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习 题 课 二 十 一一、选择题1设函数在点附近有定义，且，则（C） （A）； （B）曲面在点的法向量为； （C）曲线在点的切向量为； （D）曲线在点的切向量为。解：仅在点存在偏导数，因而在点不一定可微。故（A）不正确。 曲面在点的法向量为应为，即，故（B）不对。 曲线在点的切向量为 ，故（C）正确。或曲线可看作以x为参数的空间曲线，它在点的切向量为。2函数的极小值点是（B） （A）（0，0）； （B）（2，2）； （C）（0，2）； （D）（2，0）。解：，得驻点：（极大值点）；（非极值点）；（非极值点）；（极小值点）。 3在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（B）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有三条；（D）不存在。解：该曲线在任意一点的切向量，它与平面的法向量垂直，即，而每一个t对应于曲线上一点，应选（B）。二、填空题1 曲面点处的切平面方程为。解：设， 切平面方程为，即。2 函数在点处沿A点指向点的方向导数为，在点处方向导数的最大值为，最小值为。解：， 。，。3曲线在点处的切线方程为， 法平面方程为。解：两曲面在点的切平面的法向量为 ，切线的方向向量，切线方程为,法平面方程为，即。三、解答题1 过曲线在第一象限部分中哪一点作的切线与原曲线及坐标轴 之间所围成的图形面积最小？解：设切点为，这是长半轴为，短半轴为的椭圆。切线方程为，化为截距式：，设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为S，则 ，即。求条件极值问题：，令，代入(3)，得 ，得唯一驻点，函数S必有最小值，且S在定义域内只有唯一驻点，在点处面积S有最小值。2求中心在原点的椭圆的长半轴与短半轴的长度。解：设为椭圆上的任一点，点M到原点的距离，d的最大值即为长半轴a，d的最小值即为短半轴b。设，令由(1)得，代入(2)化简得，.把，即，.把，即，.由于最值必存在，故长半轴，短半轴。3某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费及报纸广告费之间有如下经验公式： ，求（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为，求相应的最优广告策略。解：（1）利润函数为 ，即， 由解得，。 利润函数在处的二阶偏导数为 ， ， ， 在处达到极大值，即最大值。故当电台广告费用为，报纸广告费用为时，可使利润最大。（2）若广告费用为，则求利润函数在条件下的最大值。设函数： ， 令， 解之得，即将广告费用万元全部用于报纸广告，可使利润最大。4 求曲面的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大。解：曲面在第一卦限的点处的法向量为，切平面方程为，即， 切平面在三个坐标轴上的截距分别为求条件极值问题：，设函数：，代入(4)得。函数A必有最大值，且在定义域内只有唯一驻点，曲面在点处的切平面在三个坐标轴上的截距之积为最大，该切平面方程为。5当时,（1）求在球面上的最大值，（2）证明对任何正数，有.（1）解： 设，代入(4)得。根据实际问题知，是最大值。，即。（2）证明：令，得。5 求证：时成立不等式