高阶对称矩阵特征值的计算毕业论文.doc

巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）高阶对称矩阵特征值的计算毕业论文目录摘要IAbstractII目录1引言11 关于矩阵特征值的概念11.1 矩阵特征值和特征向量的定义11.2矩阵特征值的计算方法21.3对称矩阵特征值的一些性质32高阶对称矩阵特征值的计算方法42.1Jacobi旋转法42.1.1Jacobi旋转法的概念42.2幂法72.2.1幂法的概念72.2.2反幂法的概念92.3 QR方法112.3.1豪斯霍尔德变换112.3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵122.3.3豪斯霍尔德约化对称矩阵为对称三对角矩阵142.3.4QR方法的算法及实例143结束语17参考文献181 关于矩阵特征值的概念本论文在第一部分首先介绍矩阵特征值的定义，接着介绍本文讨论的关于对称矩阵在特征值问题上的不同于一般矩阵的性质。这样在下面介绍其他矩阵特征值计算方法之前，可以对特征值有一个大致的了解。1.1 矩阵特征值和特征向量的定义定义13 设矩阵，若存在实数或者复数和非零向量，使 （1）则称为的特征值，为对应的特征向量。1.2矩阵特征值的计算方法上面说明了矩阵特征值的定义，下面我们来看矩阵特征值的计算方法。由（1）式可知可使其次线性方程组有非零解，故系数行列式，记 （2）称为矩阵的特征多项式，方程（2）称为矩阵的特征方程。因为次代数方程在有个根（存在于复数域中），故把（2）式的行列式进行展开可以得到故矩阵的个特征值是它的特征方程（2）的个根4。并有例1 求 的特征值解 的特征方程为故的特征值为，。1.3对称矩阵特征值的一些性质 上面我们给出了矩阵特征值的定义及其计算方法，下面我们来看一看对称矩阵的一些独特的关于特征值的性质定理1 设为对称矩阵，则（1）的特征值均为实数（2）有个线性无关的特征向量（3）存在一个正交矩阵使且是的特征值，而，它的列向量为和的特征向量是对应的。定理2 设为对称矩阵。其特征值按顺序写为，则 （1） （对任何非零向量）（2） ，2高阶对称矩阵特征值的计算方法2.1Jacobi旋转法上文中提到的初等矩阵分解算法在遇到高阶矩阵的时候就显得不那么便于计算，而Jacobi旋转法很好的解决了这一问题。Jacobi通过他的著作函数行列式让矩阵计算进入新的纪元5Jacobi旋转法可以应用于本文所讨论的高阶对称矩阵特征值计算中。Jacobi算法主要的目的就是将对称矩阵A化为对角矩阵，然后进行矩阵的特征值的求解。而要实现这种变换就必须使用旋转变换或者说是正交相似变换来达到目的6。另外，Jacobi旋转法的计算步骤较多量，人为计算通常比较繁琐，这是因为其核心方法是迭代计算，所以一般使用计算机进行计算。但是它的优点是拥有较高的精确度，所以在计算矩阵特征值时，它也是一种常用方法。2.1.1Jacobi旋转法的概念 令,依次构造矩阵序列，使，其中是在平面上转过角度的一个旋转。其中 ， ， 其他。如何确定上面所提到的平面和旋转角就是我们下面需要考虑的问题了，这里我们可以观察位于主对角线以上的全部元素，通过它来确定最大模的项（这里由于对称性的原因，使得我们仅仅只要在A的上部的元素中来求就可以了）7。剩下的问题就是确定旋转角，使得，我们知道平面旋转R(p，q)有只会对一部分行和列产生影响的相似变换。即第p，q行和列。p，q，由以下原则确定：记 ，则有 ， 为了达成的条件，即消去位的元素，对于旋转角，必须满足下面的条件（1） ；（2）选择角满足： ；此外，若 那么选择 注意时 ，。通过上述的方法得到的旋转角让它对应的旋转矩阵中的，但是即使出现或的情况，在通过一系列的旋转变换后它们一般不会等于0，所以我们说这种对对称矩阵的非对角元素的旋转变换的处理方法没有结束的时候，这是因为使用了迭代的方法，所以我们在进行这一过程之前都要先有指定的精度，方便我们的计算。Jacobi方法的收敛性界定条件如下：矩阵中对角之外的元的平方和 在每一次正交相似变换后减少。我们最后会算得一个矩阵序列。它是一个对角形矩阵。这个矩阵序列是确定的，我们观察这个对角矩阵，它和初始矩阵几乎没有不同的地方，同时，这也是稳定的一个过程。最终得到一个具有一定精度的对角矩阵，并有，其中各列就是矩阵A的特征向量。同时其对稀疏带状矩阵的平面旋转变换会将原矩阵的稀疏带状破坏。例2 求矩阵特征值，要求使用Jacobi方法的特征值和特征向量。 解 首先取由得所以不停的重复下去，当非对角元素趋近零的时候，九次变换之后，得到处在对角线上的元素就是我们要的结果，那么特征值就是相应的特征向量为 相对应的特征值的精确值 相对应的特征向量为2.2幂法迭代算法中另外一个算法就是幂法。幂法有其不同于前一种算法的特殊用途，那就是算矩阵的主特征值，而主特征值就是矩阵按模最大的特征值8。该方法在大型稀疏矩阵中应用较多9。乘幂法也有一些缺点，譬如收敛速度慢，尤其是在出现了两个以上连续的绝对值相近的特征值的情况下。2.2.1幂法的概念设实矩阵有一个特征向量组。且这个向量组是完备的。矩阵有n个线性无关的特征向量，其特征值为，对应的特征向量为，已知的按模最大的特征值是实根，并且满足下面说明求和的方法。幂法的基本思路是通过任意取一个非零初始向量，由矩阵来构造一个向量序列叫做迭代向量。由上面的假设，可以写成 （）于是其中。由假设，故， 从而这就说明序列 逐渐的接近的对应的特征向量，也能说当充分大的时候说明迭代向量可以看成是的特征向量，因为它们是相似的。这里还有个附加条件就是除一个因子外。接着阐述如何计算主特征值，假设是的第个分量，则故这说明了两个相邻的迭代向量分量它们的比值在主特征值处收敛。 我们可以总结出来幂法先要构造一个向量序列，为此就需要通过非零向量和矩阵的乘幂，完成之后就可以计算的主特征值和该特征值所对应的特征向量了。例3 用幂法计算的主特征值和对应的特征向量表 1 计算结果K(规范化向量)max0(1, 1, 1)1(0.9091, 0.8182, 1)2.75000005(0.7651, 0.6674, 1)2.558791810(0.7494, 0.6508, 1)2.538002915(0.7483, 0.6497, 1)2.536625616(0.7483, 0.6497, 1)2.536584017(0.7482, 0.6497, 1)2.536559818(0.7482, 0.6497, 1)2.536545619(0.7482, 0.6497, 1)2.536537420(0.7482, 0.6497, 1)2.5365323下述结果有个限定条件，这里限定为8位浮点数字，的分量值是四舍五入得到的。那么就可以得到及相应的特征向量和对应的特征向量的真值（8位数字）为2.2.2反幂法的概念设这个矩阵是非奇异的，的特征值按非别从大到小写为则它所对应的特征向量是，那么的特征值如下对应的特征向量为因此无论是计算按模最小的特征值，还是计算的按模最大的特征值问题，两者没有本质区别9。对于使用幂法迭代，这种方法叫做反幂法。可计算出矩阵的主特征值，进一步计算出矩阵按模最小的特征值。反幂法迭代公式为：设初始向量，向量序列构造如下 k=1,2， 迭代向量可以通过解线性方程组求得。例4 用反幂法求的和计算特征值对应（精确特征值是）的特征向量（限定运算为5位浮点数）。 解 用部分选主元的三角分解将（其中）分解为其中由，得由，得对应的特征向量是 特征值的真值为通过上面这道例题，我们可以总结一下反幂法的大致步骤。首先分解计算，且保存，和的信息；接着用反幂法迭代 （1）解求， （2）解求 解求计算2.3 QR方法对于本文所讨论的高阶对称矩阵，如果想用QR方法计算其特征值，需要将其首先变换成上海森伯格矩阵或者对称三对角矩阵，然后再进行，此时就需要使用豪斯霍尔德变换和正交相似变换，通过这两种变换，将矩阵转化成上海森伯格矩阵，另一种情况是把对称矩阵转化成对称三角矩阵。2.3.1豪斯霍尔德变换设向量，且，称矩阵叫做豪斯霍尔德变换。它还有另外一种叫法，叫做初等反射矩阵。如果，记则2.3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵设。为了使经正交相似变换化成上海森伯格矩阵可选择初等反射矩阵为（1）设其中令则 其中，。 （2）第步约化：反复运用上述步骤，设的正交相似变换已经完成从第1到第 步，那么可以有或者且 k n-k 这里，被叫做阶的上海森伯格矩阵，。设，于是可以通过使用初等反射矩阵使其中的计算公式为令则其中为阶的上海森伯格矩阵。第步仅仅只需要约化计算和，并且当且仅当矩阵是对称矩阵的情况下，则只用计算即可。（3）重复上述的步骤，得到总结上面的步骤，就阐述了如何将豪斯霍尔德约化矩阵化为上海森伯格矩阵设，则存在初等反射矩阵使得 (上海森伯格矩阵)。另外，这种算法所需要计算量比较大为 次乘法运算，若想算出则还需增加 次乘法运算，计算量较大，一般在计算机上完成。2.3.3豪斯霍尔德约化对称矩阵为对称三对角矩阵设是一个对称矩阵，则存在一个的初等反射矩阵使2.3.4QR方法的算法及实例通过我们上面进行的准备工作，包括如何将矩阵转化为上海森伯格矩阵或者对称三角矩阵，下面我们总结一下在使用方法计算矩阵特征值的时候的具体步骤。首先在这之前我们阐述一下分解定理。分解定理9 设是一个非奇异矩阵，则存在一个上三角矩阵和一个正交矩阵，使有分解这个分解可以是唯一的，只要矩阵的对角元素为正。所有的准备工作都做完了，下面我们来看方法的实现步骤。对于对称矩阵，我们第一步把对称矩阵通过霍斯豪尔德变换化为对称三对角矩阵或上海森伯格矩阵，然后只需使用方法就可计算出特征值。具体步骤如下。设，且对进行分解，即这里是一个上三角矩阵，是一个正交矩阵，于是可得到一个新矩阵很明显这里是由通过正交相似变换得来的，所以和的特征值是相同的3。再对进行分解，又可以得到一个新的矩阵，重复这个过程从而得到矩阵序列：设将进行分解作矩阵 求得后将进行分解形成矩阵 由上面的步骤我们总结一下算法的主要思路，它首先对矩阵实行分解，再通过递推法则的使用进而构造一个矩阵序列，只要是一个非奇异矩阵，则通过算法得到的就是确定的。例5 用方法计算对称矩阵的全部特征值。解 选取，。现在进行收缩，并且对中一个子矩阵进行变换，得到故求得的近似特征值为，而的特征值是 通过上面这个例题，我们可以总结一下方法计算矩阵特征值的大致步骤。首先看矩阵是否是上海森伯格矩阵或者对称三对角矩阵，若不是，对其进行变换使其变为我们需要的矩阵形式，然后对其进行分解，得到一个新的矩阵，在重复使用分解，得到矩阵序列，最后计算出矩阵的特征值10。3结束语本文通过对矩阵特征值的定义的阐述引入特征值的计算方法，除了分解算法以外还有其它三种，一个是Jacobi旋转法，一个是幂法最后一个是QR方法，这三种方法都各有各的优点。通常用Jacobi旋转法来计算高阶矩阵特征值问题，幂法就比较适合于计算大型矩阵主特征值，而方法通常用来计算矩阵的全部特征值，并且它的收敛比较迅速，相较于其它方法本身也是比较稳定的。矩阵特征值的算法还有许多种，由于时间仓促难免有不足和改进之处，还有待进一步对特征值问题进行研究。17参考文献1 王其申.关于正矩阵的最大特征值的包含定理及其应用J.高等学校计算数学学报，2000,（2）：105-1102 李晓梅，罗晓广.大型矩阵特征值问题并行计算研究概况J.指挥技术学院学报.2001,12（6）：1-53 张霓.矩阵特征值和特征向量的一些应用J.中国科技信息.2007,1：308-3104 王萼芳 石生明.高等代数M.北京.高等教育出版社，2003,9:290-2985 李文林.数学史概论M.北京.高