固体物理

4 5离子晶体的长光学波 光学波中 原胞中不同的原子相对地作振动 晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动 正负离子组成的晶体 长光学波使晶格出现宏观极化 波长很长的光学波 长光学波 波长很长的声学波 长声学波 声学波代表原胞质心的振动 光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动 波长 原胞的线度 1 长光学波的宏观方程 两种正负离子组成的复式格子 立方晶体 长光学波 极化波 半波长内 正离子组成的布喇菲原胞同向位移 负离子组成的布喇菲原胞反向位移 使晶体中出现宏观的极化 原胞中的两个正负离子质量 两个正负离子的位移 描述长光学波运动的宏观量 黄昆方程 宏观极化强度和宏观电场强度 原胞体积 正负离子相对运动位移产生的极化和宏观电场产生的附加极化 离子相对运动的动力学方程 1 静电场下晶体的介电极化 恒定电场下 方程中的系数可用特殊情况下的介电常数表示 因此可通过实验测定 和比较 因为 2 高频电场下晶体的介电极化 电场的频率远远高于晶格振动的频率 E 0时 在长光学波下有 晶体中存在长光学纵波 LO 和长光学横波 TO 长光学纵波声子称为极化声子 LO 长光学纵波伴随有宏观的极化电场 极化声子 纵光学声子 长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场 电磁声子 长光学横波 TO 具有电磁性 可以和光场发生耦合 4 6确定晶格振动谱的实验方法 晶格振动的频率和波矢间的关系 晶格振动的振动谱 晶格振动的振动谱测定方法A 中子非弹性散射B 光子与晶格的非弹性散射C X射线散射 A 中子非弹性散射 入射晶体时中子的动量和能量 出射晶体后中子的动量和能量 能量守恒 动量守恒 倒格子矢量 声子的准动量 中子的能量 0 02 0 04eV 声子的能量 10 2eV两者具有相同的数量级 测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差 确定声子的频率 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近 容易测定中子散射前后的能量变化 直接给出声子能量的信息 根据入射中子和散射中子方向的几何关系 确定声子的波矢 得到声子的振动谱 局限性 不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况 B 光子与晶格的非弹性散射 入射光子的频率和波矢 散射光子的频率和波矢 光子与声子的作用过程满足 能量守恒 动量守恒 入射光子受到声子散射 变成散射光子 与此同时在晶格中产生 或者吸收一个声子 固定入射光的频率和入射方向 测量不同方向的散射光的频率 可以得到声子的振动谱 1 光子与长声学波声子相互作用 光子的布里渊散射 长声学波声子 光子的频率 注意 一般而言 可见光光子的波矢 108m 1 w 1016Hz 光子被长声学波声子散射 人射光子与散射光子的波矢大小近似相等 因此与之相互作用的声子的波矢 108m 1 长声学波声子的波矢可近似写成 不同角度方向测得散射光子的频率 得到声子频率 声子的波矢 声子振动谱 散射光和入射光的频率位移很小 布里渊散射 2 光子与光学波声子的相互作用 光子的拉曼散射 能量守恒 动量守恒 光子的拉曼散射只限于光子与长光学波声子的相互作用 可见光或红外光k很小 光子与光波声子发生相互作用 要求声子的波矢q必须很小 散射光和入射光的频率位移 Brillouin散射 频移 2 1 介于107 3 1010HzRaman散射 频移 2 1 介于3 1010 3 1013Hz 晶格振动所涉及的范围 即布里渊区的范围 108cm 1 局限性 用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一部分长波声子的振动谱 而不能测定整个晶格振动谱 3 X光非弹性散射 X光光子具有更高的频率 波矢可以很大 可以用来研究声子的振动谱 X射线的能量 104eV远远大于声子能量 10 2eV 在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射前后的能量差 因此确定声子的能量是很困难的 理想完整晶体杂质 缺陷附近晶格振动局域振动一 一维单原子链质量为M 的杂质原子代替一个原子M M M 则会出现局域振动模 频率高于原来的格波振动最高频率 4 7局域振动 M M 准局域振动模频率落在原来的格波振动频带内 在杂质附近表现的特别强 称为共振模 M2 M M1 m 晶格振动 声学支光学支形成频带 频带之间有带隙M 代替M1 M M1 出现隙模M M2 出现共振模M M2 出现隙模 二 一维双原子链 杂质原子引起 局域振动在红外光的频率存在有红外吸收例如 Si中B形成高频模GaP中的N代替P高频模表面或界面引起 表面波 沿表面传播 三 实际晶体中的局域振动 4 8晶体热容的量子理论 固体的定容热容 固体的平均内能 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量 实验结果 低温下 金属的热容 温度不是太低的情况 忽略电子对比热的贡献 电子对比热的贡献 晶格振动对比热的贡献 晶格振动对热容的贡献 经典理论 一个简谐振动平均能量 N个原子 总的平均能量 摩尔固体热容 杜隆 珀替定律 但是 实验表明在低温时 热容量随温度迅速趋于零 能量均分定律 晶格热容的量子理论 一个频率为 j的振动模对热容的贡献 频率为 j的振动模由一系列量子能级为组成 子体系 子体系处于量子态的概率 一个振动模的平均能量 与晶格振动频率和温度有关系 一个振动模对热容贡献 振动模的平均能量 高温极限 与杜隆 珀替定律相符 一个振动模对热容贡献 忽略不计 物理意义 低温极限 与实验结果相符 一个振动模对热容贡献 物理意义 晶体中有3N个振动模 总的能量 晶体总的热容 1 爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体 所有的原子以相同的频率 0振动 一个振动模式的平均能量 晶体热容 总能量 爱因斯坦温度 选取合适的 E值 在较大温度变化的范围内 理论计算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体 爱因斯坦热容函数 金刚石 理论计算和实验结果比较 A 温度较高时 与杜隆 珀替定律相符 晶体热容 B 温度非常低时 按温度的指数形式降低 实验测得结果 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别 晶体热容 2 德拜模型 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 有1个纵波和2个独立的横波 不同q的纵波和横波 构成了晶格的全部振动模 不同的振动模 能量不同 色散关系 三维晶格 态密度 V 晶体体积 受边界条件限制波矢q分立取值 允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子 体积元 态的数目 q是近连续变化的 振动数目 频率在之间振动模式的数目 各向同性的介质 频率也近似于连续取值 振动频率分布函数 或者振动模的态密度函数 一个振动模的热容 晶体总的热容 振动频率分布函数和 m的计算 频率在之间 纵波数目 频率在之间 横波数目 波矢的数值在之间的振动方式的数目 频率在之间 格波数目 频率分布函数 格波总的数目 频率在间 格波数目 晶体总的热容 德拜温度 晶体总的热容 令 德拜热容函数 在高温极限下 晶体总的热容 与杜隆 珀替定律一致 德拜热容函数 低温极限 T3成正比 德拜定律 温度愈低时 德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时 主要的只有长波格波的激发 晶体热容 晶体热容 4 9晶格振动模式密度 晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量 给定晶体 总的振动模数目是一定的按振动频率分布 用晶格振动模式密度来描述 从振动模式密度 研究晶格热容 晶体电学 光学性质 晶格振动模式密度 单位频率间隔 振动模式的数目 在q空间 晶格振动模是均匀分布的 状态密度 频率是q的连续函数 振动模式密度函数 之间振动模式数目 简单几种情况下振动模式密度的表示 A 一维无限长单原子链 色散关系 最大频率 振动模式密度 一维情况下 考虑到一个频率可以有两个值 振动模式密度 也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度 振动模式密度 德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢成正比 色散关系 q空间的等频率面是一个球面 球面面积 振动模式密度 三维情形 二维情况 等频率是一个圆 一维情况 振动模式密度 如果色散关系 三维情况振动模式密度二维情况振动模式密度一维情况振动模式密度 在的一些点 奇点 范霍夫奇点 是晶体中一些高对称点 布里渊区边界 这些临界点与晶体的对称性密切相联 4 10晶格的状态方程和热膨胀 晶体自由能函数 根据 得到晶格的状态方程 自由能函数 配分函数 注意 能级包含平衡时晶格能量和各格波的振动能 对所有晶格的能级相加 配分函数 自由能函数 晶体体积V改变时 格波的频率也要变化 因此 格临爱森近似计算 对所有的振动相同 格临爱森常数 晶格的平均振动能 晶体的状态方程 晶体的热膨胀 晶体在p 0下 体积随温度的变化 原子在平衡位置作微小振动 热膨胀较小 按泰勒级数展开 压强 第一项 静止晶格的体变模量 热膨胀系数 格临爱森定律 保留至第二项 由于 与晶格振动的非简谐性有关 若晶格振动是严格的简谐振动 就不会有热膨胀 以双原子分子为例来定性讨论热膨胀问题 受力 1 晶格热传导 用声子的输运过程半定量地说明晶格的热传导 在一定温度下 频率为 j的声子的平均声子数为 考虑一各向同性 均匀的绝缘棒 沿x方向放置 4 11晶格的热传导 影响声子平均自由程的主要因素有 声子与声子间的相互散射 固体中的缺陷对声子的散射 声子与固体外部边界的碰撞等 样品中存在温度梯度时 声子气体的密度分布布均匀 声子在无规运动的基础上产生定向运动 即扩散 2 声子间相互作用对声子平均自由程的影响 由于晶格振动非简谐性 不同格波间可以交换能量 才能达到统计平衡的 用 声子 语言表述 不同格波间的相互作用 表示为声子间的 碰撞 在热传导问题中 声子的碰撞起着限制声子平均自由程的作用 声子间的相互碰撞必须满足能量守恒和准动量守恒 碰撞过程其实是非简谐相互作用的结果 a 声子间的相互作用 N过程只改变动量的分布 而不改变热流的方向 不影响声子的平均自由程 这种过程不产生热阻 正规过程 或N过程 NormalProcesses 以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过程为例 翻转过程或U过程 UmklappProcesses 在U过程中 声子的准动量发生了很大变化 从而破坏了热流的方向 限制了声子的平均自由程 所以U过程会产生热阻 b 温度对声子平均自由程的影响 高温下 即T D时