祁晓东-有效效用函数及其判据.doc

有 效 效 用 函 数 及 其 判 据祁 晓 冬 北京科技报，通信地址：北京西城区大新开胡同3号，邮编：100009，电话: (010) 66129002E-mail: （2002年7月27日初稿、9月8日改定）摘 要本文确立了一个标准用以判断一个实值函数是否能被用来构造有效效用函数，即EUF。EUF是可以导出良性需求函数的直接效用函数的一个通用形式，它摒弃了传统经济理论中新古典效用函数强加于效用函数的一些不必要的约束，明确地将对部分商品消费的可满足性接纳为效用函数的一个正式的组成部分，从而大大地扩充了现有可用效用函数的家族。EUF概念的基础是“饱和定律”：具有局部不满足性偏好次序的消费者，在预算约束下的最优选择将不会超出有效区域的范围。有效区域是对每一个偏好次序唯一确定的消费集合的一个子集，其内任意点的任何要素都不超过其相应的饱和需求。有效效用函数只考虑偏好在其有效区域内的信息。经济文献杂志分类 (JEL Classification)：C600, D110关键词：饱和需求，有效区域，良性需求函数，新古典效用函数（NUF），有效效用函数（EUF）。Effective Utility Function and Its CriterionBy Xiaodong Qi * This paper is originally written in English. The author is ready to send you an English version at your request.Address: No.3 Daxinkai HutongXicheng DistrictBeijing 100009, CHINATel: (8610) 66129002E-mail: First draft: June 27, 2002Final revision: September 8, 2002AbstractThis paper set a criterion for a real-valued function to be usable to construct an effective utility function (EUF), a general form of direct utility functions that are capable of generating single-valued demand functions satisfying Walras law. A EUF can be used in place of a neoclassical utility function (NUF) without losing anything but some useless information, which are unnecessary restrictions imposed on a utility function in the traditional consumer theory. A EUF explicitly accepts satiation consumption for some but all commodities a normal part of an acceptable utility function, and therefore greatly enlarges the existing family of usable utility functions. The concept of EUF is based on the law of satiation: under a budget constraint, the optimal choice of the consumer with a locally non-satiated preference would never go beyond the effective region, a unique subset of the consumption set for each preference order, in which no component of any point exceeds the corresponding satiated want. A EUF only takes into account the information within the effective region of a preference order.JEL Classification: C600, D110Keywords: effective region, satiated want, well-behaved demand function, neoclassical utility function (NUF), and effective utility function (EUF).1. 导言本文的目的是回答这样一个问题：给定一个实值函数，如何判断它是否有资格被用来构造一个能够导出良性需求函数(well-behaved demand function)的效用函数。相关的研究可以追溯到效用函数的初创时期，然而在最近的半个多世纪以来却似乎很少再有人关注这一问题. (Arrow和Enthoven，1961，Hicks 1946)。在现代消费者理论中，人们似乎已经达成共识，即一个可以接受的效用函数应当是一个连续可微的实值函数，它要么在整个消费集合内严格递增并严格准凹（比如CES函数）；否则在消费集合的内点上严格递增并严格准凹，而且所有边界上的点都不优于原点（比如Cobb-Douglas函数）。我们称这样的函数为新古典效用函数（NUF: neoclassical utility function，李子江，1995）。价格均衡理论要求需求函数是良性的：即单值并满足瓦尔拉斯定律 尽管光滑性或可微性通常也是一个必要条件，本文将完全忽略这一事实，部分是由于论文篇幅的限制，部分是由于它不是有效效用研究的必要成份。本文假定这一要求已经得到满足。相关问题可参阅Mas-Colell (1985)。虽然一个NUF足以保证导出的需求函数满足这一要求，然而其限制条件却远非必需。于是，很多良性效用函数（即那些不满足NUF限定条件，然而事实上能够导出良性或具有良好数学特性的需求函数的效用函数）被判定为不可用。结果是可用的效用函数的数量变得十分有限，除了CES和Cobb-Douglas函数之外几乎很难找到其它真正有意义的形式。问题的症结在于：要求效用函数在整个消费集合上严格递增完全排除了消费者对某些商品饱和需求点存在的可能性。然而在现代消费者行为理论中，不满足性的假定采用了一个相当弱的形式，即局部不满足(local non-satiation)。这一假定只要求消费者对一种商品的需求具有不满足性(Takayama，1986)。为了消除这一不足，我们将重新引入有效区域的概念(effective region，Allen 1934)，它是消费集合的一个子集，其中任何商品的数量都不超过其相应的饱和需求(satiated want)。借助重新定义了的有效区域的概念，我们将证明：在一定的预算约束下，一个具有局部不满足偏好的消费者的最优选择不会超出其有效区域。这就是说，从代表了一个局部不满足偏好次序的效用函数导出的需求函数的值域是其有效区域的一个子集。为了方便起见，我们将此称为饱和定律（the law of satiation）。基于上述观点，我们在第4节定义了有效效用函数的概念（EUF: effective utility function），它是可用效用函数的一个通用形式，其有效区域之外的特性将被完全忽略。EUF可以取代传统理论中的NUF的概念，它保留了NUF所具有的所有有用信息，但取消了NUF所强加的一些不必要的约束条件。然后，我们将给出了一个判据，用以判断一个函数是否可以被用来构造EUF。第5节，我们用两个例子来显示EUF的概念对确定一个良性效用函数的有效性。我们可以看到：EUF概念的引入不仅使一些被传统判据所排斥的效用函数成为名正言顺的可用效用函数的家族成员，而且使一些原本不可用的函数变得可用。2. 预备知识在下面的正文及附录中，我们将用到一些基本的概念和定理，尽管它们大部分属于常识性的内容，为了严格起见，我们还是将其不加证明地集中在本节。所有相关内容可参阅：Barten和Bhm (1982)，Debreu (1954，1959)，Mas-Colell (1985)，McKenzie (1957)，Mendelson (1962)，Rader (1963)，and Takayama (1986)， Jehle 和Reny (2001)。定义2.1：如果定义在消费集合上的一个偏好关系“”满足下列条件：(自反性)，(传递性)，(完备性)，并且对于任意的，集合 和相对于X是闭的(连续性)。则该偏好关系就被称为一个连续的偏好次序。说明：本文假定X有下界，并且是闭的和凸的。表示l维欧基理德空间。和分别表示的非负及严格正相限。定义2.2：令、及分别表示预算集、预算超平面以及从偏好次序“”导出的需求集合。“p”和“m”分别表示价格夭量和消费者个人收入。我们有如下三个定义：(a) ;(b) ;(c) .定义2.3：令u为代表偏好次序“”的一个效用函数。如果对于任意一对（pp0并且m0），由“”导出的需求集合内只存在唯一的元素，则被称为由“”或u导出的一个单值需求函数。同时我们也说：“”或u导出。定义2.4： 如果在的任意小的邻域V内总是可以找到一个优于x的点，即存在满足，则相应的偏好次序被称为在x是局部不满足的。定义2.5：如果（或）成立，则偏好次序“”（或效用函数u）在S是上严格递增的。说明：在上述定义中，表示，为指数集合，或分别代表x和y的第i个坐标分量。“”表示“对于集合S内任意两个彼此不同的元素x和y”。定义2.6：定义在X上的一个偏好次序“”称为是严格凸的，如果下式成立：。定义2.7：称为在凸集上是严格准凹的，如果下式成立：。如果在的所有凸子集上严格准凹（不一定是凸集），则称在上是严格准凹的。引理2.1：在定义2.7中，在上严格准凹的充分必要条件是加边海赛因矩阵在任意都是负半定的，即，（）其中，。定义2.8：我们称定义在X上的一个连续的偏好次序“”为一个新古典偏好，如果它满足下列条件：(a) “”在X上严格递增并严格凸，否则(b) “”在上严格递增和严格凸并且满足。说明：表示X的内点，表示X的下边界。同时在本文中.定义2.9：代表新古典偏好的效用函数称为新古典效用函数。引理2.2：为一个新古典效用函数的充分必要条件是：(a) f在X上严格递增并严格准凹，否则(b) f在上严格递增和严格准凹，并且满足。说明：CES和Cobb-Douglas效用函数是两个典型的新古典效用函数，它们分别满足上述（a）、（b）两个条件。定义2.10：集合的闭包是所有象x这样的点的集合：V是x的一个邻域意味着。定义2.11：的一个子集K是紧致的当且仅当它是闭的和有界的。定理2.1：对于任意定义在X上的连续偏好“”,存在一个连续的效用函数，满足：。定理2.2：令“”为一连续偏好，对于任意p0和m0我们有：(a) ；(b) 如果“”在X上任意点都是局部不满足的，则（瓦尔拉斯定律）；(c) 如果“”在X上是严格凸的，则包含唯一元素。定理2.3：如果非空集合是紧致的，则连续函数在S上有极大值和极小值，即。定理2.4：令为一非空开集，为一连续可微的函数。对于任意的，如果且，则在x的邻域（）内存在一个连续且可微的单值函数满足。说明：下列符号在本文中通用：，以及。表示一个，即一个以x为球心，以为半径的一个开球。定理2.5（拉哥朗日定理）：令和为定义在上的连续可微的实值函数，令为在约束下的一个极植点，则存在唯一的使得下式成立：。3. 饱和定律本节中，我们将重新引入有效区域的概念，并借此证明饱和定律：从一个具有局部不满足性的偏好次序或效用函数导出的需求集合是其唯一有效区域的一个子集。在现实中，一个人所拥有的任何商品一旦超过一定限度，即他对此物品的饱和需求，则此后增加的该商品将对此人变得毫无用处。如果他花钱购买这些商品，则必然导致资源浪费，从而不是一个理性的选择。所以，我们可以得出这样的结论：如果消费集内的某点，其中某个要素的数量超过了消费者对该物品的饱和需求，则此点一定不在需求集合内。这意味着，消费者在预算约束下的最优选择只能出现在消费集合内一个特定的区域内。换句话说，在一个消费集内有些点将永远不会被选择，而不管这个消费者多么富有。所以说，在某一预算约束下的消费者的最优选择点的集合将是整个消费集合的一个子集，换句话说，需求函数的值域将仅仅是消费集合的一个子集合，而非全部消费集合。本节定义和证明，请参考图1。图1定义3.1：令为消费集合内任意一点。位于通过a并且平行于第i个坐标轴的半直线上的点的集合称为a在X的上的第i个坐标子集合，以表示。定义3.2：如果至少于上的任意一点同样好：，则我们称z是上的一个相对满意点，则是一个属于的相对满意需求。定义3.3：属于的最小满意需求称为属于的相对饱和需求，以表示: ，则称为上的相对饱和点。如果上不存在相对满意点，则我们说上的饱和需求点不存在或位于无穷远，即。说明：表示集合的极小值。定义3.4：令“”为一定义在X上的偏好次序，为的第i个坐标子集合，为属于的相对饱和需求。如果，则x一定位于有效区域内，以或E表示。就是说：。的第i条上边界定义为：，从而我们也有了的上边界的定义：。推论3.1：对于任意的偏好次序，存在唯一的有效区域。证明：可从定义3.4中直接推出。证毕定理3.1（饱和定律）：令“”为一连续偏好次序，而且在X上任意点上局部不满足。则对于任意的p0和m0，我们有。证明：附录I推论3.2：令“”为一在其有效区域内局部不满足的的偏好次序，u为代表“”的效用函数。令为从u导出的需求函数，其值域为。则。证明：定理3.1的一个明显结论。证毕评论：推论3.2说，从一个局部不满足偏好次序导出的需求函数的值域是其有效区域的一个子集。所以，需求函数的值域只有当有效区域扩展到整个消费集合时才会覆盖消费集合。在此情形下，所有商品都是不可满足的。而这恰恰是新古典偏好或者相应的NUF所唯一允许的情形。传统消费者理论因此而忽略了大量包含了可满足性的情形。4. 有效效用函数及其判据有效区域的概念使我们可以构建一个有效效用函数（EUF），该函数明确接纳了对于某些物品存在饱和需求的可能性。EUF的概念为效用函数确立了一个比原有的由NUF提供的判据弱得多的新的标准。一般而言，如果一个效用函数能够导出一个单值且满足瓦尔拉斯定律的需求函数（我们称之为良性需求函数），它就应该是一个可用的效用函数。在传统消费者理论中，为了保证效用函数可用，通常要求效用函数为一个NUF，即要么在整个消费集合上严格递增和严格准凹；要么在消费集合的内点上严格递增和严格准凹，同时所有边界点不优于原点（引理2.2）。然而上述限定条件远非必要。他们完全排斥了对某些物品存在饱和需求的可能性，从而使一些能够导出良性需求函数的效用函数看上去却不可接受。饱和定律说明，从一个局部不满足偏好导出的需求函数的值域是其有效区域的一个子集。这意味着消费者预算约束下的最优选择只能出现在其有效区域内部。所以，需求函数将仅仅由导出此需求函数的效用函数在其有效区域内部的特性所决定。而效用函数在其有效区域外的特性将不会对由之导出的需求函数的特性产生任何影响。这意味着一个良性需求函数有可能从一个在其有效区域外并非严格递增或严格准凹的效用函数导出。基于上述观点，我们来建立有效效用函数（EUF）的概念。这是一个忽略了其有效区域外所有信息的可接受效用函数的一个通用形式。定义4.1：令为一代表偏好“”的效用函数，E是该偏好、因而也是的有效区域。我们称为一有效效用函数，如果它能够导出一个良性需求函数。在下文中，为了方便起见，我们将一个EUF简写成。不用说E也是的有效区域。我们称为的一个真实原函数。任意函数被称为的一个原函数，当且仅当成立。表示“”在E上的限制。显然，一个EUF的原函数的数量是无限的，因为在E外可以具有任何形式。一个真实原函数与一个原函数的区别在于：前者一定对应了一个以E为有效区域的真实偏好，而后者则不必如此。比如，如果代表了偏好次序“”，则对于这样的点但，一定不成立。然而这样的约束对某个EUF的原函数是无效的，因为完全没有必要要求在整个消费集合上代表一个真实的偏好次序，我们只关心它在一个EUF有效区域上的性质。因此，EUF将不仅使那些本应可接受但却被传统的NUF判据判定为不可用的那一部分效用函数变得名正言顺，而且使某些正常情况下不能接受的函数变得有用。我们将在第5节给出这种效用函数的一个例子。为了判定一个函数能否被用来构造EUF，我们只需考虑其有效区域内的特性。定理4.1将给出成为EUF的一个原函数所必需具备的条件。我们首先建立定理4.1将用到的边界函数的概念。定义4.2：令为一连续可微函数，如果l-1元函数满足下列条件：，并且对于任意的不存在象这样的点使得，则我们称为的第i个边界函数。说明：。如果，则独立于，从而第i个边界函数可能不存在，或者仅仅包含象这样一些点使得成立。显然是单值的，并且它是满足的位于最下端的函数。引理4.1：在定义4.2中，如果成立，那么在S上连续。证明：隐函数定理（定理2.4）的直接推论。证毕定理4.1（EUF判据）：令连续可微，并且为其第i个边界函数，我们定义E及其上边界如下：，。如果满足下列条件，则就是一个EUF：(1) 对于任意的，要么（a）在X上处处连续，或者（b）包含原点且在上处处连续，对于任意的（表示X的下边界），与同时成立意味着属于的相对饱和需求为0。即对任意：(a) ，否则(b) ，并且 ，并且 ;(2) 上不存在临界点：;(3) 在上严格递增：;(4) 在上严格准凹（定义2.7）。证明：附录II。说明：所有上述4个条件都可以被直观地理解，不过其中一些条件，特别是第一个条件需要作进一步的解释。我们先处理相对比较简单的第2个条件，然后再解释复杂一些的第一个条件。条件（3）和（4）的意义是明显的。在上不存在任何临界点（critical point）确保了在上边界、从而也在整个有效区域上不存在饱和点。在条件1下，它也意味着有效区域是连通的和无界的（参阅第5节）。尽管条件1看上去十分复杂，其做含义却是简单的。就是说，第i个上边界要么在整个消费集上处处连续（CES函数是这类函数当时的特例）；否则包含原点且在X的内点上处处连续，而对于那些位于包含了第i坐标轴（比如图2中的轴）的下边界内的点中，只有一些第j坐标轴（，比如图2中的）上的点位于有效区域内（Cobb-douglas函数是这类函数当时的特例）。为了使条件1的含义更加明确，我们给出一个3维效用函数的例子。图2绘出了该效用函数的一个等效用曲面，其中虚线表示不在有效区域内的点。以每一个变量对求偏导并令其为零：我们可以获得该函数的三个相应的上边界：从而我们得到有效区域：和显然处处连续。在上不存在，这是因为 。然而当时，因此包含原点以及其它轴上的点。图2从图2可以看出，对于任意X下边界内的点，比如，如果和同时成立，则必定有。因此满足定理4.1中的条件1。条件1保证预算约束下的最优点不会出现在X的下边界内，换句话说，的约束极大值将一定出现在有效区域内部而不会是在有效区域的开的下边界上。这将确保从导出的需求集合非空（参阅附录II（2）。5. 两个例子由EUF确立的新的判据在现实中的应用比定理4.1表面看上去要容易得多，尤其是在只存在两种商品的情况下。本节我们通过两个具体实例来展示新的标准是如何被应用的。严格地说，如果我们要按照NUF或EUF的标准来判断一个函数是否合适作为一个可接受的效用函数，我们首先要通过代数运算来检验其单调性和凹性。这就是说，我们不得不计算所有的偏导数以及加边海赛因矩阵的主子式（引理2.1）来确定引理2.2或定理4.1中的相应条件是否被满足。当的形式比较复杂时，这个过程也将变的异常艰巨。幸运的是，随着计算机技术的高速发展，现在我们只需通过几次简单的键盘敲击，就能在屏幕上描绘出一个函数的直观图形。这样我们就可以直接观察到函数的单调性和凹性。尽管这不是一个可以接受的严格的证明方法，然而我们眼下的目的仅在于说明问题，因此也就不必太过苛求严谨。在本节中，尽管代数证明完全是可能的，但出于简单直观的考虑，我们将尽可能地借助图形来说明函数的特性。由引理2.2可知，一个NUF至少在上是严格递增和严格准凹的。这类函数的无差异曲线具有在整个X上处处凸向原点的形状，图3左图是这种形状的经典样式。在这样的标准下，下面的函数被排斥了： 其中是一个可以改变性状的参数。图3右图为（5.1）式当时的无差异曲线。图 3右图左上和右下角标出的箭头代表效用在阴影部分增加的方向，交叉阴影部分低于原点。显然，这一函数在阴影部分即不严格递增，也不严格准凹，从而不能满足NUF对效用函数的单调性及凹性的要求。然而，如果我们仔细观察在非阴影区的形状，我们将发现，对于任意的和，总能在此区域内找到一个最优选择。从图中我们可以清晰地看到：希克斯需求函数 (Hicks, 1946)永远不会超出非阴影区域，和分别给出了当和两个极端情形下的预算约束线。现在我们使用定理4.1给出的标准来判断（5.1）是否有资格成为一个EUF的原函数。首先令的所有一阶偏导数等于零，然后解方程并得到的两个上边界函数：以及。从和，我们分别获得了两条上边界和：和由此我们找到了（5.1）式的有效区域：两条边界函数显然在X上是处处连续的，从而满足了条件1。 下面，我们来检验条件2，即在上是否存在临界点。如果c是上的一个临界点，则和必然同时成立，这意味着c是下面的联立方程的一个解：解方程，显然，当时联立方程无解，从而临界点不存在；当时，存在唯一的临界点(6, 6)，当时，总是存在两个临界点。图4绘出了（5.1）式当（左）和（右）时的无差异图形，临界点分别以，和表示。从左右两图的无差异曲线的形状上不难看出，在有效区域（非阴影部分）内是严格递增和严格准凹的。根据定理4.1，我们知道：如果在上没有临界点，则（5.1）就有资格成为一个EUF的原函数，这就是说：只要，就是一个EUF。图 4通过仔细的图形分析，我们可以发现：在上边界上存在临界点可能导致有效区域内部的不连通。图4右图的有效区域显然是不连通的。然而左图中有效区域的两个部分仅由一个单一的临界点相连。因为同时位于两条上边界上，在下没有内点存在，从而有效区域的内点依然是不连续的。不存在临界点条件的另一个含义是有效区域必需是无界的。这是因为如果有效区域有界，则由定理4.1第一个条件决定的上边界的连续性特性要求在其上存在饱和点，从而临界点也将变得不可避免。细心的读者会发现，在上述例子中，如果我们直接使用而不是将其有效区域外的部分指定为-，我们将得到同样的一个良性需求函数。于是自然会产生这样一个疑问：为什么我们要采用形式，而不是直接使用？下面的例子将回答这一问题。请看下面的二元函数： 图5绘出了上式的等高线，虚线表示这些点不在有效区域（非阴影区）内，从三维等高图中我们可以直接观察到的单调性以及与效用水平相对应的无差异曲线。预算线H与无差异曲线相切于、两点。这意味着在H约束下有两个最优选择，因此由导出的需求函数不满足单值要求。这就是说，不能导出一个良性需求函数，然而，我们将证明：事实上完全可以成为一个EUF的原函数。图 5我们首先令的所有一阶偏导等于0： 我们看到，所以第2条上边界除了在原点之外的任何地方都不存在，因为只有在原点，换句话说，只包含一个点，即原点。由于，所以可写成，其中2.02876（定义4.1），显然，除点之外，处处连续。我们由此可以得到有效区域：. 如果(5.2)代表一个真实的偏好次序，则有效区域将覆盖整个，因为不存在任何饱和点。借助于图5及（5.3）式不难看出，原点是下边界上唯一位于有效区域内的点。与此同时，对于任意一，、（）均成立，而且。由于有效区域饱含原点，所以（5.3）满足定理4.1中条件1的要求。由于原点是（5.3）式的唯一解，因而上不存在在临界点，从而满足了条件2。从图4我们可以直接观察到在其有效区域内（非阴影区域）严格递增且严格准凹。根据定理4.1，是一个EUF。无论(5.1)（当时）或(5.2)都是合格的EUF的原函数，唯一不同的是前者是一个真实原函数，从而代表了一个真实的良性偏好，而后者则不能代表一个真实的良性偏好次序。显然，这一区别对两者作为EUF原函数的有用性不产生任何影响。6. 结论本文给出了饱和定律的一个正式证明，并且建立了有效效用函数的概念，它可以取代新古典效用函数而作为可用直接效用函数的一个通用形式。定理4.1给出了判断一个函数是否有资格被用于构建EUF的判据。本文首次明确确立了某些物品的可满足性在可用的效用函数中的合法位置。因此，EUF概念的引入大大地扩大了现有可用效用函数的家族，使得NUF成为这一新家族的一个当有效区域覆盖整个消费集合时的一个子集。它不仅使那些有效区域小于全体消费集合的良性效用函数变得合法，而且使一些原本不可用的函数也能被用来构建足以保证一个良性需求函数的EUF。EUF，进而整个有效效用研究的重要意义在于这样一个事实：在经济理论中，需求函数是一个必不可少、然而却十分不便的描述消费者个体经济行为的工具，它完全依赖于一个良性效用函数的存在。随着计算机技术的高速发展，我们有可能期待一个可计算的均衡模型，对现实经济系统给出尽可能逼真的描述(Amman 1997)。要想实现这一目标，我们必需对个体消费者的行为给出一个比CES或Cobb-Douglas效用函数更加清晰的描述。换句话说，除非我们拥有能够更加逼真地对消费者行为进行描述的效用函数，我们将不可能走得很远。EUF恰恰正是实现这一目标的必要手段。事实上，有效区域的概念包含了大量有关消费者偏好的信息，而这些信息在传统理论中几乎被完全地忽略了。有鉴于此，EUF使我们有可能建立一些具有充分现实意义的效用函数（祁晓冬1996，1997，1998，2001）。所以说，EUF概念的引入，无论是大是小，都将成为消费者行为从模糊向清晰发展的一个实实在在的步骤。Mas-Colell（1985）曾说：“我们的目标不仅仅是要证明需求函数的存在，我们要求它们是光滑的。”我们将比这走得更远，我们说：仅仅光滑是不够的，我们要求需求函数最终能够描述现实中个体消费者的行为，就象物理学中那些能够精确描述客观世界中物体运动的函数一样。就此而言，为了最终发展出一个能够精确模拟现实经济现象的可计算一般均衡模型，有效效用研究是一个必不可少的步骤。附录I。定理3.1的证明：证明（参考图6）：令，根据定理2.2b：。首先假定，由定义3.4：不成立，即。不失一般性，我们假定，令，即x是上的相对饱和点，则有。由于pp0并且m0，所以，这意味着，但。然而，以及意味着，从而要求必需成立。这与前面的结果相矛盾。所以必然为真，的任意性使得成立。证毕 图 6II. 定理4.1的证明：我们首先证明一个在后面的证明中要用到的引理。引理A.1：令为由导出的需求函数，满足定理4.1的所有条件。则对于任意的和，的值域不包含E的上边界，即。证明：假定()并且，这意味着是下列数学规划问题的一个解:, subject to 根据定理2.5，。考虑当趋于0时的极限，我们有：，然而，所以有必然成立，由于，我们有：。这与上不存在临界点的要求相矛盾，所以。由于是上任意一点，推论3.1说：，因此我们必然有：。证毕为了证明是一个EUF，我们要证明：（1）E是的有效区域，导出一个需求函数（2）满足瓦尔拉斯定律并且（3）是单值的。令“”为一偏好次序满足：。（1） E是的有效区域：证明：由于是在E上严格递增并且,必然是属于的相对饱和需求，即。由定义3.4，必然是的有效区域。（2） （瓦尔拉斯定律）：证明：根据定义4.1，对于、，在预算集约束下，以“”为其偏好次序的消费者的需求集合将位于的范围内，即。我们首先要证明非空，即对于每一对，至少存在一个，使得成立。令为E的闭包，显然是一个紧致集合，由于在X上处处连续，则必然存在一点使得取极大值（定理2.3）。如果，则根据定理4.1的条件（1），处处连续，因而，这意味着必然成立，于是我们有。如果则同样根据条件1，E可能不包含下边界中象这样使得并且的点，即。如果，则非空，这正是我们要求证的。如果，那么，我们至少可以找到另一个点使得，即。这样我们就证明了在任何情形下都非空。假定，则，由于在上不存在临界点，由引理A.1，我们有。所以我们总可以在以为球心的一个足够小的开球内找到另外一点，即，使得并且。由于在E上严格递增，则必然成立，而这与我们的假定相矛盾。所以我们有。由于是中任意一点，我们有。证毕（3） 单值：证明：假定包含一个以上的元素，比如，则并且（由引理A.1可知）。如果连接x和y的线段（）完全位于E内，则由条件1（在E内严格准凹）可知，对任意，有成立。所以x和y都不可能是的元素，从而证明了是单值的。图 7剩下的工作是要证明：即使的某些点不在有效区域E内，x和y也同样不可能是中的元素。为了简单起见，我们考虑一个只包含两个变量的EUF：。在图7中，我们可以看到（即）与相交于，两点，图中箭头表示沿某一特定路径递增的方向。令为的第2条边界函数，则沿的效用函数可以写成。由于上没有临界点，而且，因而对于任意的，这意味着在内的极值点（最大值和最小值）一定是或（定理2.3）。不失一般性，我们假定为最小值，从而一定有。 这样就必然严格优于上的饱和点，从而有，即。因而x和y都不可能是内的元素。同理可证：对于包含任意多变量的EUF，x和y都不可能是内的元素，就是说 单值。证毕参考文献Allen, R. G. D. (1934), “The Nature of Indifference Curves”, Review of Economic Studies I: 110-121.Arrow, K., and A. Enthoven (1961). “Quasi-Concave Programming,” Econometrica, 29:779-800Amman, H. M. (1997), “What is Computational Economi