有关人口问题的数学建模论文.docx

第七届平顶山学院数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目A题密封号2014年5月26日剪 切 线密封号2014年5月26日摘要首先我们对未来人口做了简单的预测，用到的是阻滞增长模型（Logistic模型），从网上搜集数据，分别以1954年、1963年、1980年作为初始年份，以2005年为终止年份。运用MATLAB软件求出不同的参数xm、r。来预测2010年的人口数，通过比较分析。我们选取以1963年为初始年份的参数。预测我国人口将在2033年达到145.5908千万。然后又对老龄化问题进行了分析，预测出我国老龄化比例将在2032年20，对于老龄化问题的加剧，我们提出一些相应措施。总结出我国有必要对计划生育政策调整，针对深圳市的人口结构，搜集数据分析得到，用excel作图分析，在未来几年内深圳市计划生育调整，对人口结构起到微乎其微的作用，对几十年以后的预测发现，政策调整缓解了老龄化加剧，但随之而来的是劳动力减少，劳动力人口由由调整前的69降到64，影响经济发展。计划生育调整的影响通过调整前后的数据对比，得到相应结论，计划生育调整不单要开放“单独二孩”，社会福利政策也许完善。关键词：Logistic模型、老龄化、计划生育政策调整、单独二孩问题重述：人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数、高校报名人数逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，这对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。请收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解，并针对深圳市或其他某区域，讨论计划生育新政策对未来人口数量。结构的影响。现要求建立数学模型以解决以下问题：问题一：根据十年的人口普查，预测未来人口数量问题二：针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（延迟退休年龄这个政策因素）预测未来人口数量。问题分析：依据题意，可以明确是在计划生育新政策下，预测未来人口数量的变化，此题并未给出相关的数据，所以需要从网上寻找相关数据。问题一：人口数量预测都是通过往年的总人口数量使用excel进行分析，结构与实际数据相差不大，这个忽略了自然因素、环境条件等问题。模型一：阻滞模型，进行人口预测，分析人口增长到一定数量后增长率下降，注意到，自然资源、环境条件等对人口的增长起到阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越强。阻滞模型就是考虑到这个因素。问题二：计划生育使老龄化问题和性别比例失调问题越来越严重，而计划生育政策调整后，可以改善人口数量结构，推迟老龄化，增加可用劳动力，新政策允许开放单独二胎，可以有效缓解性别比例问题。调整完善生育政策有利于保持合理的劳动力数量和结构，促进经济持续健康发展。搜集从20112012年劳动年龄人口数据得，年轻劳动力在劳动年龄人口中比例下降，劳动力资源的国际比较优势有所减弱。同时，人口老龄化明显加速，预计到2025年将、2030年将分别达到3亿和4亿。如维持现行生育政策不调整，几十年后劳动年龄人口锐减，老年人口比重过大，势必严重影响我国经济社会发展活力和国际竞争力。逐步调整完善生育政策，就是要有效应对和积极缓解人口结构性矛盾的长期影响，保持合理的劳动力数量和结构，延缓人口老龄化速度。这些决策将为转变经济发展方式、培育经济持续健康发展新优势，准备更为有利的人口条件。问题假设：1、在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题2、假设在预测的过程中不发生人数骤减的情况3、假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化4、假设全国各地区的二胎生育率相同5、假设查得的数据真实有效符号解释：r：人口固有增长率r1：一胎生育率r2：二胎生育率d：死亡率：表示年份（选定初始年份的t=0）x：人口数量xm：自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x0：初始人口数量R2：可决系数R：独生子女率S：独生子女数S30：深圳2012年30岁以后人数X2012：深圳市2012年人口数X2032：深圳市2032年人口数模型的建立与求解：模型一：阻滞增长模型模型准备：阻滞增长模型：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数。则它应是减函数。于是有： （1）对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即 （2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，当时人口不再增长，即增长率，代入（2）式得，于是（2）式为 （3）将（3）代入方程（1）得： （4）解方程（4）可得： （5）模型的建立表1：全国每次人口普查数据（单位：万）1954年1964年1982年1990年2000年2010年6013972307100817113368126583133972根据以上数据用EXCEL作图如下1954年到1964年，十年间人口增加12168万，增长率为20.23%，1990年到2000年，十年间人口增加13215万，增长率为11.66%。至1970年实施计划生育以后，我国人口数量增长率明显下降，考虑自然因素，1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。由于上面的曲线拟合表示线性关系，而且数据较少，预测全国人口在2032年将达到17亿，误差太大。所以很难保证拟合的准确性。因此我们再选择1954年后每年的普查数据为主要参考数据，作为初始年份对表2中的数据进行拟合。表2 各年份全国总人口数（单位：千万）年份195419551956195719581959196019611962总人口60.261.562.864.66667.266.265.967.3年份196319641965196619671968196919701971总人口69.170.472.574.576.378.580.78385.2年份197219731974197519761977197819791980总人口87.189.290.992.493.79596.25997.598.705年份198119821983198419851986198719881989总人口100.1101.654103.008104.357105.851107.5109.3111.026112.704年份199019911992199319941995199619971998总人口114.333115.823117.171118.517119.85121.121122.389123.626124.761年份199920002001200220032004200520062007总人口125.786126.743127.627128.453129.227129.988130.756131.748132.129（1）将1954年看成初始时刻即t=0，则1955为t=1，以次类推，以2005年为t=51作为终时刻。用函数（5）对表2中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程（程序见附录1）得到相关的参数xm=180.9871，r=-0.0336可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线： （6）根据曲线（6）我们可以对2010年（t=6）、2020年（t=66）、及2033年（t=79）进行预测得（单位：千万）：x(56)=138.6161 x(66)=148.54 x(79)=158.6028（2）将1963年看成初始时刻即，以2005年为作为终时刻。运用Matlab编程（程序见附录2）得到相关的参数xm=151.4513 r=0.0484，可以算出可决系数R2=0.9994得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线： （7）根据曲线（7）我们可以对2010年（t=47）、2020年（t=57）、及2033年（t=70）进行预测得（单位：千万）：X(47)=134.9190 x(57)=140.8168 x(70)=145.5908（3）从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab编程（程序见附录3）得到相关的参数xm=153.5351 r=0.0477，可以算出可决系数R2=0.9987得到中国各年份人口变化趋势的第三条拟合曲线： （8）根据曲线（7）我们可以对2010年（t=30）、2020年（t=40）、及2033年（t=53）进行预测得（单位：千万）：X(30)=135.5357 x(40)=141.8440 x(53)=147.0172以上三次选取不同的初始年份进行参数拟合，根据第六次人口普查数据得知2010年人口数为133.972千万方程（6）预测2010年人口数x=138.6161千万，与实际误差为3.5方程（7）预测2010年人口数x=134.9190千万，与实际误差为0.7方程（8）预测2010年人口数x=135.5357千万，与实际误差为1.2为避免选取单一真实数据与预测数据比较产生的误差，再做一下比较表3年份全国总人口预测（单位：千万）年份预测曲线（6）预测曲线（7）预测曲线（8）2000126.7649126.3338126.4732003130.5141129.2303129.51682006134.1131.8447132.27582009137.516134.1926134.76382012140.7577136.2917136.99712015143.8231138.1607138.99332018146.7117139.819140.7712021149.4251141.2856142.34892024151.9662142.579143.74522027154.3392143.7168144.97782030156.5494144.7157146.06322033158.6028145.5908147.01722036160.5063146.3562147.85412039162.267147.0247148.58712042163.8924147.6077149.22842045165.3903148.1158149.78862048166.7683148.558150.2775表3是根据以上三次拟合曲线预测的各年份人口数，用excel作图如下从坐标图中可以看出，方程（6）与方程（7）、（8）的偏差比较大，与真实数据偏差也比较大，方程（7）、（8）与真实数据偏差较小。综合以上两种比较，方程（7）能够较好的预测未来人口数量。所以根据方程（7）预测2033年人口数145.5908千万老龄化问题：根据2010年人口普查数据得知，60岁及以上人口占13.26，比2000年上升2.93个百分点，其中65岁及以上人口占8.87，上升1.91个百分点。那我国现今的状况如何，老龄化程度怎样，我们用近几年65岁以上老年人占总人数的比例来说明。表4：2000-2011年我国65岁以上老年人占总人口的比例年份200020012002200320042005比例77.17.37.57.67.7年份200620072008200920102011比例7.98.18.38.58.99.1由表中数据可知：我国2000年65岁以上老人达到总人口的比例已经达到7，并一直呈现增长趋势。并且到2011年比例已经高达9.1，超出标准2.1个百分点，说明我国已经在2000年达到了老龄社会，并且老龄化程度还会继续加大。为了更加明确的说明问题，我们预测接下来的20年65岁以上老年人占总人口的比例，用以说明我国老龄化程度的变化趋势。R（2032）=20，这说明我国的老龄化问题更加严峻，我国要采取有效措施来控制问题再恶化。对此，我们建议：（1）、完善老年社保体系、养老保险、医疗保险、老年社会救济（2）、建立以社区为中心的老年服务体系、医疗保健的软件设施（3）、建立和完善老年法规体系、老年人权益保障法（4）、提高老年人生活质量、营造健康老龄化环境（5）、正确看待人口老龄化问题当然最重要的是要全面、客观分析人口老龄化对经济社会发展的影响，辩证的认识老龄化问题，既不能不承认老龄化对经济发展的影响，也不能悲观的认为人口老龄化将导致经济的停滞发展。过分看轻影响和过度看重影响是不科学的。应该尽快采取措施应对，比如加快经济发展，增加物质财富，为积极应对老龄化大好良好的基础。模型二：计划生育政策调整自1970年我国全面实施计划生育政策以来，有效的控制了我国人口的增长速度，也同样产生了令人堪忧的问题：临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调。计划生育政策调整能否改善这些问题，要进行一下分析，首先考虑育龄妇女的数量，表5：2004年11月1日到2005年10月31日，对育龄妇女抽样调查统计数据如下抽样比为1年龄段平均育龄妇女人数（人）出生人数（人）1519664051420920245407146188925295819475336730347589113052135398341379157404470752114474549589306451总计4676587161042所以，2005年育龄妇女的比例0.36，出生率为0.012。考虑抽样比，实际上，2005年育龄妇女的比例36，出生率为1.2，与2005年的真实出生率误差不超过1，可见抽样调查的数据可作为参考依据。表6：2012年深圳市户籍人口计划生育情况节育率（）83.66计划生育率（）87.06一孩率80.88独生子女领证人数（人）127188独生子女领证率（）16.7已婚育龄妇女人数（人）761427所以，得知符合深圳市单独二胎条件的人数S=127188人，独生子女率为R=1.2表7:2012年育龄妇女分年龄、孩次的生育状况(2011年11月1日至2012年10月31日)年龄段平均育龄妇女人数（人）出生人数（人）生育率（）一孩二孩一孩二孩总计317046741234622.3381.09214193589723190.0430.02520245130030906046.0231.178252943655286712416.5682.8443034402388939842.2212.4463539449032154450.480.991404451982791500.1510.28845494907037280.0750.058所以，一胎生育率r1=2.3，二胎生育率r2=1.1。根据2013年深圳市民政局工作报告，2013年全市办理结婚登记53688对。如果实施“单独二孩”政策后，这53688个家庭中有1020的家庭允许生二胎，在2014年到2015年新生婴儿的增加数仅有7千左右，2015预计新增人口3万人，2016年预计新增4万人，2017年预计新增5万人，2018年预计新增6.96万人，呈逐渐平稳趋势。新增的人数所占比例是微乎其微的。延伸到全国增加的比例也仅有千分之几人口结构没有明显变化表8：计划生育调整前的人口老龄预测情况时间65以上的老年人数60以上老年人数人口抚养比65以上人口占总人口的比例60以上人口占总人口的比例20011.07561.55380.424371620.0800869670.11569275720021.111.58950.41111470.0820011230.1174241320031.15551.63610.401111090.0846873790.11991087920041.19211.68150.389941750.0867341370.12234162520051.23111.72910.377767820.088963240.12495031920061.27381.7840.371558010.091463940.12809834320071.30781.84860.367693570.0933396140.13193730720081.34131.90780.365072450.0951674810.13536160520091.37391.98090.365204240.0969098050.13972533220101.40762.05930.365711880.0987034480.14440182620111.44862.14880.369821550.100968140.14977242820121.49782.23770.377023690.103768160.15502871720131.54242.32880.384980730.1062127280.16036579520141.60052.4320.398036040.1095700040.16649437620151.66442.5370.411887980.1133277950.172742520161.73822.62970.42470170.1177785910.17818568720171.81282.7290.431846280.1223055070.18411944520181.88822.81410.439423260.1269378150.18918319320191.97422.85290.448672010.1323394360.19124261820202.06282.9070.458151280.1379679360.19443125320212.13882.92860.46573210.1428476020.19559729120222.21973.01450.473733390.1481449350.20119065920232.28843.18030.47928410.1527127130.21223223220242.31243.3090.477712220.1543915870.22093139720252.35053.43130.477451770.1570591420.22927761520262.35923.55020.472243830.1578070760.2374731620272.42783.63970.475300650.1626165470.24379085820282.57083.77170.48908690.1724547360.25301366520292.68023.88350.498223040.1801040220.2609633520302.78334.00690.50704640.1873821830.2697595220312.88164.11350.516142230.1944242030.2775416320322.95134.20050.522073060.1996252760.28412088620333.06174.28210.53584560.2076362280.29040046120343.15154.34280.548095350.2143367230.29535824820353.24984.3840.563716080.221694670.29906746120363.33234.41590.578826810.2280491640.30220637520373.39524.41450.59271980.2331611910.30316036720383.45054.41170.607223180.2378408560.30409578420393.48814.40890.619816180.2413575980.30507196220403.50524.38860.629694220.2435824380.30497143920413.51344.36590.638401790.2452909230.30480891420423.49144.36370.641612240.2449933340.30620307320433.46894.33590.644591940.2447610180.30593539620443.44524.30890.647126220.244545080.30585170620453.40744.29790.646713490.2434396190.30706084920463.37024.30930.645961110.2424464780.31000374120473.35784.35390.649386960.2432765320.3154451420483.32254.38130.647887490.2425554280.31985194820493.29164.40820.646503680.2421914660.32434938120503.28454.44980.648724310.2435416420.32994720620513.29534.4510.65426190.2463646760.332767631下图是2012年人口结构图从中发现，育龄妇女基数小，对未来几年的估计预测，效果不明显。下面考虑十年后的数据推算，2012年深圳人口数为1054.74万人 ，表:9：年 龄比例2012年深圳人数（人）2012年深圳人数（人）独生子女总数（人）2032年人口数(人)总计10010547400男女10705300.750-45.69600147.06324859.92274232.47201.76472535576.03755-95.45574833.3312203.04262630.36897.9996512985.835610-145.32561121.68303765.12257356.66733.46016500749.476215-196.57692964.18364940.04328024.18315.57016618406.777920-249.05954539.7488344.62466195.111454.4764851838.864625-298843792424005.48418731.810125.504753006.731130-347.43783671.82398691.72384980.19404.06184699355.001535-397.92835354.08427169.7408184.410024.24896745476.663840-449.561008331.44514713.12493618.312099.97728899843.043745-498.83931335.42474633456702.411176.02504831131.179550-545.51581161.74296381.94284779.8744488.22955-596.35669759.9338571.54331188.4710050.96860-644.93519986.82261575.52258411.3756248.5865-693.34352283.16176141.58177196.3605368.02370-742.51264739.74130787.76133952319638.95775-791.89199345.8694926.6104419.3301391.95580-841.08113911.9250627.5263284.4181995.38785-890.4244299.0817930.5827423.2488070.7990-940.1313711.624218.968437.9239710.96195+0.033164.221054.742109.489967.293故，2012年深圳0-4岁人数为601202人，独生子女所占人数为7250人。20年后，2032年与2012年的对比如上S= X2012* RX2032=S*( r1+ r2+1)+S30*d注：以上人口数均未四舍五入2012年与2032年各年龄段人口数结构图上图可类似表示全国人口结构图，从图中比较出，计划生育政策调整后，我国人口结构由衰退型向稳定型转变，缓解了我国人口老龄化快速增长，老龄化人口相对比例减少，避免了我国成为高度老龄化国家，根据表8与表10比较，计划生育调整后老龄化比例13.4小于计划生育调整前预测的20，减少我国的养老负担，我国对离退休职工支出额减少即抚养老费用减少，增加了社会总储蓄量，进而使社会总投资上升，最终促进经济的持续增长。但是还有明显问题是，劳动力人口由由调整前的69降到64，我国的劳动力人口减少，会造成我劳动力资源短缺，影响经济发展，改变我国作为经济发展基础要素劳动力数量的变化,并由此对我国长期经济发展造成深远影响，劳动力供给数量减少也意味着抚养比的提高,由此造成的消费人群增加将带动消费服务业发展。模型的评价：本模型首先没有考虑性别比例、出生率、死亡率对人口增长的影响，建立Logistic人口预测模型；然后，逐步改进，考虑性别比例、出生率、死亡率对人口增长的影响，对人口增长进行预测，这种由简到繁，逐步加深的思路，可以应用到较复杂问题的处理上。对计划生育调整的研究，由于数据少，考察区域单一，只使用了以前数据，假设一些影响因素不变。改进，需要综合考虑各种因素，建立模型。模型可运用于一些局部人口年龄分布比较均匀的地方，也可用来长期人口数量的控制以及人口的预测参考文献：1、姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.北京:.2011年1月第四版；2、于洪彦.Excel统计分析与决策M.北京:高等教育出版社.2006年3、胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验M.北京:科学出版社.2004年6月；4、王安宁实施“单独”生育二胎政策意义中国新闻网5、中国统计年鉴：人口相关数据附录1：t=0:51; x=60.2 61.5 62.8 64.6 66 67.2 66.2 65.9 67.3 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756; c,d=solve(c/(1+(c/60.2-1)*exp(-5*d)=67.2,c/(1+(c/60.2-1)*exp(-20*d)=90.9,c,d) ; b0= 241.9598, 0.02985; fun=inline(b(1)./(1+(b(1)/60.2-1).*exp(-b(2).*t),b,t);b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0)y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t); plot(t,x,*,t,y,-or) R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2; R=1-R1/R2 W=sum(abs(r1) 附录2：t=46:3:94y= 180.9871