高等代数张禾瑞版教案-第4章线性方程组.doc

第四章 线 性 方 程 组4.1 消元法教学目的：1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。理解线性方程组的和等变换是同解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。设方程组: a11x1+a12x2+a1nxn=b1; a21x1+a22x2+a2nxn=b2; (1) am1x1+am2x2+amnxn=bm.1 线性方程组的初等变换:例1 解线性方程组: x1 + x + x=1 (2) x1+ x +3 x=32x1+ x+5 x=2从第一和第三方程分别减去第二个方程的倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x(即把x的系数化为零).我们得到: - x1 - x= - x1+ x+3 x=3-2 x- x=-4为了计算的方便,我们把第一个方程乘以-2后,与第二个方程交换,得: x1+ x+3x= 3x+ x= 1-2x- x=-4把第二个方程的2倍加到第三个方程,来消去后一方程中的未知量x,我们得到:x+x+3x= 3 x+ x= 1 x=-2现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程(相当于把x的值-2代入第一和第二个方程),得x+x=9x=3x=-2再从第一个方程减去第二个方程的倍(相当于把x的值3代入第一个方程),得 x=4x=3x=-2这样我们就求出了方程组(2)的解.分析一下以上的例子,我们看到,我们对方程组施行了三种变换:1) 交换两个方程的位置;2) 用一个不等于零的数乘某一个方程;3) 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换.由初等代数知道,以下定理成立.定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组边为一个与它同解的线性方程组.2 矩阵： 利用线性方程组(1)的系数可以排成如下的一个表:(3) ,而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:(4) .定义1 由st个数c排成一个s行t列的表叫作一个s行t列（或st）矩阵。叫作这个矩阵的元素。注意： 矩阵和行列式虽然形式上有写类似，但有完全不同的意义。一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。我们把矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵。一个线性方程组的增广矩阵显然完全能够代表这个方程组，我们按照线性方程组的初等变换引入矩阵的初等变换的概念定义2： 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：1) 交换矩阵的两行（列）;2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等 于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某 一数乘矩阵的某一刚（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。因此我们将要通过化简急诊来讨论化简线性方程组的问题。这样作，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出。我国古数学书九章算术（至迟写成于三世纪）中，就是用这种方法解线性方程组的。在对一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左段化简。因此我们先来研究，利用三种初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题。在此，为了叙述方便，除了行初等变换外，我们还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种初等变换。后一种初等变换相当于交换方程组中未知量，这对于方程组的研究显然没有什么影响。在例1里，我们曾把方程组（2）的系数矩阵 。先化为 然后进一步化为 对于任一线性方程组的系数矩阵来说，我们一般不能它化为这样简单的形式。但我们有定理4.1.2 设A是一个 m行n列矩阵： A=通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：（5）r行 进而化为以下形式： (6) 这里r0,rm,rn,*表示矩阵的元素，但不同位置的*表示的元素未必相同。证 若是矩阵A的元素都等于零，那么A已有（5）的形式。设某一不等于零。必要时交换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角。用乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵A化为 B=。若在B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么B已有（5）的形式。设在B的后m-1行中有一个元素b不为零。把b换到第二行第二列的交点的位置，然后用与上面同样的方法，可把B化为 。如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵。形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是显然的。我们只要由第一，第二，第r-1行分别减去第 r行的适当倍数，再由第一、第二，第 r-2行分别减去第r-1行的适当倍数，等等。现在考察方程组（1）的增广矩阵（4）。由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）。对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵： （7）与（7）相当的线性方程组是 +.+= +.+=（8） . +.+= 0= 0=这里i1,i2, ，in是1，2，,n的一个排列。由于方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换 未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1方程组（8）与方程组（1）有相同的解。因此要解方程组（1），只需解方程组（8）。但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出。情形1。Rm,而，. 不全为零。这时方程组（8）无解，因为它的后m-r个方程组至少有一个无解。因此方程组（1）也 无解。情形2。R=m或Rm而，. 全为零，这时方程组（8）与方程组 +.+=+.+=(9) . +.+=同解。当r=n时，方程组（9）有唯一解，就是=，t=1,2,.,n.这这也是方程组（1）的唯一解。当Rr,那么有三种可能情形。(i) D不含第I行的元素：这时D卢是矩阵A的一个s阶子式，而s大于A有秩，因此D=0。(ii) D含第I行的元素，也含第j 行的元素，这时，由命题3.3.10,得 ait1+kajt1aits+kajts ait1ajts D= = =0 ajt1ajts aji1ajts 因为后一行列式是矩阵是矩阵A的一个s阶子式。(iii) D含第I行的元素，但不含第j行的元素。这时 D= ait1+kajt1aits+kajts =D1+KD2， 这里 D1= ait1 aits D2= ajt1 ajts 由于D1是矩阵A的一个s阶子式，而D2与A的一个s阶子式最多差一个符号，所以这两个行列式都等于零，从而D=0。 因此，在矩阵B有阶数大于r 的子式的情形，B的任何这样的子式都等于零，而B的秩也不能超过r. 这样，在任何情形，我们都有，秩B =秩A。 但我们也可以对矩阵B施行第三种行初等变换而得到矩阵A。因此，我们也有，秩A=B。 这样我们就证明了，秩A=秩B，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩。 对其它初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立。定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。 证 用表示方程组（1）的增广矩阵： a11 a12 a1n b1= a21 a12 a2n b2 am1 am2 amn bm那么的前n列作成的矩阵A就是（1）的系数矩阵。 利用初等变换把化为1 00 c1.r+1c1n d10 10 c2.r|+1c2n d2 = 0 01 cr,r+1crn dr00 dr+100 dm并且用B表示的前n列作成的矩阵。那么由定理 4.2.1得：（4） 秩A=秩B=r,秩=秩.现在设线性方程组（1）有解.那么或者r=m,或者rm,而dr+1=dm=0,这两种情形都有秩B=r.于是由（4）得，秩A=秩. 反过来，设秩A=秩.那么由（4）得，的秩也是r.由此得，或者r=m,或者rm而dr+1=dm=0,因而方程组（1）有解.这样，定理得到证明.定理4.2.3 设线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r.那么当r等于方程组所含未知量的个数n时，方程组有唯一解；当rn时，方程组有无穷多解. 4.3 线 性 方 程 级 的 公 式 解教学目的：1掌握线性方程级的公式解。2学会应用线性方程组的求解公式，讨论线性方程组的解数。教学内容：1线性方程级的公式解问题.设有线性方程组 a11x1+a12x2+a1nxn=b1, a211x1+a22x2+a2nxn=b2,(1) am1x1+am2x2+amnxn=bm.的公式解。例1 考察线性方程组 x1+2x2-x3=2,(2) 2x1-3x2+x3=3, 4x1+x2-x3=7. 我们把这三个方程依次用G1，G2，G3来表示。那么在这三个方程间有以下关系： G3= 2G1+G2。这就是说，第三个方程是前两个方程的结果.因此由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程组和由它的前两个方程所组成的方程组 x1+2x2-x3=2, 2x1-3x2+x3=3,同解.同样，把方程组（1）的m个方程依次用G1，G2，Gm 来表示。若是在这m 个方程中，某一个方程Gi 是其它t个方程Gi1,Gi2,，Git的结果，也就是说，若是存在t个数k1,k2,ki使关系式 Gi= k1 Gi1+ k2 Gi2+ ki Git成立，那么我们可以在方程组（1）中舍去方程Gi而把方程组（1）化简.现在设方程组（1）有解，并且它的系数矩阵的秩是r0.(r=0)的情形是明显的，我们不必加以讨论。）经过初等变换，可以把解方程组（1）归结为解一个含有r 个方程的线性方程组。定理4.3.1 设方程组（1）有解，它的系数矩阵A与增广矩阵的共同秩是r0.那么可以在（1）的m 个方程中选出r个方程，使得剩下的m-r个方程中的每一个都是这r个方程的结果，因而解方程组（1）可以归结为解由这r个方程所组成的线性方程组。证 由于方程组（1）的系数矩阵A的秩是r，所以A至少含有一个 r阶子式D0.为了叙述方便，不妨假定D位在A的左上角，因而也在增广矩阵的左上角： a11 a1r a1，r+1 a1n b1 D = ar1 ar,r ar,r+1 arn br ar+1，1ar+1，r ar+1,r+1 ar+1,n br+1 am1 amr am,r+1 arnn bm现在我们证明，方程组（1）的后m-r一个方程的每一个都是（1）的前r个方程 a11x1+a1rxr+a1,r+1xr+1+a1nxn=b1, a21x1+a2rxr+a2,r+1xr+1+a2nxn=b2,(3) ar1x1+ar2xr+ar,r+1xr+1+ar nxn=br.的结果。看（1）的后m-r个方程的任一个，例如第i（ri=m）个方程 ai1x1+airxr+ai,r+1xr+1+ainxn=bi.,我们需要证明，存在r个数k1,k2,kr,使得Gi= k1 G1+ k2 G2+ krGr亦即使 a11k1 + a21k2+ ar1kr=ai1 a1rk1 + a2rk2+ arrkr=air,(4) a1,r+1k1 + a2,r+1k2+ ar,r+1kr=ai,r+1 a1nk1 + a21k2+ arnkr=ain b1k1 + b2k2+ brkr=ai,为此我们把k1,k2,kr看作未知量，而来证明线性方程组（4）有解。方程组(4)的增广矩阵是而B的前r列作成(4)的系数矩阵B.我们要计算矩阵B和的秩.注意, 的列刚好是方程组(1)的增广矩阵的某些行.这样,矩阵B的左上角的r阶子式刚好是的子式D的转置行列式,因而不等到于零: 由于也是矩阵B的子式,所以矩阵B和的秩都至少是r.另一方面,矩阵的任一个r+1阶子式都是的某一个r+111阶子式的转置行列式.由于的秩是r,所以的所有r+1阶子式都等于零,由此得必然等零.但没有阶数高于r+1的子式,所以和B的秩都是r,而方程组(4)有解.这样我们就证明了,方程组(1)的后m-r个方程都是前r个方程的结果,而解方程组(1)归结为解方程组(3).3.方程组(1)的公式解:我们还是假定方程组(1)满足定理4.3.1的条件.于是由定理4.3.1,解方程组,只需银方程.我们分别看r=n和rn的情形.若是r=n,那么(3)就是方程个数等于未知量个数的一个线性方程组,并且它的系数行列式,所以(3)有唯一解,这个解可由克莱姆规则给出.这个解也是方程组(1)的唯一解. 现在设rn,这时方程组(3)的前r个未知量的系数所构成的行列式.在方程组(3)中把含未量的项移到右边,方程组(3)可以写成:暂时假定是数,那么变成r个未知量的个方程.用克莱姆规则解出得（5） 这里 把 (5)中的行列式展开,(5)可以写成 （6） 这里和都是可以由方程组（1）的系和常数项表示的数.现在仍旧把（6）中看成未知量,那么（6）是一个线性方程级.从以上的讨论.容易看出,方程组（6）和（3）方程组同解,因而和方程组(1)同解,正如用消元法解线性方程组的情形一样,方程组(6)给出方程组(1)的一般解,而是自由未知量,要求方程组(1)的一个解,只需给予自由未知量任意一组数值,然后由(6)算出未知量的对应值,并且(1)的所有解都可以这样得到.由于(6)的系数和常数项都可由方程组()1的系数和常数项表出,所以(6)或它的前身(5)都给出求方程组(1)的解的公式.例2 已知线性方程组 (7) 的系