论高等代数中的不变量.doc

重庆三峡学院毕业论文论文题目：论高等代数中的不变量专 业：信息与计算科学年 级：2004级学 号：200406010240作 者： 指导老师：杜祥林（教授）完成时间：2008年5月目 录摘要IAbstractII1 引言12 关于不变量的定义13 关于初等变换下的不变量14 关于合同变换下的不变量64.1 复数域下合同变换的不变量64.2 实数域下合同变换的不变量75 关于相似变换下的不变量105.1 矩阵的相似不变量105.2 矩阵相似的全系不变量116 结束语19致 谢19参考文献20论高等代数中的不变量摘要：“不变量”是数学研究中一个十分重要的内容，数学很多分支中都涉及到不变量高等代数中也有一些不变量，熟知的有比如矩阵的秩、惯性指数、不变因子等本文就是通过一系列严格的论证来证明高等代数中的各个不变量，然后研究这些不变量的性质及应用 由于高等代数中的不变量较多，本文分别从矩阵的初等变换、合同变换、相似变换这些高等代数中的重要变换入手，探讨如何利用等价关系、分类、不变量、标准形及矩阵的初等变换的观点和方法来找到在每一种变换下的不变量，从而利用这些不变量来研究这些变换之间的关系在本文中依次证明了对于初等变换，矩阵的秩是唯一的全系不变量合同变换在实数域上的唯一全系不变量仍然是矩阵的秩，而在复数域上的全系不变量除了矩阵的秩外，还有惯性指数相似变换的不变量有：行列式、特征多项式、特征值、矩阵的迹以及最小多项式全系不变量有行列式因子、不变因子以及初等因子最后还举例说明了如何利用这些不变量来研究一些相关问题关键词：不变量；全系不变量；初等变换；合同变换；相似变换On the Invariants in Advanced AlgebraXIANG Qian-nan(Grade 2004, Information and Computing Science, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract:“Invariant” is an important content in the study of mathematics,which many branches of mathematics involve.There are also some invariants in the advanced algebra,such as the rank of matrix, inertia index, invariant factor and so on.This papers aim is to find these invariants through a series of strict demonstration,study their nature and application. Because there are so many invariants in advanced algebra,this paper begins with some important transformations which include elementary transformation, the contract transformation and the similar transformation of matrix in the advanced algebra,and probes into how to find the invariant of each transformation by using the viewpiont and method of equivalent relation, classified, the invariant, the normal form and the elemetary of matrix,in order to study the relations between these transformations.This paper proves that the rank of matrix is the only invariant in elementary transformation,and the rank of matrix is also the invariant in the contract transformation when it is confined in real number field.But if the range is extended to plural number field,the invariant include the inertia index too.The invariants of the similar transformation are determinant, eigenpolynomial, eigenvalue and trace of matrix,while the complete invariants are determinant divisor, invariant factor and elementary divisor. Finally it also explains how to study the questions related to these invariants by concrete examples.Keywords: invariant;complete invariant;elementary transformation;contract transformation;similar transformationI2008届信息与计算科学专业毕业论文1 引言“不变量”是数学研究中一个十分重要的内容，数学很多分支中都涉及到不变量高等代数中也有一些不变量，熟知的有矩阵的秩、惯性指数、不变因子等而变换在高等代数中起着十分重要的作用，那些在变换之中保持不变的量，是数学结构固有的属性，反映了高等代数的本质，所以变换之下的不变量，对高等代数的研究起着极为重要的作用矩阵的初等变换、合同变换和相似变换都是高等代数中的重要变换，每一种变换下的不变量或保留的性质，一般是随着变换的升级呈递增趋势，其应用从某种程度上讲也更为广泛本文就是要通过一系列严格的论证来证明高等代数中的各个不变量，然后研究这些不变量的性质及应用首先给出关于不变量的定义2 关于不变量的定义定义2.1设是集合上的一个结构，是集合上的一个变换，变换确定结构所属的级的变换若在之下变为它自身，则称结构是在变换下的不变量定义2.2在不变量中，有些不变量不仅在某个变换（初等变换，合同变换或相似变换）下保持不变而且足以判断两个矩阵是否具有这样的关系，我们称这样的不变量为全系不变量3 关于初等变换下的不变量要研究初等变换下的不变量，首先定义初等变换定义3.1下列三种矩阵变换分别称为矩阵的第一类、第二类、第三类行（列）初等变换：（1）对调矩阵中某两行（列）的位置；（2）用一非零常数乘以矩阵的某一行（列）；（3）将矩阵的某一行（列）乘以数后加到另一行（列）上去上述三种变换称为矩阵的初等变换定义3.2若关系在集合中是自反、对称和传递的，则称为上的等价关系.反身性: 任意属于,则与自己具有关系,即.对称性: 任意,属于,如果与具有关系，即,则与也具有关系，即.传递性: 任意,属于,如果且,则.定义3.3如果矩阵可以从矩阵经过有限次初等变换而得到，则称与是等价的也就是说设，是两个阶矩阵,若存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使，则称矩阵与是等价的表示数域上所有矩阵，矩阵的等价是的一个等价关系由于对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵因之，显然矩阵，等价的充分必要条件是有初等矩阵，使定义3.4 矩阵的等价是在矩阵的初等变换的基础上引入的，矩阵的等价关系是上的一个二元关系，这种关系具有反身性、对称性和传递性证明反身性：显然单位矩阵也是初等矩阵，而表明与它自身等价对称性：由与等价可知，存在初等矩阵，以及初等矩阵，使得，于是但是初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，因此与等价传递性：由与等价，与等价，可设，其中，都是初等矩阵，于是因此与等价由此，由矩阵的等价关系决定的等价类组成的集合是的一个分类在每一个等价类中，我们希望选取一个代表，它不但具有这一类中矩阵的一些特性，且其形式又是最简单的，那么，这个形式最简单的代表就有了较高的应用价值，我们把它叫做矩阵的等价标准形定义3.4 设是矩阵，若秩，则等价于矩阵称矩阵为的等价标准形定义3.5一个矩阵的行向量的秩称为的行秩，的列向量的秩称为的列秩可以证明矩阵的行秩与列秩在初等变换下是不变的，即矩阵的行秩与列秩是初等变换下的不变量证明首先证明矩阵的行秩在行初等变换下不变，列秩在列初等变换下不变再证明列秩在行初等变换下不变,行秩在列初等变换下不变 第一步，设，为简单起见将它写成分块的形状：，其中是的第个行向量对换的任意两行并不改变的行向量组，因此也不改变的行秩这表明在第一种行初等变换下秩不变又若以一个非零常数乘以的第行，则变成显然，的个行向量可用的个行向量的线性组合来表示反之的个行向量也可用的行向量的线性组合来表示，因此的行秩与的行秩相等接下来再看在第三种行初等变换将矩阵的第行乘以后加到第行上去，矩阵变成了下列矩阵：显然，的向量是中向量的线性组合反之，因此中向量也是中向量的线性组合，从而与的行秩相等这就证明了的行秩在初等变换下也不变第二步，证明的列秩在行初等变换下不变由于的行初等变换等价于用一个初等矩阵左乘以，因此只需证明对任一初等矩阵，与的列秩相等就可以了现把写成列向量形状：，其中是的第个列向量由分块矩阵的乘法得设的列向量的极大无关组为，这样的假定不失一般性，因为交换任意两列均不改变矩阵的列秩，经过若干次交换后总可将极大无关组换到前个现在要证明是的极大线性无关组先证明线性无关设有，使得，则但是非奇异阵,在上式两边左乘即得再由线性无关即得这就证明了是一组线性无关的向量再证明任一均可表示为的线性组合由于是的列向量组的极大线性无关组，故由上面的讨论知道与的极大无关组都有相同个数的向量，因此与的列秩相等同理可证明的行秩在列初等变换下不变 由此可知矩阵的行秩与列秩均是初等变换下的不变量接着还可以进一步证明任一矩阵的行秩等于列秩，从而将行秩与列秩都统一到矩阵的秩上来证明设所讨论的矩阵为，而的行秩为，列秩为了证明，我们先来证以代表矩阵的行向量组，不妨设是它的一个极大线性无关组因为是线性无关的，所以方程只有零解，这也就是说，齐次线性方程组只有零解而这个方程组的系数矩阵的行秩因此在它的行向量中可以找到个是线性无关的，譬如说，向量组线性无关，则这些向量上添加上几个分量后所得的向量组也线性无关它们正好是矩阵的个列向量，由它们的线性无关性可知矩阵的列秩至少是，也就是说用同样的方法可以证明这样，就证明了矩阵的行秩与列秩相等定义3.6设 则的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为集合中，秩为的所有矩阵恰好组成一个等价类，其中，从而一共有个等价类利用标准形可以证明两个矩阵与等价它们的秩相同由于一个矩阵,必等价于下面形式的矩阵： （1）上面的矩阵中的行及前列交点处有个，其余元素皆为零换言之，任一矩阵均与一个主对角线上元素等于或而其余元素均为的矩阵等价证明若，则结论显然成立现设，即至少有一个元素如果不在第位置，那么可将它所在的行与第一行对换，再将它所在的列与第一列对换就可将调至第位置所以我们不妨设接下去将第一行依次乘以加到第行上去，于是第一列元素除外都变成了零再将第一列元素乘以后加到第列上去，则第一行元素除了外都变成了零再用乘以第一行，就得到第元素等于而第一行及第一列其它元素都是零的矩阵，其形状如下：再对第二行第二列采用与上面相同的步骤使第位置的元素不等于，并用同样的办法消去除第元素外的第二行及第二列的所有元素显然在进行上述过程中第一列及第一行的元素保持不变这样不断做下去，直到变成（1）式的形状为止由于在数域上矩阵集合中，同一等价类中的矩阵有相同的秩，且具有相同秩的矩阵在同一等价类里，因此矩阵的秩是集合在等价关系下的唯一全系不变量也就是说矩阵的秩是初等变换下的唯一全系不变量从而在研究有关矩阵的一些问题时(在等价关系不变的性质)，我们就可以先求出矩阵的等价标准形，由于矩阵标准型的形式比较简单，它的性质容易研究，由此可了解原矩阵的性质，例如可利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 用矩阵初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行行数即为矩阵的秩在此过程中也可用初等列变换或者两种初等变换同时使用，而求向量组的秩只要把向量组写成一个矩阵，该矩阵的秩就是向量组的秩下面就举一个利用矩阵的初等变换求矩阵的秩的例子：例3.1求矩阵的秩解：由于矩阵的秩是初等变换下的不变量，因此而矩阵有个非零行，即，所以矩阵的秩也为4 关于合同变换下的不变量定义4.1设 ，是阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使，则称与合同，也称合同于合同是的一个等价关系则显然在合同变换下矩阵的秩不变，矩阵的对称性不变，也就是说矩阵的秩仍然是矩阵在合同变换下的不变量，那是否还有更为细致的不变量呢？因此下面分实数域和复数域两种情况来讨论4.1 复数域下合同变换的不变量定义4.2若为复数域上的阶对称矩阵，则合同于矩阵，其中秩，为复对称矩阵的合同标准形利用标准形易得到如下结论：两个复对称矩阵合同它们的秩相等即复对称矩阵的合同关系只有一个全系不变量利用这一结论可以将复对称矩阵进行分类例4.1把合同的复对称矩阵归为一类，元复对称矩阵一共有几个不同的类？解: 可根据复对称矩阵的秩来分类，所有与矩阵合同的矩阵为一类，而可取的值有，所以元复对称矩阵一共有个不同的类(包括零二次型）例4.2求证：秩是的复对称矩阵，可表示成个秩是的对称矩阵的和证明设是对称矩阵，则对应的二次型通过非退化的线性替换可变成标准形，即存在可逆矩阵，使通过合同变换变成对角矩阵，对角线上的非零元素得数目正是的秩从而有上式右端是个秩是的对称矩阵的和，记作，则有记由于是可逆矩阵，所以的秩等于的秩等于，故可表示成个秩是的对称矩阵的和4.2 实数域下合同变换的不变量对于实任意一个实对称矩阵必合同于对角阵，显然有秩，因此秩也是合同关系下的一个不变量下面就是要找出实对称矩阵在合同关系下的全系不变量,即用这组不变量足以判断两个实对称矩阵是否合同由于合同关系是等价关系，则不妨设实对称矩阵已具有下列对角阵的形状：由于任意调换的主对角线上的元素得到的矩阵仍与合同,因此可以把零都放在一起,把正项与复项放在一起，即可设所代表的二次形为(2)令 ，则(2)式变为 (3)此式称为实二次型的规范型这一事实等价于合同于下列对角矩阵：，其中有个1,个,个零现在就是要证明(3)式中的数及都是实对称矩阵在合同变换下的不变量设是一个元实二次型，且可化为两个规范型：其中，下面证明必有证明用反证法，设因此有 (4)又设 ，其中于是，令，则，因为，齐次线性方程组必有非零解(个未知数,即个方程式)令其中一个非零解为把这组解代入(4)式左边得到但这时，故(4)式右边将小于等于零引出了矛盾同理可证也不可能则有定义4.3设是一个实二次型，若它能化为形如(3)式的形状，则称是该二次型的秩，是它的正惯性指数，事故负惯性指数，称为的符号差下面证明秩与符号差(或正负惯性指数)是实对称矩阵合同关系的全系不变量证明显然，若阶实对称矩阵，合同，则它们的秩与符号差均相同反之，若阶实对称矩阵，的秩都为，符号差都为，则它们都合同于，其中有个，个及个零，因此与合同对正负惯性指数的结论也同样成立定义4.4设是一个阶实对称矩阵，则合同于矩阵，称为实对称矩阵的合同标准形其中为的正惯性指数，称为的负惯性指数，称为的符号差因此可根据实对称矩阵的标准型来将实对称矩阵进行分类例4.3阶实对称矩阵按合同关系进行分类，共有几类？解：可先根据阶实对称矩阵的秩的不同分,在秩相同的情况下再根据正惯性指数的不同来分类，所有与矩阵（其中秩为，正惯性指数为）合同的实对称矩阵为一类即当阶实对称矩阵的秩为时, 正惯性指数只能取，所以只有类；当秩为时，正惯性指数可取或，所以有类；当秩为时，正惯性指数可取，所以有类；当秩为时，正惯性指数可取，所以有类；当秩为时，正惯性指数可取，所以有类;当秩为时,正惯性指数可取,所以有类, 总之一共有,即种不同的分类(包括秩为零的类).例4.4设是实对称矩阵，如果与合同，求的符号差解因为与合同，所以二次型与二次型等价，所以它们有相同的规范形，设有非退化的线性替换，使，则对二次型，令，使由于正惯性指数是合同变换下的全系不变量，则两个标准形的正惯性指数相等，所以应有，从而的符号差为5 关于相似变换下的不变量定义5.1 设,都是阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵与相似，记为相似是的一个等价关系5.1 矩阵的相似不变量可以证明行列式，特征多项式，特征值，矩阵的迹以及最小多项式都是矩阵的相似不变量证明(1)若，则由相似的定义可知存在可逆矩阵，使得，从而，故行列式是相似不变量(2)设，则存在可逆矩阵，使得.于是：因.故矩阵的特征多项式也是相似不变量(3)由于矩阵的特征值就是它的特征多项式的根，故由以上证明可知矩阵的特征值也是相似不变量(4)若，则存在可逆矩阵，使得由于任何阶矩阵和，矩阵的迹等于矩阵的迹，即所以故矩阵的迹也是相似不变量(5)设，即存在可逆矩阵，使；又设与的最小多项式分别为，于是但是，的最小多项式整除任何以为根的多项式，故同理，有又由于两者首项系数都是，故5.2 矩阵相似的全系不变量相似矩阵的不变量中，有些不变量不仅在相似关系下保持不变而且足以判断两个矩阵是否相似，我们称这样的不变量为全系不变量虽然矩阵的行列式、特征多项式、特征值、矩阵的迹以及最小多项式都是矩阵的相似不变量，但它们并不是全系不变量，即有相同的行列式、特征多项式、特征值、迹、或者最小多项式的矩阵不一定相似.例如：它们的特征多项式都是，但它们不相似.这是因为与相似的矩阵只能是它自身，因此与不相似.由于直接研究矩阵相似的全系不变量不好进行，因此我们想到把数字矩阵的相似归结为矩阵的等价，由以下证明可知这一想法是可行的设，是数域上的矩阵，则与相似的充分必要条件是矩阵与等价证明若与相似，则存在上的非奇异矩阵，使得，于是 （5）把看成是常数矩阵，（5）式表明与等价反过来，若与等价，即存在及使得 （6）其中及都是有限个初等矩阵之积，因而都是可逆矩阵因此可将（6）式写为 （7）现可设 （8）代入（7）式经整理得，上式的左边是一次的矩阵多项式，因此式中中括号内的部分必须是零次的，也即必是一个常数矩阵，设为，于是 （9）（9）式又可整理为再次比较次数得，现只需证明是一个非奇异矩阵即可由假设将上式两边右乘并移项得：但，因此 （10）再设，代入（10）式并整理得，比较次数即知上式左边方括号内的矩阵必须为零，因此，即是非奇异矩阵以上的证明说明了可以把矩阵的相似归结为矩阵的等价因此我们也就可以通过矩阵是否等价来判断数字矩阵是否相似例5.1矩阵，它们相似吗？解法： 所以与等价，故解法2：所以与等价，故此题将相似关系转化为等价关系，相似关系难以处理，但等价关系就可以用初等变换，这样问题就变得比较具体，同时还可以求出相似变换矩阵接下来主要讨论矩阵等价的不变量首先定义矩阵的三种初等行变换：(1)将的两行对换；(2)将的第行乘以常数，是数域中的非零数；(3)将的第行乘以上的多项式后加到第行上去同理可以定义三种矩阵的列初等变换若，都是矩阵且经过初等变换后可变为，则称矩阵与等价与数字矩阵一样，矩阵的等价关系也具有以下性质：(1)自反性：与自身等价；(2)对称性：若与等价，则与等价；(3)传递性：若与等价，与相似，则与等价由前面的讨论知道数字矩阵的秩是等价关系下的全系不变量，那么对于矩阵来说是否仍然成立呢？下面就是来讨论这个问题定义5.2矩阵不恒等于零的子式的最大阶数叫做的秩,记为与数字矩阵相似，若有两个矩阵与等价，则意味着存在一系列初等矩阵与，使得：若令，由于初等矩阵可逆，所以，均可逆，于是有由此可知，若两个矩阵等价，则它们的秩必相等但此命题的逆命题却不成立，这与数字矩阵不同，具有相同秩的两个矩阵未必等价例如，因为，所以当时，与的秩均为因为初等变换是可逆的，则由以上证明过程知，两个等价的方阵的行列式只能相差一个非零常数，故与不等价因此，秩相等只是矩阵等价的必要条件，而并不是矩阵等价的充分条件也即矩阵的秩不是矩阵在等价关系下的全系不变量，那么两个矩阵等价的充分必要条件是什么呢？由于任一矩阵均等价于一如下形式的对角矩阵：其中是首项系数为的多项式，且因此，如果两个阶矩阵的标准型相同，则它们必等价但现在要问反过来的问题，即如果两个矩阵的标准型不相同，是否它们必不等价？假如我们能证明这一点，那么我们就找到了矩阵等价关系的全系不变量，即个首一的多项式序列： （11）适合为了证明这一点，我们只需证明（11）式中的多项式在等价关系下具有不变性就可以了为此，引入行列式因子和不变因子的概念定义5.3设是阶矩阵，是小于等于的某个自然数如果的所有阶子式的最大公因子（它是首一多项式）不等于零，则称这个多项式为的阶行列式因子，记为定义5.4设是矩阵的行列式因子，则，称为的不变因子首先可以证明等价的矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子证明我们只需证明行列式因子在任意一种初等变换下不变就可以了对第一种初等变换，交换矩阵的任意两行，显然的阶子式最多改变一个符号，因此行列式因子不改变对第二种初等变换，的阶子式与变换后矩阵的阶子式最多差一个非零常数，因此行列式因子也不改变对第三种初等变换，记变换后的矩阵为，则与的阶子式可能出现以下三种情形：子式完全相同；子式中的一行（或一列）等于中相应子式的同一行（列）加上该子式中某一行（列）与某个多项式之积；子式的某一行（列）等于中相应子式的同一行（列）加上不在该子式中的某一行与某个多项式之积在前面两种情形，行列式的值不改变，因此不影响行列式因子现在来讨论第三种情形设为的阶子式，相应的的阶子式记为，则由行列式的性质得，其中由中的行与列组成，因此它与的阶子式最多差一个符号是乘以某一行的那个多项式，于是的行列式因子整除，整除，故整除这说明，可整除的所有阶子式，因此可整除的阶行列式因子但也可用第三种初等变换变成，因此整除由于及都是首一的多项式，因此必有以上证明了等价的矩阵有相同的行列式因子，而不变因子，因而相似的矩阵也有相同的不变因子而两个矩阵若有相同的行列式因子或不变因子，则它们的标准型相同，从而它们等价由以上证明可知显然不变因子被行列式因子唯一确定，反之行列式因子也被不变因子唯一确定，则数域上的阶矩阵与相似的充分必要条件是它们的特征矩阵与具有相同的行列式因子或不变因子因此我们可以通过考察两个矩阵的行列式因子或不变因子是否相同来判断这两个矩阵是否等价例5.3求证若，则与等价证明因为，故的一阶子式的最大公因式，而的一阶子式的最大公因式显然也是又由于，即两者二阶子式的最大公因式也相等，从而有完全相同的行列式因子，而行列式因子是矩阵在等价关系下的全系不变量，故两者等价以上结果说明，不变因子与行列式因子都是矩阵相似的全系不变量，因此的行列式因子及不变因子均可称为的行列式因子与不变因子可以利用矩阵的不变因子以及行列式因子的异同来判断矩阵是否相似例5.4对阶矩阵，如果使的最小正整数，则称为次幂零矩阵证明：所有阶次幂零矩阵彼此相似证明假设矩阵满足，那么的最小多项式为从而的第个不变因子为其次，以及的次数为，则，这就是说，所有阶次幂零矩阵的不变因子均为，从而所有阶次幂零矩阵有相同的不变因子，故彼此相似例5.5设是数域上一个矩阵，证明与相似证明：由于矩阵是的转置，则与互为转置矩阵，它们对应的阶子式互为转置行列式，故相等从而有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子，则与等价，因此与相似利用矩阵的不变因子，可以来构造矩阵的有理标准型也就是要寻找一个比较简单的矩阵使它与给定的矩阵有相同的不变因子由于矩阵的特征矩阵的标准型为其中为首一非常数多项式且的不变因子就是可以证明有如下形式的有理标准型：设是数域上的阶方阵，的不变因子组为，其中的次数为，则相似于下列分块对角阵：，其中的阶为，且，的最后一列由系数（除最高次项）的负值组成利用矩阵的不变因子，还可以求一个矩阵的有理标准型有理标准型对任何数域都可以求出差，它有着诸多的用途但是有理标准型也有一些缺点，主要是它还不够细，即有时候每个块太大，用时不太方便有理标准型中块太大的原因是不变因子的次数可能比较高如果我们用因式分解的方法分解每个，这就有可能造出更细的标准型来为此，引入初等因子的概念设是数域上矩阵的非常数不变因子，在上把分解成不可约因子之积：，（12）其中是非负整数由于，因此若（12）式中的，则称为的一个初等因子，的全体初等因子成为的初等因子组由因式分解的唯一性可知的初等因子被的不变因子唯一确定反过来，若给定一组初等因子，适当增加一些表示为，则可将这组初等因子按降幂排列如下：，（13）令，则，且的初等因子组就如（13）式所示，因此，给定的不变因子组与初等因子组在讨论矩阵相似关系中的作用是相同的这也就说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似反之如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子数域上的两个矩阵与相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子组，即矩阵的初等因子组是矩阵的全系