高三数学第一轮复习讲义14任意角及其三角比.docx

2018届高三第一轮复习讲义【14】-任意角及其三角比一、知识梳理1. 任意角及其度量零角绕其端点从初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)角可以看作是平面内一条射线_所形成的图形. 特别地, 当一条射线没有旋转时, 我们也认为形成了一个角, 这个角叫做_. 逆时针顺时针把等半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角, 用符号rad表示, 读作弧度. 并规定按_方向旋转所形成的角为正角, 其度量值为正; 按_方向旋转所形成的角为负角, 其度量值为负; 零角的弧度数为0.由弧度制的定义, 角度制与弧度制互化可通过关系式来实现. 半径为r的圆中, 圆心角为的扇形的弧长l满足_, 对应的扇形的面积为_.2. 任意角的三角比终边落在第几象限不属于任何象限将角置于直角坐标系中, 顶点与原点重合, 始边与原点和x轴正半轴重合, 则其_就称其为第几象限的角; 规定: 终边与坐标轴重合的角_.将角置于直角坐标系中, 取终边上一点, P到原点的距离为. 则有:, , .当角处于第I,II象限时, 其正弦线, 余弦线, 正切线如下图所示: 如图所示, 设角的终边与单位圆的交点为P, 过点P作PQ垂直于x轴, 垂足为Q. 过点作直线垂直于x轴, 交角的终边(或其反向延长线)于T, 则称有向线段_, _, _分别为角的正弦线, 余弦线以及正切线.有向线段的值由长度和符号两个部分组成, 其中当线段和出现在x轴上方时, 规定其符号为正, 反之为负; 当线段OQ出现在y轴右侧时, 规定其符号为正, 反之为负. 由此可知, 角的三角比的值等于其三角函数线的值.3. 同角三角比关系(1) 平方关系:; _, _.(2) 商数关系:; _.(3) 倒数关系:_; _; .4. 诱导公式诱导公式反映的是与三角比的关系,(1) 的三角比, 等于的同名三角比, 前面加上将看作锐角时原三角比的符号;(2) 的三角比, 等于的余名三角比, 前面加上将看作锐角时原三角比的符号.5. 两角和差公式(1) _;(2) _;(3) _(_).6. 辅助角公式设, 且不全为零, 则, 其中_, 由条件决定.7. 二倍角公式(1) _;(2) ;(3) _(_).8. 半角公式（选考）(1) ;（2）;上述公式中的“”均由_终边的位置决定; 且正切的半角公式还可以用的正余弦表述为:.二、基础检测1. 终边在x轴正半轴上的角的集合为_, 终边在x轴上的角的集合为_, 终边在坐标轴上的角的集合为_, 终边在第一象限内的角的集合为_.2. 动点P从出发, 沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点, 则点Q的坐标为_ _.3. 若为第二象限角, 则_.4. 化下列各式为的形式:(1) _; (2) _.5. 已知, 则_.6. 已知, , 则_.三、例题精讲【例1】判断下列命题的真假，并说明理由(1)若，则是第一象限的角；(2)第一象限的角都是锐角；(3)若是第一象限的角，则也必是第一象限的角；(4)弧度的角与的角是终边相同的角；(5)终边在轴上的角的集合为；(6)终边在轴上方的角的集合为. 【解析】(1)假命题 (2)假命题(3)假命题(4)真命题(5)真命题(6)真命题【例2】集合 ，则（ ） 【解析】【例3】已知角的终边经过点，求角的六个三角比的值.【解析】【例4】若扇形的圆心角为，半径为5，则下列结论正确的是（ ）扇形的弧长为，面积为；扇形的弧长为，面积为；扇形的弧长为，面积为； 扇形的弧长为，面积为.【解析】【例5】函数的值域是 .【解析】 【例6】设，求下列各式的值：(1) (2) (3)【解析】(1)(2)(3)【例7】若，化简.【解析】【例8】已知为第二象限角，且则【解析】C【例9】在等腰三角形ABC中，点分别是的三等分点，分的角分别为，求的值.ED【解析】【例10】证明恒等式：(1) (2) (3) 【解析】（1）左边=右边.所以原恒等式成立.（2）左边= = =右边，所以原恒等式成立（3）因为= =0，所以.【例11】已知，则 【解析】【例12】在中，若，则的值是（ ） . . .或 . 【解析】 【例13】已知 . 【解析】【例14】已知，那么的值为 ，的值为 . 【解析】， 【例15】已知，则 ， . 【解析】【例16】已知,则的值为（ ） - - 【解析】 【例17】已知则等于 （ ） . . . 【解析】 【例18】若，如果有，则值为（ ） 0 1【解析】四、难题突破例1、对于集合和常数，定义为集合相对的“余弦方差”，求证：集合相对于任何常数的“余弦方程”是一个与无关的常数。解析：；例2、扇形AOB的中心角为，半径为，在扇形AOB中做内切圆及与圆外切，与OA，OB相切的圆，问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？解析：，所以；设，当时，；五、课堂练习1. 将角置于直角坐标系中, 角的终边与的终边关于y轴对称, 且若, 则_.2. 已知一个扇形的圆心角为3弧度, 弧长为9, 则此扇形的面积为_.3. 若角终边上一点P到原点的距离为, 且, 则P的坐标是_.4. 已知, 求.5. 若,(1) 求的值;(2) 求.6. 化简: _.7. 若, 化简: _.8. 已知, , 则_.9. 已知, 则_.10. 已知, , , 求.11. 已知, 求的值.12. 已知, , 且, , 求的值.六、回顾总结：1. 主要方法:三角函数式化简:发现差异: 观察角、函数运算间的差异(如角的关系、角的范围)，即差异分析；寻找联系: 运用相关公式，找出差异之间的内在联系；合理转化: 选择恰当的公式，促使差异的转化；化简目标: 项数最少、函数种类最少、分母中不含有三角函数，能求值的尽可能求值；一般方法: 角的变换: 拆角、拼角； 名的变换: 化弦或化切； 次数的变换: 升、降幂公式； 形的变换: 同一函数形式，注意运用代数运算；求值、化简、证明的一般思路: 切割化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.2. 易错、易漏点:特别注意正切公式成立时角满足的条件；注意三角公式中角的范围、三角比的符号；注意倍角公式的相对性；半角公式中的号，应根据角所在的象限判断； 注意三角公式中基本公式(包括理科拓展中的积化和差与和差化积公式)均源于两角和差的余弦、正弦公式推导出，应当特别重视；对于公式，应掌握正用、逆用、变形使用.七、课后练习1.已知,，则 . 2.已知，求= . 3.若是第三象限的角，则 . 4.已知，则 = . 5.已知，求的值. 6.若是等腰直角三角形斜边的三等分点，则 . 7求证：8已知，且，则_9已知则= . 10试用表示.11设且求12. 已知则 = . 13