经济数学基础期末复习网上教学记录资料.doc

经济数学基础期末复习答疑经济数学基础期末复习网上教学记录资料顾静相：大家好！现在由张旭红老师和我与大家一起讨论如何做好经济数学基础课的期末复习，我想大家现在一定得到了经济数学基础考核说明，在考核说明中，对本课程各章的复习要求、考核知识点和试题类型都作了详细说明，在此就不再重复了。下面我们先给大家介绍各章重点内容和典型例题；然后请大家针对复习中遇到的问题提问，我们会现场解答，若有些问题现场一时解答有困难，请你留下联系方法，我们会尽快给你答复的。顾静相：第1章 函数的重点内容： 重点：理解函数概念，掌握函数奇偶性的判别，了解复合函数概念，知道初等函数的概念。 理解函数概念时，要掌握函数的两要素定义域和对应关系，要抓住下面2个问题进行复习： 1函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。复习时要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于等于0，等等；还要掌握复合函数定义域的求法。 2对应关系表示当自变量取值为时，因变量的取值为；这里尤其要掌握复合函数的对应关系的求法。 请张老师给大家举例说明。张旭红：例1 若函数的定义域是(0，1，求的定义域解因为的定义域是(0，1)，且由，得所以的定义域是(，)。例设 ，求。解 由于，说明表示运算：，因此再将代入，得=顾静相：判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即(1) 若，则为偶函数； (2) 若，则为奇函数。也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数为偶函数”的性质来判断。例 下列函数中，（）是偶函数。A B C D 解 根据偶函数的定义以及奇函数奇函数是偶函数的原则，可以验证A中和都是奇函数，故它们的乘积是偶函数，因此A正确。其它的选项是错误的。故正确选项是A。张旭红：第2章 一元函数微分学重点内容 重点：掌握求简单极限的常用方法，知道函数在某点极限存在的充分必要条件；理解导数定义，知道微分的概念；知道高阶导数概念，熟练掌握求导数或微分的方法，会求函数的二阶导数。 1在复习极限概念时，应该知道一些与极限有关的结论，如 (1) 知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质，如有界变量与无穷小量的乘积仍然是无穷小量； (3) 了解函数在某点连续的概念，会判断函数在某点的连续性。 例4 极限 。 解 因为当时，是无穷小量，是有界变量，故当时，仍然是无穷小量。 所以 0。应该填：0。顾静相： 张老师，当时，极限是否还等于0呢？张旭红： 不是的。当时，所以=张旭红： 例5 当（ ）时，在处连续。 A0 B 1 C2 D 1 解 因为 而右连续 故当1时，在处连续。 正确的选项是D。顾静相： 2求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。例6 计算极限解 对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则计算。即 = = 张旭红： 3 理解导数定义时，要解决下面几个问题： (1) 牢记导数定义的极限表达式； (2) 会求曲线的切线方程； (3) 知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)。 例7 曲线在点（1，0）处的切线是（ ） A B C D 解 根据导数的几何意义可知，是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ，即 故正确的选项是A。 例8 函数在点x0=16处的导数值 。 解 因为 ，故。 应该填：4顾静相： 求导数或微分的具体方法有： (1) 利用导数（或微分）的基本公式 (2) 利用导数（或微分）的四则运算法则 (3) 利用复合函数微分法(4) 利用隐函数求导法则 顾静相：例9 求下列导数或微分： (1) 设函数由方程确定，求。 解 两边对x求导得： 整理得 (2) 设，求。 解 因为 张旭红：第3章导数的应用的重点是掌握函数单调区间的求法，掌握极值点的判别方法，会求函数的极值；了解边际概念和需求价格弹性概念；熟练掌握求解经济分析中的应用问题。张旭红：1 函数的单调性一般可以利用一阶导数的符号判断单调性，也可以利用已知的基本初等函数的单调性判断。 例10 在指定区间10，10内，函数（ ）是单调增加的。 A B CD 解 这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数，从图形上就比较容易看出它们的单调性。 选项A中是正弦函数，它的图形在指定区间10，10内是波浪形的，因此不是单调增加函数。 选项B中是指数函数，(=0，故它是单调减少函数。 选项C中是幂函数，它在指定区间10，10内的图形是抛物线，因此不是单调增加函数。 根据排除法可知正确答案应是选项D。 张旭红：例11 函数的单调增加区间是 。 解 因为令，则，则函数的单调增加区间是。 所以应填：。顾静相：2对经济应用中的需求价格弹性要熟知其公式=就能比较容易地做这方面的题目了。 例12 已知某产品的需求函数为，其中是产品价格，则该产品的需求弹性= 。 解 因为 ，由需求价格弹性公式得 = 所以应填：。张旭红：3经济分析中的应用问题主要有求使平均成本最低或使收入最大、利润最大的产量(或商品量）。要掌握求解经济应用问题，首先要会建立常见的经济函数，然后还要会求经济函数的边际函数，最后用求函数极值和最值的方法求出经济应用问题的答案。 下面举一个求使平均成本最低的产量的应用问题，而其它两种类型的应用问题请大家自己练习。张旭红：例13 设某产品的成本函数为（万元）其中q是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？ 解 平均成本 解得q1=50（台），q2=50（舍去） 因有意义的驻点唯一，故q=50台是所求的最小值点。当产量为50台时，平均成本最小。 最小平均成本为 （万元） 张旭红：第4章 一元函数积分学 重点： 理解原函数与不定积分概念，熟练掌握不定积分、定积分的计算方法，会求简单的无穷限积分。 1复习原函数与不定积分概念时要搞清下面几个问题： 什么是原函数？若函数的导数等于，即，则称函数是的原函数。 原函数不是唯一的。由于常数的导数是0，故都是的原函数（其中是任意常数）。 什么是不定积分？原函数的全体（其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。 知道不定积分与导数（微分）之间的关系：不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即对一个函数先积分，再求导，等于它本身；若对它先求导，再积分，等于该函数加上一个任意常数，即=,顾静相：例14 如果，则= 。 解 根据不定积分的性质可知f（x）=且 = 所以应填写：顾静相：例15 设的一个原函数是，则（）。 A B C D 解 因的一个原函数是，故（所以正确的选项B。顾静相：例16 下列等式中（ ）是正确的A B C D 解 因为，故所以正确的选项A。张旭红：2常用的积分方法有 （1）运用积分基本公式直接进行积分； （2）第一换元积分法（凑微分法）； （3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分和定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；张旭红：例17 设是函数的一个原函数，则（ ）。 A B C D 解 因是函数的一个原函数，即有=，故 故正确的选项C。张旭红：例18 计算不定积分 解 用第一换元积分法求之。 = = 张旭红：例19 计算定积分 解 用分部积分法求之。 = = 张旭红：例20 广义积分 = 。 解 因为 =所以应填写：顾静相：第5章积分应用的重点是： 掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积；熟练掌握用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；了解微分方程的基本概念，掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解。 求平图形面积的一般步骤： (1) 画出所围平面图形的草图； (2) 求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；(3) 利用定积分的几何意义（即上述各式），确定代表所求的定积分。顾静相：例21 求曲线与直线及所围成平面图形的面积。 解 首先画出所围区域面积的草图。 曲线的交点是（0，0），（1，1），（1，4）。 所求面积为 2用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量，一般出现在应用题中，而且常常与导数应用中求最值问题相联系，所以一定要综合应用所学的知识求解应用问题。顾静相：例22 生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为（万元/百台），其中x为产量，若固定成本为10万元，问 (1) 产量为多少时，利润最大？ (2) 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 解 （1）边际利润 令 ，得 （百台）。又是的唯一驻点，根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。 （2）利润的变化 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。 张旭红：3微分方程中的基本概念是指微分方程、阶、解（也就是通解、特解），线性微分方程等，这些概念大家要比较清楚的。比如 例23 是 阶微分方程 解 因为微分方程 中所含未知函数的导数的最好阶数是2次，所以它是2阶微分方程。故应填写：2顾静相：张老师，对于微分方程的内容是否只要清楚这些概念就可以了？张旭红：不是的。我们不仅要了解微分方程的基本概念，而且要掌握简单的可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法。比如张旭红：例24 求解初值问题 解 分离变量 于是通解为 lny= 。 因为当x=0时，y=2，故有c = ln2。所求初值问题的解为 lny=，即y=2 张旭红：例25 求微分方程的通解 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程。因为 ， 用公式 顾静相：第6章数据处理的重点是： 掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法。这一章的例题请大家看网上的教学辅导和综合练习。顾静相：第七章随机事件与概率的重点是： 了解概率概念及性质，了解事件互不相容和对立事件等概念，会解简单古典概型问题；了解条件概率概念；理解事件独立概念。掌握概率的加法公式和乘法公式。 在复习时要记住概率的性质和事件独立的相关结论，即， 事件与独立当事件与独立时，与、与、与也独立。此时有或注意：事件的互不相容、对立和独立是三个不同概念。 顾静相：例 26 一袋中共有7个球，其中4个白球，3个红球，若第1次取出一个白球，不放回。则第2次再取到白球的概率是（）。 A BC D 解 第1次取出一个白球后，若不放回，则袋中还剩6个球，其中3个白球，3个红球,故第2次再取到白球的概率是，正确的选项是C。顾静相：例27 设与是两个相互独立的事件，已知则（ ）。 A B C D 解 因为事件与两个相互独立，即 由加法公式得 = 所以，正确的选项是C。顾静相：例28已知两个事件A，B相互独立，且已知，求。 解 由 得 顾静相：例29 已知事件,相互独立，试证与相互独立 证 因为事件,相互独立, 即,且 = = =所以与相互独立张旭红：第8章随机变量与数字特征的重点是： 了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质；记住它们的期望与方差，会计算二项分布的概率；理解正态分布、标准正态分布的定义，记住其期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算方法。张旭红：例30 设随机变量X的密度函数是 求 (1) 常数a; (2)P(X25)解 (1) 根据密度函数的性质1 = 1(a2)3 得a = 2所以 (2) P (X2.5) = = 张旭红： 例31 设随机变量服从二项分布，则（）。 AB C D 解 根据二项分布的期望和方差的定义：，故选项B是正确的。张旭红：例32 设随机变量，则随机变量 . 解 因为将一般正态分布化为标准正态分布的公式为所以应填写：。 张旭红：例33 设随机变量，求。解 = =（查表）顾静相：第9章矩阵的重点是： 了解矩阵概念，熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，了解对称矩阵的定义和性质，理解矩阵可逆与逆矩阵概念，熟练掌握用初等行变换法求逆矩阵的方法，了解矩阵秩的概念。 顾静相：例34 设A是mn矩阵,B是sn矩阵, 则运算有意义的是( ) A 解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵有意义。 正确的选项是A。顾静相：例35 设矩阵，则AB_。 解 因为 B= AB = 4，1 所以应填写：4，1顾静相：例36 设为两个阶矩阵，则有（ ）成立. A. B. C. D. 解 由转置矩阵的性质，知 正确的选项是B。顾静相：例37 设矩阵 ，求矩阵A 解 因为 所以 顾静相：例38 设矩阵A，B满足矩阵方程AB，其中 , 求。 解法一：先求矩阵A的逆矩阵 顾静相： 解法二： 顾静相：例39 设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵。证 又 A，B是对称矩阵，即有 从而 根据对称矩阵的性质可知，ABBA是对称矩阵张旭红：第10章线性方程组的重点： 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。张旭红：例40 若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解。 A1B4C2D 解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即，从而，即正确的选项是D。张旭红：例41 若非齐次线性方程组AmnX=B有唯一解,那么有 ( )。 A秩(A，B)n B秩(A)r C 秩(A）