线代数矩阵习题.doc

精品文档习题课一.单项选择题1. 设为n 阶可逆矩阵,为的一个特征根,则的伴随矩阵的特征根之一为( )A. B. C. D. 2.设为非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一特征值为( ) A. B. C. D.3.n阶方阵有n个不同的特征值是与对角阵相似的( ) A.充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要而非充分条件 D. 既非充分也非必要条件4.设为n 阶矩阵,且与相似,为n 阶单位矩阵,则( ) A. B. 与有相同的特征值与特征向量 C. 与都相似于一对角矩阵 D. 对任意常数,有与相似二.填空题1.若四阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,则行列式 2.设n阶方阵伴随矩阵为,且若有特征值,则的特征值为 3.矩阵的非零特征值为 4.n阶矩阵的元素全是1,则的n个特征值为 三、计算题1.设有三个线性无关的特征向量,求和 应满足的条件.2.设三阶实对称矩阵的特征值为1,2,3;矩阵的属于特征值1,2,的特征向量分别为（1）求的属于特征值3的特征向量;（2）求矩阵.3.设为的一特征向量.(1)求及特征值; (2) 可否对角化?4.设三阶矩阵满足其中试求矩阵.5.设矩阵问为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵？并求出和相应的对角矩阵.答 案一.单项选择题1、解: B.设为的属于的一个特征向量),则,即,从而.注:一般地,我们有:若为的一个特征根,则 (1)的特征根为;(2)的特征根为; (3)的特征根为; (4)若可逆,则的特征根为; (5)若,则的特征根为; (6)的特征根为.2、解: B. 设为的属于的一个特征向量),则(为实数),所以, 的一个特征值为=.3、解: B.4、解: D.二.填空题1、解: 24.设为的属于的一个特征向量), 可逆,则,即 的特征值为-1,从而(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面, 与相似,所以,存在可逆矩阵使得 ,即,所以与相似,相似矩阵有相同的行列式,因此, 24.2、解: 若的特征值为,则的特征值为,的特征值为,所以, 的特征值为3、解: 4. 计算特征行列式 .所以,非零特征值为4.4、解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)。三、计算题1、解: 所以, 的特征值为.因为有三个线性无关的特征向量,所以特征值1有两个线性无关的特征向量,即 r()=3-2=1,由秩为1可得: ,即和满足.2、解(1)设的属于特征值3的特征向量为矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,所以,即为下列方程组的非零解:解得基础解系为.所以的属于特征值3的全部特征向量为为任意实数.(2) 记则所以, 计算得 代入得 3、解: (1) 设为的属于特征值的一个特征向量),则,解得 (2)将代入得 ,所以1为的三重特征根.而, 所以不能对角化.4、解:由题意得 ,令 ,则 用初等行变换计算得 ,代入得 5、解: 先计算特征值和特征向量: 所以, 的特征值为 对 求解特征矩阵方程 要使可以对角化,重特征根对应矩阵方程的基础解系包含向量个数应等于它的重数,所以应有,即 =0.进一步求得属于的两个线性无关的特征向量为类似可得特征根的