管理类联考初数整除详解.docx

管理类联考初数（一）整除1、数的整除整除的定义：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而余数为零时，则称a能被b整除，或b能整除a，记作ba。 当ba时，称a是b的倍数，b是a的约数（因数）。 0能被任何整数整除，1能整除任何整数。整除的性质：1、 传递性：若ab，bc，则ac2、 可加可减性：若ab，ac，则a（bc）3、 可乘性，若ab，则amb4、 可拆性：若abc，则ac，bc5、 互质可除性：若amb，且（a，m）=1，则ab （注：（a，m）即两数的最大公因数，（a，m）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）例1：若ab，bc，则当m=（ ）时，mc。（A） （B）（C）（D）（E）解析：令例2：是一个整数。 （1） 是一个整数，且也是一个整数； （2） 是一个整数，且也是一个整数。解析：利用整除性质做题条件（一）是一个整数，143n，由于（14，3）=1，所以14n条件（二）是一个整数，n7，根据整除性质无法推出n14。所以选（A）整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数） 能被2/5整除的数：个位能被2/5整除； 能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除； 能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除； 能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。 能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。 例3：数A能被11整除。（1） A是形如abcabc的数（a是19的整数，b、c均为09的整数）；（2） A=解析：直接利用整除特征做题条件（1），利用末三位法，abcabc=0，110，所以abcabc是11的倍数；条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：310+1=31，偶数位之和210=20，差为3120=11，是11的倍数，所以（2）也充分答案选（D）例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的人数 （ ）（A）一定是4的倍数 （B）不一定是4的倍数 （C） 一定不是4的倍数（D） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E）以上均不正确解析：通过分析具体的情境判断数的性质设有同学A1，和他（她）同性的仍记为A2，异性的记为B，则A两侧的排列应该是A2A1B1B2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A。连续n个数乘积可被n整除原则。连续n个正整数之积一定是n的倍数。推广：连续n个数乘积一定是n！的倍数。例5：若是一个大于100的整数，则一定有约数 （ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）以上均不正确解析：利用连续n个数乘积可被n！整除原则。 =，有定理：连续个数的乘积一定能被整除。所以既能被2整除，又能被3整除，故选B。练习题：1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）个。（A）64 （B）48 （C）56 （D）46 （E）552. 如果是3的倍数，是2的倍数，那么必然是（）的倍数。（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）93. 。（1） 且；（2） 且。4. 一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（ ）（A）858 （B）855 （C）852 （D）849 （E）8685. 是整数。（1） 若（p，q是互质的正整数），是一个整数；（2） 若（p，q是互质的正整数），是一个整数。6、若，则（ ）（A） 必然是2的倍数（B） 必然是3的倍数（C） 必然至少是6的倍数（D） 必然不能被任何数整除（E） 不一定是某个数的倍数 7、有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。（A）10 （B）7 （C）8 （D）5 （E）68、下面说法中有（ ）是正确的。（1）0可以被任何整数整除；（2） 如果则；（3） 一个数是4的倍数，必然是2的倍数；（4） 如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么必然也是7的倍数。（是正整数）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4练习题讲评：1、 前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。 根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+248=56个。选（C）2、 显然m必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选（C）。3、 两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D）4、 17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。选（A）5、 条件（1），当时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当时，显然结论不成立。 条件（1）（2）联合起来，既是14的倍数，又是16的倍数，既是9的约数又是7的约数，可见=1，是112的倍数。显然是28的倍数。选（C）6、 显然当n为奇数时，m是个奇数，不能被2整除。再看一下能否被3整除，此时n除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m都能被3整除，选（B）。7、 奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。由于有5存在，个位必须是5。前三位共有6种排法。选（E）8、 （1）显然当除数为0时不成立；（2）当时，显然不成立。所以整除的可拆性不可逆。（3）根据整除的传递性，成立。（4）根据整除的可乘可加性，成立。选（C）。2.奇数和偶数概念与知识点偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。如2，0，2，4，6，奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。如1，1，3，23，显然有： 。奇数与偶数的运算性质： 奇数奇数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数； 奇数奇数=奇数，奇数偶数=偶数，偶数偶数=偶数； 奇数个奇数之和还是奇数，奇数个偶数之和还是偶数，偶数个奇数之和是偶数，偶数个偶数之和还是偶数。 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数； 在整数的加减运算中，加减号互变，结果的奇偶性不变。 一般设2n是偶数，设（2n1）或（2n+1）是奇数。（nZ） 两个相邻的数必定一奇一偶。 ，当n是奇数时，x可以为任意实数；当n是偶数时，x只能是非负数。 体验奇偶数“交叉排列”的含义*。基本做题思路：例1：有偶数位来宾。 （根据12年第20题改编） （1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同。 （2）所有来宾坐成一排，每位来宾与其邻座性别不同。例2：m为偶数（1） 设n为整数，m=n（n+1）（2） 在1，2，3，1988这1988个自然数中每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设这样组成的运算式的结果是m。例3：象棋中的“马”每次走棋总是沿“日”字的对角线 进行，那么经过n次过后，“马”有可能跳回到最初的位置。（1）n=3（2）n=4例4：如果有理数m1，N为非完全平方数），从质数2开始用不同的质数试除N，如果能被某质数整除，则说明N是合数，否则继续用下一个质数试除；如果试到质数P，发现P2N时，无需再试，N为质数。例1：三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数，且依次相差4岁，他们的年龄之和为 （ ） （A）21 B）27 （C）33 （D）39 （E）51解析：考察30以内的具体质数 最小的质数小于6，可能是2、3或者5，如果是2或5的话都不符合题意，答案只能是3、7、11。选（C）。例2：已知三个质数，满足，那么（ ）（A）36 （B）38 （C）39 （D）40 （E）72解析：利用质数的奇偶性做题。如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能成立。所以这三个数中必有一个为2。验证后发现只有b可以为2，所以原式=36+2=38。选（B）。例3：已知三个质数满足，那么的值等于（ ）。（A）30 （B）31 （C）32 （D）33 （E）34解析：连续利用质数的奇偶性做题。如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能等于奇数。所以这三个数至少有一个为2，不妨设是a=2。原式=2+b+c+2bc=99，可以看出b、c应该是一奇一偶，不妨设b=2，可以求出c=19。选（E）。例4：有几个质数（素数）的乘积为770，则他们的和为（ ）（14年第9题）（A）85 （B）84 （C）28 （D）26 （E）25解析：利用分解质因数做题将770分解质因数，得770=25711，可知这几个数分别是2、5、7、11。所以选E例5：m是质数，满足m=n2+4n5（n为正整数），则m+ n=（ ）（A）7 （B）9 （C）10 （D）11 （E）15解析：利用质数m仅能表示成m=1m解题。M=n2+4n5=（n1）（n+5）两个式子中，必有一个为1，另一个为m，显然只能是为1，则，选B。练习题：1.在20以内的质数中挑出6个数，使其两个一组分成三组，且每组两个数之和相等。则这6个数之和为（ ） （A）42 （B）51 （C）66 （D）72 （E）812. 三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为（ ） （A）11 （B）12 （C）13 （D）14 （E）153.用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是m，最大是n，则nm等于（ ）（A）360 （B）345 （C）330 （D）375 （E）3904.如果两数和为64，两数积可以整除4875，那么这两数的差为（）（A）12 （B）13 （C）14 （D）15 （E）175.有一个两位质数，其个位数、十位数都是质数，且前后颠倒后仍是个两位质数，则这两个两位质数的和是（ ） （A）55 （B）88 （C）66 （D）99 （E）1106. A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，满足要求最小的质数A的值为m，则m2+m+1为（ ） （A）55 （B）13 （C）21 （D）43 （E）317. 甲乙两人的岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，这个质数的各个数位数字之和是13，甲比乙也刚好大13岁，那么甲乙两人的岁数之积是（ ） （A） 900 （B）1000 （C）1080 （D）1280 （E）15008. 把60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能地小，那么最大的质数是m。（1） 大于的负整数有m个；（2） m=7。9. 三个人的年龄之积为1771，他们中最小的也已经上了小学。那么三人年龄和是（ ） （A）41 （B）51 （C）61 （D）71 （E）8110. 若x，y是质数，则1000x+4y=2012。（1） xy是偶数；（2） xy是6的倍数。11、 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数中最大的与最小的之差为（ ）。 （A）101 （B）599 （C）367 （D）891 （E）921练习题讲评：1.前20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19，找出其中和相等的三组分别为5+19,7+17,11+14。则和为72，选（D）。2. ，显然三个数中有一个为5，不妨设，原式可化为，显然只有为2,7时才能成立。选（D）3.显然这个三位数个位是5，另两位是2、3、7中的两个。要保证能被3整除，剩下的两个必须是3和7。所以最大的三位数是735，最小的是375，差了360，选（A）。4.先将4875分解质因数：4875=555313，其中小于64的约数有1、3、5、13、15、25、39，其中相加为64的是25和39，差为14，选（C）。5.显然这样的两位数可以是37和73。选（E）6.尝试可知A最小是5。选（E）7.将数位之和为13的两位数都列出来，其中满足是质数的只有67，再通过甲比乙大13岁，求出甲、乙分别是40和27岁。选（C）。8.首先对结论进行分析，求出m的具体值。既然要求最大的质数尽可能小，则这十个质数应该尽可能地接近。根据平均数为6可知最小的应为5，最大的应为7，此时60=5+5+5+5+5+7+7+7+7+7，所以m=7。条件（1）符合条件的只有三个，不充分。条件（2）显然充分。选（B）9.将1771分解质因数：1771=11723，根据最小的已经上了小学，所以三人年龄只能是7岁、11岁、23岁。选（A）10.条件（1）说明中至少有一个为2，不充分；条件（2）说明一个为2，另一个为3，也不充分。联合起来等同于条件（2）。选（E）11. 显然这三个数字必有两个为1，一个为质数。这样的三位数最大为711，最小为112。选（B） 4.最小公倍数、最大公约数最大公约数：几个数公有的约数，叫这几个数的公约数；其中最大的一个，叫这几个数的最大公约数，整数a、b的最大公约数用符号表示为（a，b）。最小公倍数：几个数公有的倍数，叫这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫这几个数的最小公倍数，整数a、b的最小公倍数用符号表示为a，b。互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。 两个相邻的正整数必定互质（n和n+1互质）。求最大公约数/最小公倍数的方法：A、 依次分别写出a、b的约数/倍数，从两组数中找出最大/最小的相同的数，即是最大公约数/最小公倍数。B、 将a、b分别因式分解，最大公约数是取每个质因数在所有数中出现的最低次后，再把这些最低次质因数相乘求积。最小公倍数是取每个质因数在所有数中出现的最高次后，再把这些最高次质因数相乘所得的积。如： C、辗转相除法 求两数的最大公约数时，可以保留其中较小数，将大数去掉，改成大数除以小数的余数，此时求出来的最大公约数不变。如此可以反复辗转相除，直到一数是另一数的倍数。（适用于数比较大时） 如：（72，84）=（72，12）=12 （24，34）=（24，10）=（4，10）=（4，2）=2 求出最大公约数后，再利用后面所讲的公式求出最小公倍数。 说明：实际做题过程中，往往是“看”出来的。比如求（180，108） ，一眼看出两数有公因数9，则（180，108）=9（20，12）；又看出来20和12有公因数4，此时原式=94（5，3），而5和3显然是互质的，所以（180，108）=94=36。性质：A、 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数； 两个自然数的最小公倍数分别除以这两个数，所得的商是互质数。B、两个数的公约数一定是它们最大公约数的约数； 两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。 C、两个数的和或差是它们最大公因数的倍数。 D、两个数如果有倍数关系，则它们的最小公倍数为较大数，最大公约数为较小数。 E、重要公式：（a，b）a，b=ab 比较：集合公式：AB=A+B-AB重要方法：对于两个数a，b，如果设（a，b）=p的话，那么可设a=mp，b=np，（m，n互质），则a，b=mnp基本做题思路例1：已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，符合条件的两个数有（ ）组。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5解析：利用重要方法解题。 设两个数分别为15m，15n，（m，n）=1，则15m+15n=165，m+n=11 显然，满足要求的只有（1，10）（2，9）（3，8）（4，7）（5，6）五组。 选（E）例2：有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是k，则k的各个数位上的数之和为（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6 解析：利用重要方法做题 选（A）例3： 今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相同，那么最多可以分（ ）堆。 （A）10 （B）12 （C）14 （D）15 （E）20解析：利用最大公约数解题。 如果分成了x堆，显然42、112、70都是x的倍数，x是这三个数的公约数，要想让x最大，即是求三个数的最大公约数。 选（C）。例4：今天小明、小玲和小红同时来到图书馆看书，其实三个人的看书时间非常有规律，小明是每12天去一次图书錧，小玲每15天去一次，小红每20天一次。那么，下次三个人再同时出现在图书馆应该是再过（ ）天。（A）30 （B）40 （C）50 （D）60 （E）180解析：利用最小倍数做题。假设再过x天三人同时来到图书馆，显然x必须是12、15、20的倍数，“最近一次”即求三者的最小公倍数。选（D）练习题1. 教师节到了，校工会买了320个苹果，240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工，请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？ （A）10 （B）15 （C）18 （D）20 （E）401.显然是求三个数的最大公约数。选（E）2. （m，n）=23（1） mn=23，且23|n；（2） m，n=138，且m，n都是两位数。2.条件（1）可知，充分；条件（2）可知，由于138=2323，所以两数只能是23、223、323，其中最小公倍数为138的只能是223和323，显然二者的最大公约数为23，充分。选（D）3. 已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为372，满足上述条件的数一共有多少组（不考虑次序）？ （A）12 （B）15 （C）20 （D）30 （E）313.利用重要方法，设两个数分别为A、B，且互质），则，由于62=231，所以，不能是2或31的倍数（否则就不互质）。将1到31中去掉偶数，去掉31，还剩下15个数。选（B）4. 加工某种零件时，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成3个零件；第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个零件。要使三道工序生产均衡，三道工序总共最少分配（ ）名工人。（A）15 （B）16 （C）19 （D）20 （E）254.要使生产均衡，各道工序生产的零件总数应该相等，并分别是3、10、5的倍数。要使工人最少，则是求零件总数的最小公倍数3,10,5=30，则第一道工序需要10名工人，第二道工序需要3名工人，第三道工序需要6名工人。共需要19名，选（C）5. 两个正整数中，甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90。如果甲数是18，那么乙数是m，则m的各个数位之和为（） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）65.利用重要公式求出。选（B）6. 两个正数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（ ） （A）0对 （B）1对 （C）2对 （D）3对 （E）4对6.利用重要方法设则，又因为互质，所以只能是1和15、3和5。选（C）7. 某赛车跑道上，A车一分钟可跑2圈，B车一分钟可跑3圈，C车一分钟可跑4圈，现在三车从同一地点出发，则（ ）分钟后， 三车第一次并排出现在起跑线上。 （A）1/2 （B）1 （C）6 （D）12 （E）166.此题要注意是“一分钟跑2圈”，而不是“2分钟跑一圈”，谨防误求2、3、4的最小公倍数。实际求的是的最小公倍数。对于分数的最小公倍数我们没有专门讲解，可以按照最基本的思路分别将三个数的2倍、3倍、4倍、列出来，找到大家公有最小的倍数即为最小公倍数。此题比较简单，可以直接看出来是一分钟。选（B）8. 已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，则这两个数的最大公约数为（ ） （A）10 （B）12 （C）15 （D）20 （E）308. 设两个数分别是其中互质且，为两个数的最大公约数。则，尝试中得，此时。选（B）9. 9.已知两个正整数的和不超过50，差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差也为30，符合条件的两个数有（ ）组。 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）810.已知两个自然数的最大公约数是4，最小公倍数是120，则这两个数之和为m。（1） 绝对值不大于11.1的整数有m个；（2） 绝对值不大于21.1的整数有m个。5.余数与同余余数：x除以A余r，记作：xA=mr 则有A |（xr）;rA。 从1开始的每n个数除以n的余数分别是1、2、3n1、0例1：如果m500，那么能求出m的确定的值。（1）m除以5余1，除以7余1，除以11也余1；（2）m除以5余4，除以7余6，除以11余10。解析：通过“去余”或“补余”使刚好整除。例2：整数x除以15的余数是8。整数x除以3的余数是2。整数x除以5的余数是3。解析：如何利用两个不同的余数条件合并成一个余数条件。先判断（1）（2）单独都不充分。联合后，除以3余2的数从小到大依次是5、8、11、14其中，第一个除以5余3的是8。所以，x可表示为8+n3，5=15n+14例3：m为正整数，92除以m余4，105除以m余1，则m的值为（ ）（A）22 （B）11 （C）8 （D）4 （E）2例4：100以内有多少除以3余2或除以5余3的数？解：利用每连续n个正整数中，恰有一个数除以n余m（mn）。同余如果x、y除以A都余r，则说x、y对于A同余，记作xy（mod A）例：10和6除以4都余2，则说10、6相对于4同余，记作106（mod 4）同余的性质：（1）若xy（mod A），则有|xy|A。（2）可乘性：若xy（mod A）且st（mod A），则xsyt（mod A）（x,y,s,tN+，下同）（3）可加可减性：若xy（mod A）且st（mod A），则s+xt+y（mod A） ，sxsy（mod A） 例5：某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件，月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个，则最后一包有（ ）个