南航-线性代数复习.ppt

1 一 阶行列式1 阶行列式定义 阶排列的逆序数 展开式的项数及判断某一项的符号 行列式性质及推论 2 阶行列式元素的代数余子式的概念及计算 行列式按一行展开定理及推论 展开定理 3 行列式计算 利用性质 按一行展开定理 展开 利用已知行列式值 并含计算分块矩阵及一些特殊方阵的行列式 线性代数复习提纲 2 二 维向量1 向量定义及其运算 向量的线性运算即加法和数乘 向量的内积的定义和运算规律 2 向量组的线性组合 一组 或一个 向量可由另一组向量线性表出 两组向量等价 定义和判定定理及有关结论 3 向量组的线性相关性 定义 判定向量组线性相关或线性无关 及相关的定理和推论 4 向量组的秩及极大线性无关组 定义 相关结论 求秩及极大线性无关组 5 标准正交向量组 正交向量组必是线性无关的 及施密特标准正交化 这是将一组线性无关的向量化为标准正交向量组的有效方法 6 维向量空间 定义 维数 一组基 中向量在一组基下的坐标 线性代数复习提纲 3 三 线性方程组 下述矩阵为矩阵 1 线性方程组有解的判定 1 齐次线性方程组有非零解2 线性方程组有解2 线性方程组解的性质 三条 线性代数复习提纲 4 3 线性方程组解的结构1 中时 基础解系通解 2 非齐次方程组 当时 为方程组一个特解 为其导出组的一个基础解系 则通解为 线性代数复习提纲 5 4 线性方程组具体求解方法1 讨论非齐次线性方程组解的存在性 将增广矩阵经过行初等变换化阶梯形 从而可得知与 当且仅当时有解 2 齐次线性方程组求通解的方法 1 阶梯形 求出一般解 2 求基础解系 并写出通解 线性代数复习提纲 6 3 非齐次线性方程组求通解的方法 1 阶梯形 求出一般解 2 求出一个特解 3 写出导出组的一般解 并求导出组的一个基础解系 4 写出通解 线性代数复习提纲 7 四 矩阵1 矩阵运算及其运算法则 加法 数乘 乘法 没有交换率 没有消去率 由得不出或 转置 求逆 2 阶矩阵的伴随矩阵 定义 性质 1 2 3 4 5 为阶矩阵 线性代数复习提纲 8 3 可逆矩阵 1 矩阵可逆的定义2 可逆 求的方法 3 矩阵可逆的充分必要条件4 化简及求解矩阵方程 线性代数复习提纲 9 4 矩阵的秩 1 定义 由定义知2 矩阵的秩等于它行 列 向量组的秩 3 矩阵的秩的求法 矩阵经初等变换化阶梯形 4 为矩阵 为矩阵 且 则 5 矩阵运算后秩的变化 数乘 转置 求逆 加法 乘法 5 方阵运算后的行列式关系 均为阶方阵 线性代数复习提纲 10 6 矩阵的初等变换 1 矩阵的行 列 三种初等变换 2 矩阵经初等变换 秩不变 3 初等矩阵 1 定义 2 初等矩阵在将矩阵作初等变换转化为矩阵乘法的等式时的特殊作用 7 矩阵的分块运算 矩阵与向量组的转化 矩阵方程和线性方程间的转化 线性代数复习提纲 11 8 特殊矩阵 定义及性质 零矩阵 单位矩阵 数量矩阵 上 下 三角矩阵 对角矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 正交矩阵 正定矩阵 9 两矩阵间的关系 1 阶矩阵与相似 定义 性质 2 阶矩阵与互为可逆矩阵 3 阶矩阵与合同 定义 可逆矩阵使 线性代数复习提纲 12 10 求阶矩阵的 1 若存在可逆矩阵 使则2 则 线性代数复习提纲 13 五 矩阵的对角标准形1 阶矩阵特征值与特征向量 1 定义 及按定义求方阵的特征值与特征向量的方法 2 相关结论 线性代数复习提纲 14 3 属于的不同特征值的特征向量线性无关 线性代数复习提纲 15 2 阶方阵能够与对角形矩阵相似的充要条件为有个线性无关的特征向量 若能 求可逆矩阵 使为的对角标准形 判断与对角形矩阵相似的方法 1 若的特征值均为单根 则与对角形矩阵相似 2 若的特征值有重根 且则与对角形矩阵相似 与对角形矩阵相似 那么的重根对应的线性无关的特征向量个数 线性代数复习提纲 16 3 实对称矩阵的标准形 实对称矩阵特征值均为实数 不同特征值对应的特征向量正交 对于阶实对称矩阵 存在正交矩阵使即实对称矩阵必正交相似 或称相似且合同 于实对角矩阵 线性代数复习提纲 17 六 二次型1 二次型定义及其相关概念 二次型的 系数 矩阵 矩阵表达式 二次型的秩 二次型的标准型 规范型 正惯性指数 2 可逆线性变换 为实可逆矩阵 二次型经可逆线性变换 得新的二次型的矩阵与原二次型矩阵合同 即有 线性代数复习提纲 18 3 二次型化标准形1 用正交变换法将二次型化为标准形 并写出正交变换 2 用配方法将二次型化为标准形 并写出可逆线性变换 在此基础上写出规范形 4 惯性定理 二次型的规范形唯一确定 5 正定二次型的概念及判别方法 线性代数复习提纲 19 线性代数重要公式 结论 一 1 行列式按行 列 展开定理 2 范德蒙行列式的结论 3 克莱姆法则 二 1 线性方程组解的不同情形的对应条件 20 线性代数重要公式 结论 2 线性相关与线性无关的判定条件 3 向量组的极大无关组的有关结论 三 1 若A为n阶方阵 则有 4 向量组的极