质降(升)阶法,归纳与递归法等.2.1 设排列的逆序数为,问排列的逆序数是多少?略证 在原排列和倒排列中,任意两个元素之间均存在唯一一个逆序,因此二者的逆序数之和必为,则所求的逆序数为.2.2 由行列式定义计算中的系数,并说明理由.详解 由行列式定义,中的一般乘积项可设为,只有当二三四行中所取的元素恰好有两个含时,上述乘积项才可能产生出的项,所以排列可能为4231,3214,2134三种,这三种中只有第三种才真正出现的项,所以相应的项为,则系数为-1.2.3 由证明:奇偶排列各半.详证 由级行列式的定义,则,其中当排列为奇排列时,被加项为-1,当排列为偶排列时,被加项为+1,而,所以在所有的级排列中,奇排列偶排列各占一半.注 也可以用“对换改变排列的奇偶性”来证明:在所有的级排列中,奇排列偶排列各占一半.2.4 设,其中是互不相同的数. 1)由行列式的定义,说明是一个次多项式. 2)由行列式的性质,求出的根.略证 取不同于,则(范得蒙行列式),则;由行列式的定义,则每一个乘积项相应的单项式的次数不超过,那么.由行列式的性质,则(两行对应元素一致).所以,且的根分别为.2.5 计算下面的行列式 1) ; 2) .详解 1) .2) (范得蒙行列式).2.6 证明:. 提示 后两列加到第一列,提取2倍,再第一列的(-1)倍加到后两列.2.7 计算下列级行列式 1) 2) 3)略解 1) (其中第一步:按第一列展开).2)3).(第一步:第列加到第列,第列再加到前一列,一直下去,直到第二列加到第一列)注 也可将各列均加到第一列,再求(这种行列式属第二种“”字型).2.8 计算下列行列式 1) 2) 3) 4) 5) 详解 1)若,将第列的()倍加到第1列,则有.若有某个,不妨设,由定义或按第二行展开则有. 说明:这里是第一种“”字型,可以化为三角形行列式来作.2)将第1行的倍加到第2行,再将第2行的倍加到第3行,一直这样做下去,最后将第行的倍加到第行,则有 .说明:这里是第三种“”字型,可以化为三角形行列式来作或者如上那样化,再利用定义计算.3)将行列式按第1列展开,那么 则,记,则,那么,则.若,由于行列式中是对称的, 则也有,两式联立,则解得.若,则.说明:本题所用方法是递归法,该方法的具体作法是:设原行列式为,需找出之间的关系(也可能不涉及第三者)如,可设,比较系数,定出,由此转化出一个等比数列,则可求出,然后再设法求出即可.本题也可通过递归式使用第二数学归纳法求.4)将行列式按第行展开,那么 .由于,利用上述递归关系,则有,.说明:也可使用第二数学归纳法证明.5)将行列式进行扩边,则有(假设,否则另讨论) .2.9 设是数域上的互不相同的数,是数域上任一组给定的数,证明:存在唯一的数域上的多项式使.提示 是否存在唯一的多项式使得?也就是相当于求如下的线性方程组(未知)是否有唯一解?第三章 线性方程组关键知识点：向量组与向量组的线性表出及等价,向量组的线性相关及线性无关,向量组的极大线性无关组及秩,矩阵的秩,齐次线性方程组的基础解系,一般线性方程组的通解;替换定理(定理2,P110),方阵的行列式为零的充分必要条件定理(定理5,P129),矩阵秩的第二特性定理(定理6,P132),线性方程组有解判别定理(P135),齐次线性方程组的基础解系存在性定理(定理7,P140).3.1 设是互不相同的数,证明:,是线性无关的. 详证1 向量方程对应于齐次线性方程组,考虑其前个方程组成的方程组,的系数行列式为范得蒙行列式不等于零,因此只有零解,所以也只有零解(因为解集为解集的子集),那么线性无关.略证2 取向量组,证明线性无关,从而线性无关. 略证3 取数使两两不同,令,证明线性无关,从而线性无关.证明线性3.2 已知的秩为,证明:中任意个线性无关的向量都构成它的一极大线性无关组.详证 设为(1)的任意个线性无关的向量构成的部分组,不妨设为(1)的一极大线性无关组,任取向量(在(1)中但不在(2)中),则向量组可由(3)线性表出,且,那么(4)必线性相关(定理2),所以(2)也为极大线性无关组.3.3 设的秩为,为(1)中的个向量,使得(1)中每个向量都可被(2)线性表出,证明:(2)是(1)的一极大线性无关组.提示 不妨设为(1)的一极大线性无关组,那么(3)与(2)必然等价,因此它们有相同的秩,从而(2)也线性无关.3.4 用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩:,.祥解1 向量方程对应于如下齐次线性方程组.那么(2)同解于方程组,此(3)有非零解,则原向量组线性相关.又方程对应于方程组,而(5)又同解于,此(6)只有零解,则部分组线性无关,构成原组的极大线性无关组,则原组的秩为3.略解2 作如下初等行变换,用同步的初等行变换,则,则秩()=秩()=3,那么秩=秩=3,从而部分组为极大线性无关组.3.5 证明:如果向量组可以由向量组线性表出,那么的秩不超过的秩.略证 设的一极大线性无关组为,且的一极大线性无关组为,那么可由线性表出,又线性无关,则中的向量个数不超过中的向量个数,即秩不超过秩.3.6 设是一组维向量,证明:线性无关任一维向量都可被线性表出.略证 任给维向量,则线性相关(个维向量),又线性无关,则可被线性表出.由题设,则单位向量组可由线性表出,又任一维向量都可被单位向量组线性表出,则也可由线性表出, 所以与等价,那么秩=秩(单位向量组线性无关), 因此线性无关.问题 设向量组线性无关,线性相关,证明:线性无关.提示 证明两向量组等价.3.7 证明:方程组对任何都有解的充要条件是系数行列式.略证 记,那么对任何,(1)都有解任给,均可由线性表出线性无关.3.8 已知与有相同的秩,证明:(1)与(2)等价.略证 记秩(1)=秩(2)=,不妨设为(1)的一个极大线性无关组,那么(3)必为(2)的一极大线性无关组(题3.2),所以(1),(2)均与(3)等价,从而(1)与(2)等价. 注意 若两向量组有相同的秩,则它们未必等价,如(1,0)与(0,1).3.9 讨论取什么值时方程组有解,并求解.略解 系数矩阵的行列式,当且时,系数矩阵及增广矩阵的秩均为3,方程组有唯一解,由克兰姆法则,那么解为,;当时,方程组无解.当时,方程组有无穷多解,解为任取.问题 设,问取何值有解,并在有解时求一般解. 提示 讨论系数矩阵的行列式.3.10 证明:与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.详证 设为一已知齐次线性方程组的一基础解系,向量组与(1)等价,且线性无关.由替换定理,则,且(2)也为一组解(基础解系的线性组合仍为解);任给一解向量,则可由(1)线性表出,那么也可由(2)线性表出,所以(2)也为基础解系.问题 设方程组的系数矩阵的秩为,证明:方程组的任意个线性无关的解都是其一基础解系.提示 设齐次线性方程组的个线性无关解为,取其一基础解系,任给解,由由替换定理, 则向量组必线性相关,则可由(1)线性表出.3.11 取什么值时,方程组有解?在有解的情形,并一般解.略解 .当时,则方程组有解.此时原方程组同解于,(1)的导出组为分别取自由未知量为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),代入(2)则可解得导出组的基础解系为,再取自由未知量为(0,0,0)代入(1)则可解得特解为,那么一般解为任意.3.12 证明:方程组,有解的充分必要条件是.在有解的情形,求出它的一般解.略解 对方程组的系数矩阵的增广矩阵作初等行变换.当且仅当时秩=秩,则有解的充要条件是.一般解为任意.说明:题目3.11及3.12一般可通过讨论秩=秩解决问题,而3.9应先分析系数行列式更合适.第四章 矩阵关键知识点:非退化或非奇异矩阵,矩阵的逆,伴随矩阵,分块矩阵,初等矩阵,矩阵的等价;矩阵乘积的秩定理(定理2,P174),矩阵可逆的充要条件定理(定理3,P177),矩阵的等价标准形定理(定理5,P188), 可逆矩阵能表成初等矩阵的乘积定理(定理6,P190). 本章的三大问题:矩阵的求逆,矩阵的分块,矩阵的初等变换与初等矩阵.4.1 计算:1) ; 2) ; 3) . 详解 1)由于,且与可交换,则 .2)先不完全归纳,然后进行归纳证明.或者,假设第次的旋转坐标变换为 ,则它们的合成变换为,但这次的旋转变换的合成变换恰好相当于1次的旋转角的旋转变换,那么也有,所以有.3)记,则,那么(与可交换). 4.2 设,是一个矩阵,定义.若,试求. 略解 根据题目中的定义,则有.4.3 证明:任一矩阵都可表成一对称矩阵与一反对称矩阵之和.提示 ,前者对称,后者反对称.4.4 设,其中.证明:与可交换的矩阵只能是对角矩阵. 略证 设与可交换,则,那么,则当时,从而也为对角矩阵. 4.5 设,为级单位阵,.证明:与可交换的矩阵只能是准对角阵,其中为级矩阵. 提示 设与可交换,其中为阵,则,那么当时,则只能为准对角矩阵. 4.6 用表示行列的元素为1,而其余的元素全为0的矩阵,证明:1)若,则当时,当时;2)若,则(),(),且;3)若与所有的级矩阵可交换,则必为数量矩阵,即. 略证 1)由,则,比较即可.2)同样.3)与所有的级矩阵可交换,则与可交换, 由2)即知成立.4.7 证明:若是实对称矩阵,且,则.略证 记,则,且,那么,则,则,那么,即.4.8 设,.证明:. 略证 利用行列式的乘法规则及范得蒙行列式的结果,则有 .4.9 设是矩阵,证明:若,均有,则.略证 取维单位列向量组,则,那么,即,所以.4.10 设为阵,为阵,且. 证明:如果,那么.略证 记(按行分块),由,那么,又,即线性无关,因此有,即.另证 记(列分块),则,那么,又,不妨设的前个向量为极大线性无关组,则有,但是可逆,所以.问题 设分别为矩阵,且,.证明:若,则.提示 利用本题即可证明. 4.11 证明:.略证 记,(均按列分块),则.又组可由组线性表出,那么 .4.12 设为阵.证明:如果,那么. 详证 设,记(按列分块),由,那么, 则,说明是齐次线性方程组的一组解向量, 另设方程组有一基础解系,则可由线性表出, 所以,即得.4.13 设,已知存在,求. 详解 设为阵,为阵,则,那么存在,设,其中阵块分别为矩阵,由于,则, 可解得,所以.另解 由于,则,则,则,所以.问题 设,其中,并且,.求.提示 利用本题结论计算.4.14 矩阵称为下三角矩阵,如果时有.证明:可逆的下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵.详证 对方阵的阶数作归纳.时显然成立.假设时结论成立.下证时的情形,设为下三角阵,记(分块),则存在,且为阶可逆的下三角阵,由归纳假设,那么也为下三角阵.又,那么,所以时也成立.说明 本问题也可设出来直接证明,对于上三角矩阵也同样成立.4.15 设为矩阵().证明:.提示 .若,由于,则;若,则(否则,可逆,矛盾),则结论也成立.(或者当时,利用4.12讨论证明).4.16 设同上.证明:略证 若,则;若,则(存在阶非零子式),又,由题4.12则,则;若,则(的所有阶子式均为零),则.4.17 设,求.提示 由于,那么有,.说明 本题也可对矩阵直接用初等变换求逆或用伴随矩阵求逆.4.18 设分别为矩阵和矩阵.证明:.略证 由于,那么,一方面有,两边取行列式并利用乘法规则及拉普拉斯定理,则;另一方面,也有,则.问题 设如上,.证明:.提示 由于,63且,分别取行列式即可.第五章 二次型关键知识点：非退化线性替换,矩阵的合同,二次型的标准形定理(定理1,P215),对称矩阵的合同标准形定理,实二次型的规范形定理即惯性定理,实对称矩阵的合同规范形,实二次型(实对称矩阵)的秩及正惯性指数. 正定二次型,实二次型正定的判别定理,正定矩阵,实对称矩阵正定的充要条件定理,半正定二次型及半正定矩阵. 5.1 证明:与合同,其中是的一个排列.详证 对作归纳.时,结论成立.假设时结论成立.下证时的情形.对于对角矩阵与,其中是的一个排列.1)若,则是的一个排列.由归纳假设,则合同于,从而合同于.2)若,设,取,则,其中是的一个排列.由1)知合同于,从而也有合同于.提示 也可以按相应的二次型来证(通过一非退化线性替换).5.2 设是一个级矩阵,证明:1)是反对称矩阵对任一个维向量,有;2)如果是对称矩阵,且对任一个维向量有,那么.略证 1)若,则,因此,即(为任一维向量). 取(维单位向量),则由,即得, 再取,仍由,则,即反对称. 2)对称,且反对称,则.5.3 如果把实级对称矩阵按合同分类,即两个实级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同,问共有几类? 提示 两实级对称矩阵合同它们有相同的秩且有相同的正惯性指数.当秩为时,正惯性指数可以是,因此秩为k时的级实对称矩阵可以分为个合同类,所以共有个合同类. 5.4 证明:一个实二次型可以分解