概率论基础.ppt

2020 1 2 数科院 Ch1 2 1 Ch1 事件与概率 3古典概型 一 模型与计算公式 二 基本的组合分析公式 三 概率直接计算的例子 四 抽签与顺序无关 五 二项分布与超几何分布 六 古典概率的基本性质 2020 1 2 数科院 Ch1 2 2 1 古典概型的定义 一 模型与概率的计算 2020 1 2 数科院 Ch1 2 3 根据有限样本空间的知识 事件A的概率为 2 概率的古典定义 称此为概率的古典定义 事件A的概率等于其样本点的概率之和 2020 1 2 数科院 Ch1 2 4 古典概型的应用 产品质量抽样检查 摸球模型 模型 设袋中有a只黑球和b只白球 外形相同 现从袋中任意摸出一球 观察其颜色 随机抽样 任何一件产品抽到的可能性都一样 放回抽样与不放回抽样 有关古典概率的计算经常用到排列组合的知识 2020 1 2 数科院 Ch1 2 5 1 加法原理 乘法原理 二 基本的组合分析公式 2 排列数 有重复的排列 放回 选排列 不放回 全排列 3 组合数 四种情况 4 常用公式 2020 1 2 数科院 Ch1 2 6 三 概率直接计算的例子 例1 摸球模型 不放回 设袋中有4只白球和2只黑球 现从袋中不放回地依次摸出2只球 求这2只球都是白球的概率 解 基本事件总数为 A所包含基本事件的个数为 2020 1 2 数科院 Ch1 2 7 放回 设袋中有4只红球和6只黑球 现从袋中有放回地摸球3次 求前2次摸到黑球 第3次摸到红球的概率 解 第1次摸球 6种 第1次摸到黑球 4种 第3次摸到红球 2020 1 2 数科院 Ch1 2 8 基本事件总数为 A所包含基本事件的个数为 课堂练习 1o电话号码问题在7位数的电话号码中 第一位不能为0 求数字0出现3次的概率 2o骰子问题掷3颗均匀骰子 求点数之和为4的概率 2020 1 2 数科院 Ch1 2 9 例2将15名新生随机地平均分配到三个班级中去 这15名新生中有3名是优秀生 问 1 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少 2 3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数 1 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有 2020 1 2 数科院 Ch1 2 10 因此所求概率为 2 将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种 对于每一种分法 其余12名新生的分法有 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 因此所求概率为 2020 1 2 数科院 Ch1 2 11 设有k个不同的球 每个球等可能地落入N个盒子中 设每个盒子容球数无限 求下列事件的概率 例3 分房模型 1 某指定的k个盒子中各有一球 4 恰有k个盒子中各有一球 3 某指定的一个盒子没有球 2 某指定的一个盒子恰有m个球 5 至少有两个球在同一盒子中 6 每个盒子至多有一个球 2020 1 2 数科院 Ch1 2 12 解 设 1 6 的各事件分别为 则 2020 1 2 数科院 Ch1 2 13 分房模型的应用 生日问题 2020 1 2 数科院 Ch1 2 14 利用Matlab统计软件包进行数值计算的结果 2020 1 2 数科院 Ch1 2 15 2o生日问题某班有20个学生都是同一年出生的 求有10个学生生日是1月1日 另外10个学生生日是12月31日的概率 课堂练习 1o分房问题将张三 李四 王五3人等可能地分配到3间房中去 试求每个房间恰有1人的概率 2020 1 2 数科院 Ch1 2 16 例4某接待站在某一周曾接待过12次来访 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的 假设接待站的接待时间没有规定 且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的 解 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 故一周内接待12次来访共有 2020 1 2 数科院 Ch1 2 17 小概率事件原理 小概率事件在一次实验中几乎是不发生的 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 周二 周四 12次接待都是在周二和周四进行的共有 故12次接待都是在周二和周四进行的概率为 2020 1 2 数科院 Ch1 2 18 袋中有a只黑球 b只白球 它们除颜色不同外 其它方面没有差别 现在把球随机地一只只摸出来 求第k次摸出的一只球是黑球的概率 第一种解法 把a b只球看作是不同的 有编号 四 抽签与顺序无关 2020 1 2 数科院 Ch1 2 19 第二种解法 把a只黑球看作是无区别的 把b只白球也看作没有区别的 第一种解法考虑到了顺序 因此用排列来解决 第二种解法不注重顺序而用组合 对于同一个随机现象可以用不同的样本空间来描述 因此同一个概率也有不同的求法 2020 1 2 数科院 Ch1 2 20 注解 1 选取的样本空间不同 解法不同 2 在计算样本点总数和有利事件数时 必须对同一个确定的样本空间考虑 3 古典概率的计算往往存在多种解法 应循序渐进地掌握 本例中 只考虑第k个位置放球 2020 1 2 数科院 Ch1 2 21 五 二项分布与超几何分布 袋中有a只白球 b只红球 从袋中按不放回与放回两种方式取m个球 求其中恰有k个 白球的概率 解 1 不放回情形 E1 从a b只球任取m个球 1 2020 1 2 数科院 Ch1 2 22 记事件A为m个球中有k个白球 则 注意 不放回地逐次取m个球 与一次任取m个球的结果等价 因此 这个概率称为 超几何分布 2020 1 2 数科院 Ch1 2 23 2 放回情形 E2 球编号 任取一球 记下颜色 放回去 重复m次 2 记B为取出的m个球中有k个白球 则 称二项分布 2020 1 2 数科院 Ch1 2 24 在N件产品中抽取n件 其中恰有k件次品的取法共有 于是所求的概率为 解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 超几何分布的另一种表示 例 2020 1 2 数科院 Ch1 2 25 六 古典概率的基本性质 两个互不相容的事件A与B的概率等于事件A与B的概率之和 即P A B P A P B 有限可加性 推广 2020 1 2 数科院 Ch1 2 26 推论 证明 2020 1 2 数科院 Ch1 2 27 例5在1 2000的整数中随机地取一个数 问取到的整数既不能被6整除 又不能被8整除的概率是多少 设A为事件 取到的数能被6整除 B为事件 取到的数能被8整除 则所求概率为 解 2020 1 2 数科院 Ch1 2 28 于是所求概率为 2020 1 2 数科院 Ch1 2 29 一袋中有N 1只黑球及一只白球 每次从袋中随机地摸出一球 并换入一只黑球 这样继续下去 问第k次摸球时摸到黑球的概率是多少 解 记A 第k次摸到黑球 则表示第k次摸到白球 则 例6 2020 1 2 数科院 Ch1 2 30 古典概率的基本性质 1 非负性 对任一事件A 有P A 0 2 规范性 对必然事件 有P 1 3 有限可加性 若事件A1 A2 An两两互不相容 则 2020 1 2 数科院 Ch1 2 31 No2作业 P50习题一918192224