分类讨论思想教师版.doc

第3讲分类讨论思想感悟高考 时确考向(2010全国)已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)内单调递减，在(2，)内单调递增，当x2时，f(x)有极小值，f(x)的极小值是f(2)12(2)在(1,1)上，f(x)是增函数当且仅当f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10.a当a0时，恒成立b当a0时，若要成立，则需3a123a110，解得a，即0a.c当a0时，若要成立，则需3a210，即10，解得a.即a0.综上，a的取值范围是.(1)f(x)0的根x1并不是函数f(x)的极值点考生易忽视对极值点的判断(2)不能将f(x)在(1,1)上单调递增转化为不等式进行研究(3)忽视分类讨论或讨论不到位是本题出错的关键2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳题型一根据数学概念分类讨论例1 设0x0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小解0x1，01x1,01x21.当0a0，loga(1x)0；当a1时，loga(1x)0，所以|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0.由、可知，|loga(1x)|loga(1x)|. 变式训练1 已知点A(1,1)，B(1,1)，点P是直线yx2上一点，当PAB是直角三角形时，求点P坐标及三角形的面积解可设P(m，m2)(1)当B90时，kAB0，由PBAB，可知PB的斜率不存在故PB与x轴垂直，从而P(1，1)易得|AB|2，|PB|2，则SPAB|AB|PB|2.(2)当A90时，仿(1)知PA与x轴垂直，得P(1，3)此时|AB|2，|PA|4，则SPAB|AB|PA|4.(3)当P90时，由PAPB，有1，化简得m23m40.但91670 (n1,2,3，)(1)求q的取值范围；(2)设bnan2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小解(1)an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0，当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0 (n1,2,3，)，上式等价于(n1,2,3，)或(n1,2,3，)，解式得q1；解式，由于n可为奇数、可为偶数，故1q0且1q0，所以当1q2时，TnSn0，即TnSn；当q2且q0时，TnSn0，即TnSn；当q或q2时，TnSn0，即TnSn.变式训练2 已知在等比数列an中，a11，Sn是其前n项的和，且ak1，ak3，ak2 (kN)成等差数列(1)求数列an的公比；(2)试判断Sk1，Sk3，Sk2 (kN)是否也构成等差数列，说明理由解(1)设等比数列an的公比为q(q0)，则ak1qk，ak3qk2，ak2qk1.依题意得2qk2qkqk1，由于qk0，所以2q2q10，解得q1或q.(2)当q1时，Sk1(k1)a1k1，Sk3k3，Sk2k2，显然Sk1Sk2k1k22k32Sk3，故Sk1，Sk3，Sk2不能构成等差数列；当q时，Sk1，同理可得Sk2，Sk3，于是Sk1Sk22Sk3所以Sk1，Sk3，Sk2能构成等差数列综上所述：当q1时，Sk1，Sk3，Sk2不能构成等差数列；当q时，Sk1，Sk3，Sk2能构成等差数列题型三根据变量或参数的取值情况分类讨论例3 设Ax|2xa，By|y2x3，且xA，Cz|zx2，且xA，若CB，求实数a的取值范围解y2x3在2，a上是增函数，1y2a3，即By|1y2a3作出zx2的图象，该函数定义域右端点xa有三种不同的位置情况如下：当2a0时，a2z4，即Cz|a2z4，要使CB，由图1可知，则必须2a34，得a，这与2a2时，0za2，即Cz|0za2，要使CB，由图3可知，必须且只需解得2a3.当a1与0a1讨论；一元二次函数根据其对称轴位置来讨论；一元二次方程根据二次项系数和判别式讨论；直线方程的问题要分斜率是否存在来讨论；应用问题从实际出发讨论等.知能提升演练一、选择题1已知双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为(d)A. B. C.或 D.或2设集合Ax|x2x120，集合Bx|kx10，如果ABA，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为 (a)A，0 B.，C.，0 D.，3正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(d)A. B4 C. D4或4若方程1表示双曲线，则它的焦点坐标为 (d)A(k,0)、(k,0)B(0，k)、(0，k)C(，0)、(，0)D由k的取值确定5若不等式(a2)x22(a2)x40)用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是_解析先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：S124a3a(3a4a5a)12a248.再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积：若AC5a，AB4a，BC3a，则该四棱柱的全面积为S224a3a2(3a4a)24a228.若AC4a，AB3a，BC5a，则该四棱柱的全面积为S224a3a2(3a5a)24a232.若AC3a，AB5a，BC4a