应力波理论复习资料.docx

复习内容：概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。解:XX+dXF(X,t)F(X+dX,t)XdX在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有F(X+dX)=F(X,t)+F(X,t)XdX根据牛顿第二定律,有vtroAOdX=F(X+dX)-F(X,t)=F(X,t)XdX解之,有F(X,t)XdX=r0A0vtdX而F(X,t)=sA0,故上式可以化为r0vt=sX(a)对于一维应力纵波,s(e)连续可微,记C=1dsr0de则ds=r0C2de代入(a)式,可得vt=C2eX(b)因为v=ut,e=uX,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程:2ut2-C22uX2=0t+vx+rx=0r(v+vv)+c2r=0(lv+c2)+l+(lr+rv)+rrrvv二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系rrv(1)txx解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,+其中l为待定系数,整理可得:=0XtXt根据特征线求解方法,特征线特征方程为(a)(dxdt)G=lv+c2l=lr+rvr解之,得l=c,(dxdt)G=vc,即特征线的微分方程为:dx=(vc)dt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有)+r(l+v)l(v+c2rlX+rtvX+vt=0l+rdrdvdr=-rrlt+vx-(1+e)x=0v+vv-(1+e)c2e=0lv-(1+e)c2+l+-l(1+e)+veevv即=0dtdt将l值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv=mdvceev(2)txx解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,+，其中l为待定系数,整理可得:+=0(a)xtxt根据特征线求解方法,特征线特征方程为(dxdt)G=lv-(1+e)c2l=-l(1+e)+v1解之,得l=c,(dxdt)G=vm(1+e)c,即特征线的微分方程为:dx=vm(1+e)cdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有l+-l(1+e)+vlv-(1+e)c2elx+evtx+vt=0即ldedvt+vr+rr+2rr=0r(v+vv)+c2r=0v+lc2+(r+lrv)+lr+2rrrvvv+=0dtdt将l值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv=-lde=mcderrvv(3)trr对一阶偏微分方程组进行线性组合,+，其中l为待定系数,整理可得:+=0rtrtr根据特征线求解方法,特征线特征方程为(a)(drdt)G=v+lc21=r+lrvlr解之,得l=,(1cdrdt)G=vc,即特征线的微分方程为:dr=(vc)dt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有+lr+2rr=0v+lc2rr+rt1+lvvlr+vvt+lr+2rdrdvvdrr2rv即=0dtdtr将l值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv+crdt=0X-rC2t=0(4)v1t-=0v1t0tr0X解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,+，其中l为待定系数,整理可得:lt1tr0Xr0CtvX+lvt2-=0(a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为(dXdt)G=l1=lr01r0C2解之,得l=1C,(dXdt)G=C,即特征线的微分方程为:dX=Cdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有2ttl(1vlx+vt)-1r0ClC2tx+=0r0Cdt即ldvdt-21dt=0将l值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv=1lr0C2dt=1r0Cdt三、用特征线法求解波的传播。设半无限长弹性杆初始状态为s(X,0)=s*,v(X,0)=v*,e(X,0)=e*,t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为v(0,t)=v0(t),用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。解:dv=C0deOA为经O(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:dX=C0dtds=r0C0dv引入积分常数x1、x2、a、b、K1、K2后,可写成右行波有:v-C0e=a1左行波有:v+C0e=a2X-C0t=x1Cv=Ks-r001X+C0t=x1Cv=Ks+r002(1)AOX区在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有vP+C0eP=vR+C0eR=a2sP+r0C0vP=sR+r0C0vR=K2vP-C0eP=vQ-C0eQ=a1(1)(2)sP-r0C0vP=sQ-r0C0vQ=K1(vQ+vR)+C0(eR-eQ)(vR-vQ)+C0(eR+eQ)由（1）（2）可得：vP=eP=1212C0ep=esP=s*由初始条件,有sR=sQ=s*,v(X,0)=v*,e(X,0)=e*,则可解得vp=v*由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。(2)对于Aot区该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有vB+C0eB=vD+C0eD=b2sB+r0C0vB=sD+r0C0vD=k22vB-C0eB=vC-C0eC=b1sB-r0C0vB=sC-r0C0vC=k11vC+C0eC=vE+C0eE=b3=v*+C0e*sC+r0C0vC=sE+r0C0vE=k23沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有sD=sE=s*,vD=vE=s*,eD=eE=e*此外,vC由边界条件已给出,即vc=v0(t)于是可解得eB=eC=v*-v0(t)sB=sC=r0C0v-v0(t)+sC0vB=vC=v0(t)*+e*可以看出,在t时刻,施加于杆端部的扰动v0(t)和eC以C0的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。特征线BC的特征方程可表示为X=C0(t-t),则有t=t-XC0。v*-v0(t-Xe=+e*v=v0(t-)Xs=r0C0v*+v0(t-)由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为)C0C0XC0C0四、波形曲线和时程曲线一线性硬化材料半无限长杆X0，应力应变关系如图所示，其中E=100GPa,E1=E/25,Y=200MPa,r0=4g/cm3。在杆的左端X=0处施加如图所示的载荷。（1）画出X-t图；（2）画出t=0.4ms时刻的波形曲线；（3）画出X=0.5m位置的时程曲线。sv(ms)YE120EeO0.2tms1.010114.010解：半无限长杆中弹性波波速：C0=Er0=5103m/s3=C0=1103m/s塑性波速：C1=E1r0E125r05=10m/s，时间tY=0.1ms。（图上把关键产生塑性波的速度vY=Yr0C0210841035103点的坐标表示清楚，X-t图、波形图和时程图尽量画在一起）五、弹性波的相互作用处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和s-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做a、b)v2=8m/sL0v3=8m/sL0v3=8m/sL0(a)(b)(c)v1=03L0v2=02L0v2=0L0v1=0L0v1=02L0解:作图说明:两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同;在s-v状态图中同方向的波传播s-v关系曲线斜率相同。（a）ABts64NM7465(4)1v2(5)(7)2331X3由波系图和s-v状态图可得，两杆撞击结束时间为t=2L0C0,对应于M点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间t=6L0C0时（N点），两杆界面上质点保持静止，并未相互脱离。而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当t=6L0C0时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为v70，与早已处于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出。（b）L02L0L03杆2杆1杆ts55N612536v34421X4由波系图和s-v状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间t=2L0C0，对应于M点，此后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。而1杆由于应力波在右端面的反射，杆内逐渐获得了正向速度。当t=4L0C0时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面的介质速度由v40提高至v60，而此时2杆右端面的介质速度刚好由v40下降为0，1杆和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。2、已知两种材料质的弹性杆A和B的Young模量，密度和屈服极限分别为：EA=60GPa、rA=2.4g/cm3、YA=100MPa、EB=180GPa、rB=7.2g/cm3、YB=240MPa,试对图中所示情况分别画出X-t图和s-v图，并确定其撞击结束时间、两杆脱开时间。以及分离之后各自的整体飞行速度。=5000m/s，CB=解：CA=EArA601092.4103EBrB=5000m/srACA=1.2107Kg.s/m2，rBCB=3.6107Kg.s/m2vYA=YArACA8.33m/s，vYB=YBrBCB6.67m/s可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率相同，而在s-v状态平面上s-v关系曲线斜率不相等。v2=8m/sv1=0ABt(ms)s(MPa)4M536-4.02.04.08.045(1)62v(m/s)231-723-50100X(cm)如图示波系图及状态平面图，由于A、B两杆均为弹性杆，故在杆中传播的为弹性波。A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波，对于被撞的B杆，向右传播一弹性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。由图可知，当t=2LACA=20ms时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处，v2=8m/s使界面处质点速度小于零（-0.4m/s），A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端面，从而B杆左端应力卸为0，速度也减为0，两杆碰撞也结束了。两杆分离后，A杆的速度为-0.4m/s，B杆的平均速度为2.0m/s。根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程及结果为：1区：自然静止区s2=02区：s3-s2=rACA(v3-v2)v3=2m/ss4-s3=-rACA(v4-v3)v4=-4m/ss5-s3=-rBCB(v5-v3)v5=0s6-s3=rBCB(v6-v3)v6=4m/s3区：4区：5区：6区：s3=-rBCBv3s4=0s5=0s6=0s3=-72MPas4=0s5=0s6=03、假定A和B均为线性硬化材料，已知其材料常数分别为：EA=60GPa、rA=2.4g/cm3、YA=100MPa、EB=180GPa、rB=7.2g/cm3、YB=240MPa。试确定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度v2为多大？=5000m/s，CB=解：CA=EArA601092.4103EBrB=5000m/srACA=1.2107，rBCB=3.6107vYA=YArACA8.33m/s，vYB=YBrBCB6.67m/sA、B两杆弹性波速相同，则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。B杆撞击A杆，如图（1）所示，撞击杆B屈服极限值较大，要使被撞击的A杆屈服，只需图3区解对应于YA和vYA即可，这是一种临界状态。t3321s3=-YAX图（1）则应有s3=rBCB(v3-v2)v3=vYA可解得，使得被撞击杆的A杆屈服，最小打击速度为v2=11m/s。s3=-YA（c）A杆撞击A杆，两杆会同时达到屈服，仍如图（1）所示，有s3=rACA(v3-v2)v3=vYA可解得：v2=16.67m/s。5、相同材料的弹性杆,A杆以vA=8ms的速度撞击初始静止靠在一起的B,C,D杆,如图所示，试作出X-t图，确定撞击结束时间,脱开时间及撞击后各杆的运动状态。解:作出X-t图和s-v如下图所示.s1(4)2(5)3v(a)(b)X-t图中各区域中的状态量可得:1区:B,C,D杆初始状态为s=0,v=0,在波阵面未达到之前,为未扰动区域,应有s1=0,v1=0;2区:A杆初始状态s=0,v=8m/s;对应s-v图上s2=0,v2=8m/ss-s2=rC0(v3-v2)s3-s1=-rC0(v3-v1)s=-4rC0v3=4m/ss=0s4-s3=-rC0(v4-v3)v4=05s5-s3=rC0(v5-v3)v5=83区:334区:左行压缩波在A杆左端自由面反射，反射波经过后杆的状态45区:右行压缩波在D杆右端自由面反射,反射波经过后杆的状态s5=0s=0或者从s-v图也可以得到各杆最终的运动状态.撞击结束时间t=4LC0,A杆处于静止自然状态;B杆左端从t=4LC0开始,应力卸载到零,速度也卸载到零;到t=5LC0时B杆整体处于应