二次函数与动态问题(1).doc

（2008巴中）已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？24、（2010东阳）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：COABDNMPxyRH（1）C的坐标为 ；（2）当t为何值时，ANO与DMR相似？（3）HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。【关键词】运动性问题【答案】（1）（，）（2）当MDR45时，2,点（2，0）当DRM45时，3,点（3，0）（）（）；（1分）（）当时，（1分） 当时， 当时， 23（2010德州）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，3)，C(0，3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；xyOABCPQMN第23题图(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值【关键词】二次函数、等腰梯形、动态探究【答案】 解：(1)二次函数的图象经过点C(0，3)，c =3将点A(3，0)，B(2，3)代入得xyOABCPQDEGMNF解得：a=1，b=22分配方得：，所以对称轴为x=1(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t点B，点C的纵坐标相等，BCOA过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB即QE=AD=1又QE=OEOQ=(20.1t)0.1t=20.2t，20.2t=1解得t=5即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG点M为FG的中点 S=，=由=S=又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0t20当t=20秒时，面积S有最小值36.( 綦江) 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.解：方法一：抛物线过C(0,-6)c=6, 即y=ax2+bx6由 解得：a= ,b=该抛物线的解析式为y=x2x6 -3分方法二：A、B关于x=2对称A（8，0） 设y=a(x8)(x12) C在抛物线上 6=a8(12) 即a=该抛物线的解析式为：y=x2x6 -3分（2）存在，设直线CD垂直平分PQ, 在RtAOC中，AC=10=AD点D在对称轴上，连结DQ 显然PDC=QDC，-4分由已知PDC=ACDQDC=ACD DQAC -5分DB=ABAD=20-10=10DQ为ABC的中位线 DQ=AC=5 -6分AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5t=51=5(秒) 存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-7分在RtBOC中, BC=6 CQ=3 点Q的运动速度为每秒单位长度.-8分（3）存在 过点Q作QHx轴于H，则QH=3，PH=9在RtPQH中，PQ=3 -9分当MP=MQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k0),则： 解得：y=3x-6当x=1时，y=3 M1(1, 3) -10分当PQ为等腰MPQ的腰时，且P为顶点.设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：42+y2=90 即y=M2（1，） M3（1，） -11分当PQ为等腰MPQ的腰时，且Q为顶点.过点Q作QEy轴于E，交直线x=1于F，则F(1, 3)设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：(y3)2+52=90 即y=3M4(1, 3) M5(1, 3) -12分综上所述：存在这样的五点：M1(1, 3), M2（1，）, M3（1，）, M4(1, 3),M5(1, 3).2（2008咸宁）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；(第24题图)（第24题图）(3) 在(1)中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标(4) 如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由23如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值26(2010年重庆)已知：如图（1），在平面直角坐标系中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，OC=AC,C=120现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止（1）求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边OAB的边上（点A除外）存在点D,使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有MCN=60,其两边分别与OB,AB交于点M,N，连接MN将MCN绕着C点旋转(0旋转角60)，使得M,N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中,BMN的周长是否发生变化?若没变化,请求出周长；若发生变化，请说明理由QPBACOyx26题图（1）26题图（2）NMBACOyx【答案】解：(1) 过点C作CDOA于点D.(如图) OC=AC,ACO=120,QDPEBACOyx26题答图 AOC=OAC=30. OC=AC, CDOA, OD=DA=1. 在ODC中， （i）当时，.过点Q作QEOA于点E. (如图)在OEQ中，AOC=30, .26题答图QPBACOyxSOPQ=.即（ii）当时，(如图)，BOA=60,AOC=30,POQ=90.SOPQ=即.故当时，当时，.26题图NMBACOyxF(2)D或或或.（3）BMN的周长不发生变化.延长BA至点F,使AF=OM,连接CF. (如图)MOC=60=FAC=90,OC=AC,MOCFAC.MC=CF,MCO=FCA.FCN=FCA+NCA=MCO+NCA=OCAMCN=60.FCN=MCN.又MC=CF,CN=CN,MCNFCN.MN=NF.BM+MN+BN=BM+NF+BN=BOOM+BA+AF=BA+BO=4.BMN的周长不变，其周长为4.26（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比BAPxCQOy第26题图解：(1) CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8） 3分(2) S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 5分四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 6分（3）当OPQ与PAB和QPB相似时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90 又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP 7分解得：t4 经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是： 8分设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物线的顶点是P当时， 9分 当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 10分26（钦州）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，连接MP （1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；(3分)（2）记OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 t 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由(3分) （备用图）解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）3分（2）SOMP =OM，4分S =（6 -t）=+2t （0 t 6）6分当时，S有最大值7分 （3）存在 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：（备用图）R2T1T2R1D2D1 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得直线ON与MT的交点R的坐标为SOCN 436，SORT SOCN 28分 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是OR1T1，如图，作R1D1y轴，D1为垂足，则SOR1T1RD1OT b2.， b =.b1 ，b2 （不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，）.9分 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是R2NE，如图，设MT交CN于点E，由得点E的横坐标为，作R2D2CN交CN于点D2，则SR2NEENR2D2 =2.，b=.b1，b2（不合题意，舍去）此时点T2的坐标为（0，）综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件10分1.（2008白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）(1) 点A的坐标是_，点C的坐标是_； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=AC；(3) 设OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； (4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由3. (2010兰州)如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由图1 第28题图 图2【关键词】二次函数【答案】 解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为1分由得当x=2时，该抛物线的最大值是4. 2分（2） 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，设直线ME的关系式为y=kx+b.于是得 ，解得所以直线ME的关系式为y=-2x+8. 3分由已知条件易得，当时，OA=AP=，4分 P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. 来源:Zxxk.Com 当时，点P不在直线ME上. 5分以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， OA=AP=t. 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) 6分 AN=-t 2+4t (0t3) , AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)0 , PN=-t 2+3 t 7分（）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD， S=DCAD=32=3. （）当PN0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 PNCD，ADCD， S=(CD+PN)AD=3+(-t 2+3 t)2=-t 2+3 t+38分当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、29分 而1、2都在0t3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N点的坐标（1,3）10分当t=2时，此时N点的坐标（2,4）11分5（2010义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示，并求出当S36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 CBAOyx图1DM图2O1A1OyxB1C1DM【分析】第（1）问，已知O、A两点的坐标点O（0，0）、A（2，0），发现对称轴为x1；再设二次函数解析式ya（x-0）（x-2）将B（6，3）代入即可第（2）问，注意到OA与CB两平行线之间的距离可由A（2，0）、B（6，3）看出是3，在平移梯形的过程中它保持不变利用列出一个关于x1、x2的方程，再利用面积S36关系再列出一个关于x1、x2的方程，解这两个方程组成的方程组，确定x1的值便可求出点A1的坐标.第（3）问，如下图1-0本题先要找到当点P经过t秒时，进而分两种情况：当没有到达这一时刻之前，和过了这一时刻之后.CBAOyx图1-1DMEPQFG 图10CBAOyx图1-2DMEFPQG情况1.如图1-1，寻求DPQDEB，运用相似比来解答.情况2. 如图1-2，也是寻求DPQDEB，运用相似比来解答.【答案】（1）对称轴：直线解析式：或 顶点坐标：M（1，） （2）由题意得 3得： 得： 把代入并整理得：(S0) (事实上，更确切为S6)当时， 解得：(注：S0或S6不写不扣分) 把代入抛物线解析式得 点A1（6，3）（3）存在解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为BD5，DE，DP5t，DQ t当时， 得 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G 当时，如图1-1 FQEFAG FGAFEQDPQDEB 易得DPQDEB 得 (舍去) 当时，如图1-2FQEFAG FAGFQEDQPFQE FAGEBDDQPDBE 易得DPQDEB ， 当秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似 解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 , , , .4. （2010黄冈）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；（2）计算该