2015北京一模分类函数与导数——文科.doc

函数与导数 文科一、选择题1、（东城第3题）记函数的导函数为，若对应的曲线在点处的切线方程为，则（A）（B） （C） （D）答案：D 2、（西城第3题）3关于函数和，下列说法中正确的是（ ）（A）都是奇函数 （B）都是偶函数（C）函数的值域为 （D）函数的值域为答案：C3、（海淀第3题）已知函数是奇函数，且当时，则（ ）（A） （B） （C） （D）答案：D4、（朝阳第5题）已知，满足，则A B C D答案：A5、（丰台第2题）下列函数中，在区间上存在最小值的是(A) (B) (C) (D) 答案：A6、（丰台第7题）已知奇函数 如果且对应的图象如图所示，那么 (A) (B) (C) (D) 答案：D7、（石景山第6题）函数 （其中）的图象如右图所示，则函数xy11Oxy11Oxy11Oxy11O的大致图象是（ ）A B C D答案：B8、（房山第8题）一个人骑车以米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻的速度米/秒，那么此人（ ）A可在秒内追上汽车 B不能追上汽车,但其间最近距离为16米C不能追上汽车,但其间最近距离为米 D不能追上汽车,但其间最近距离为米答案：D9、（顺义第2题）下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递减的是A.B.C.D.答案：B10、（顺义第5题）若,则的取值范围是A. B. C. D.答案：D11、（顺义第8题）某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价/元67891011日均销售量/桶480440400360320280设在进价基础上增加元后,日均销售利润为元,且.该经营部要想获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加A.3元B.4元C.5元D.6元答案：D二、填空题1、（东城第13题）函数是定义在上的偶函数，且满足当，时，.若在区间，上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是_答案：2、（东城第14题）是曲线上一点，垂直于轴，是垂足，点的坐标是设(其中表示原点)，将表示成关于的函数，则 ，的最大值为 答案：, ， 3、（西城第13题）设函数 .则_；函数的极小值是_.答案：4、（海淀第13题）设对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是 . 答案：5、（朝阳第13题）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额800）20%（130%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额（120%）20%（130%）.已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为 元答案：28006、（朝阳第14题）记为区间的长度已知函数，()，其值域为，则区间的长度的最小值是 答案：7、（房山第12题）已知函数则_；若，则实数的取值范围是_答案：，8、（顺义第12题）已知函数,则在闭区间上的最小值为 ,最大值为 .答案：三、解答题1、（东城第18题）已知是函数的一个极值点（）求实数的值；（）求的单调递减区间；（）设函数，试问过点，可作多少条直线与曲线相切？请说明理由答案：（）.因为是的一个极值点，所以，解得经检验，满足题意，所以. 5分 （）由（）知，定义域为，令,得又,所以的单调递减区间为 9分（），设过点,的直线与曲线相切于点，所以，即所以令，由，得，得所以在区间，上单调递减，在区间，上单调递增因为，所以与轴有两个交点，即方程有两个实根所以过点,可作两条直线与曲线相切 .14分2、（西城区第20题）设，函数，函数，. （）判断函数在区间上是否为单调函数，并说明理由；（）若当时，对任意的， 都有成立，求实数的取值范围；（）当时，若存在直线（），使得曲线与曲线分别位于直线的两侧，写出的所有可能取值. (只需写出结论)答案：（）解：结论：函数在区间上不是单调函数. 1分 求导，得 ， 2分 令 ，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减. 所以函数在区间上不是单调函数. 4分（）解：当时，函数，.由题意，若对任意的， 都有恒成立， 只需当时，. 5分 因为 . 令，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以. 7分 又因为. 令 ，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以. 9分 综上所述，得. 10分（）解：满足条件的的取值集合为.3、（海淀第20题）已知函数. （）求函数的单调区间；（）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；（）若，求实数的取值范围.答案：（）. 1分 当时，则函数的单调递减区间是. 2分 当时，令，得. 当变化时，的变化情况如下：极小值所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 4分（）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，所以 至少有两个不等的正实根. 5分令得，记其两个实根分别为.则 解得. 7分当时，曲线在点处的切线分别为，.令.由得（不妨设），且当时，即在上是单调函数.所以 .所以 ，是曲线的两条不同的切线.所以 实数的取值范围为. 9分（）当时，函数是内的减函数. 因为 ， 而，不符合题意. 11分当时，由（）知：的最小值是.（）若，即时，所以，符合题意.（）若，即时，.所以，符合题意.（）若，即时，有.因为 ，函数在内是增函数，所以 当时，.又因为 函数的定义域为，所以 .所以 符合题意.综上所述，实数的取值范围为. 14分4、（朝阳第20题）已知函数，（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求证：在上为增函数；（）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围答案：函数定义域为，.（）当时，.所以.所以曲线在点处的切线方程是，即. 3分（） 当时，.设，则.令得，或，注意到，所以.令得，注意到，得.所以函数在上是减函数，在上是增函数.所以函数在时取得最小值，且.所以在上恒大于零.于是，当，恒成立.所以当时，函数在上为增函数. 7分（）问另一方法提示：当时，.由于在上成立，即可证明函数在上为增函数.（）（）. 设，.（1）当时，在上恒成立，即函数在上为增函数.而，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，在上，故为函数在区间上唯一的极小值点;（2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；（3）当时，.当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值.综上所述. 13分5、（丰台第20题）已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（）当时，讨论函数零点的个数答案：（）当时，所以，所以切线方程为 3分（）因为在上单调递减，等价于在恒成立， 5分变形得 恒成立，而（当且仅当，即时，等号成立） 7分所以 8分（）令，得极小值所以= 10分（）当时，所以在定义域内无零点；（）当时，所以在定义域内有唯一的零点；（）当时， 因为，所以在增区间内有唯一零点； ，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点所以时在定义域内有两个零点综上所述：当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点 6、（石景山第20题）已知函数.（）若函数在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（）若，且关于x的方程在上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（）设各项为正数的数列满足，求证：.答案：（）函数的定义域为， 2分依题意在时恒成立，则在时恒成立，当时，取最小值，. 4分（）已知条件等价于方程在上有两个不同的实根，设，时，时， 6分由，得则 8分（）先证：当时，.令，可证时单调递增，时单调递减，时.所以时，. 9分用以上结论，由可得.，故 10分所以当时，相乘得. 12分又故，即. 13分7、（房山第19题）已知函数，是常数，R（）求曲线在点处的切线的方程；（）求函数的单调区间；（III）证明:函数的图象在直线的下方答案：（） 2分，所以切线的方程为，即 4分（）定义域为（1）当时，在为增函数（2）当时，令得，或当时，在为增函数当时，在上是增数，在是减函数 9分（）令则最大值，所以且，即函数的图像在直线的下方 13分8、（顺义第20题）已知函数.(I)当时,求函数的单调区间;(II)设,且函数在点处的切线为,直线,且在轴上的截距为1,求证:无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方;(III)已知点,且当时,直线的斜率恒小于2,求实数的取值范围.答案：(I)解:, . .2 分所以,时,与的变化情况如下:-0+因此,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. . .4分(II)证明:,所以,所以的斜率.因为,且在轴上的截距为1,所以直线的方程为 . .6分令,则无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方,等价于, . .7分而.当时,当时,所以函数的上单调递增,在上单调递