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精品文档1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定0a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a|b|cosa，b；若a、b共线，则ab=+-ab。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方。 ab =ab=0。 |ab|a|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。 3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作ab。若a、b不共线，则ab的模是：ab=|a|b|sina，b；ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b共线，则ab=0。 向量的向量积性质： ab是以a和b为边的平行四边形面积。 aa=0。 ab=ab=0。 向量的向量积运算律 ab=-ba； （a）b=（ab）=a（b）； （a+b）c=ac+bc. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b； 当且仅当a、b反向时，左边取等号； 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、a-ba-ba+b。 当且仅当a、b同向时，左边取等号； 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点 定比分点公式（向量P1P=向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 ，使 向量P1P=向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式） x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 5、三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为ABC的重心 向量共线的重要条件 若b0，则a/b的重要条件是存在唯一实数，使a=b。 a/b的重要条件是 xy-xy=0。 零向量0平行于任何向量。 向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0。 ab的充要条件是 xx+yy=0。 零向量0垂直于任
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