身高与体重建模.doc

承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）.我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：身高与体重的关系目录摘要.1关键字.2一问题重述.2二模型假设.3三模型符号说明.3四模型建立与求解.44.1问题一模型的建立与求解.4 模型一的建立.4 模型二的建立.4 模型一与模型二的比较.5 4.2问题二的解.643问题三模型的建立与求解.64.4问题四模型的建立与求解.84.5问题五模型的建立与求解.10五模型的评价.11六参考文献.11摘要：文中问题是让我们运用数学思想和定理,来建立一个关于身高与体重的关系模型，然后根据得到的模型，收集实际的数据，利用Excel软件进行验证。运用了数学中的拟合方法,拟合是对不同类型事物之间关系之表象的抽象。任何一个单一的关系必须依赖其他关系而存在，所有实际事物的关系都表现得非常复杂，这种方法就是对规律或趋势的拟合。拟合的成果是模型，反映一般趋势，趋势表达的是“事物和关系的变化过程在数量上所体现的模式和基于此而预示的可能性”。本题中身高与体重所体现的关系就是拟合的结果。根据题目中条件1给出的数据利用Excel软件绘出相应的图像，通过分析得出比较合理的一种假设，设为指数函数或者是幂函数，最后得到一个关于体重y(kg)与身高x(cm)之间的指数函数关系式（1）：，或幂函数关系式（2）：，而根据实际表中所给数据验证并比较其误差得关系式比较符合。而问题二通过对身边的同学进行数据收集，列成统计表格，在问题三中利用Excel软件，通过比较测量值的绝对误差与相对误差等判断所建模型是否适合实际情况。问题四也是对数据进行相关的分析进而得到答案，问题五则通过定性指标的量化处理方法，通过构造模糊隶属函数对数据进行量化处理。关键字：曲线拟合 Excel工作软件 绝对误差 相对误差 验证 BMI(身体质量指数)一 问题重述以下是某地区不同身高的男性大学生的体重平均值表：身高（cm）152156160164168172176180184188体重（kg）51.25535455.557.559.2562.2565.569.2572.25（1）根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区男性大学生体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数解析式。（2）在你的同学中采集至少50组有关性别、年龄、身高、体重的数据，做一个真实的统计表。（3）根据采集的数据验证你求出的函数是否适合不同的年龄和性别。给出验证的方法、公式和标准，提出修正的意见。（4）若体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦。根据你的公式，再对你所统计数据中的每个人做出评价。（5）现在流行一些计算标准体重的公式（上网就可查到），比如根据体重除以身高的平方得出的系数来判断一个人是否超重。评价这些公式的科学性，如果可能给出你的修正意见。二模型的假设1、假设被调查的每个人身体状况都是正常的 2、假设问题一中体重只与身高有关，而与年龄、生活环境等影响因素无关。 3、所收集的数据来自同一地区，且每个人的身体状况都为正常； 4、不考虑时间因素对体重的影响； 5、问题三的假设：假设男、女生均适合模型一得到的公式三模型符号说明 表示身高，单位为cm；表示体重，单位为kg；X 代表女，Y代表男性；a表示测量的体重值的近似值，A表示体重的真实值；MAE 表示平均绝对误差；四模型的建立与求解4.1问题一的模型的建立：由于体重受身高、年龄、性别等诸多因素的影响,很难找到一个适合每个人和每个年龄阶段的非常准确的公式来衡量.为此,只选取影响体重最直接的因素，即是身高来建立一个基本的数学模型从宏观上反映体重y关于身高x的函数表达式。利用excel工作表可得以下的图像：模型（1）身高（cm）152156160164168172176180184188体重（kg）51.25535455.557.559.2562.2565.569.2572.25可得到体重y关于身高x的表达式为：模型（2）：由此知道y关于x的函数表达式为：得到两个不同的y关于x的函数表达式的关系模型，现在，我们需通过一些数值的检验，从而判断哪一个模型比较符合问题一中的具体情况。针对模型一，我们得到：身高 cm实际体重 kg理论体重 kg绝对误差相对误差15251.2549.75490371.4950962980.030049231565351.785438451.2145615510.023453731605453.898840830.1011591660.0018768316455.556.098492750.5984927470.0106686116857.558.38791410.8879140960.0152071617259.2560.770768441.5207684390.0250246717662.2563.250868851.0008688450.015823818065.565.8321840.3321840.0050459218469.2568.518844550.7311554480.0106708718872.2571.315149730.9348502740.01310872平均绝对误差0.881705086针对模型二，得到：身高 cm实际体重 kg理论体重 kg绝对误差相对误差15251.2552.112020120.8620201230.0165421565354.280904381.2809043810.0235981605456.483153082.4831530780.04396316455.558.71844693.2184468960.05481216857.560.986477163.4864771650.05716817259.2563.286945264.0369452580.06378817662.2565.619562053.3695620490.0513518065.567.98404742.4840474020.03653918469.2570.38012971.13012970.01605818872.2570.38012971.86987030.026568平均绝对误差2.422155635可以看到，利用模型一求得的函数表达式能更好的反映身高与体重之间的关系，因为模型一求得的平均绝对误差比模型二的要小，所以，我们选择模型一作为问题一的最优解，即问题一中体重y与身高x之间的函数关系为：。4.2问题二的求解：搜集到的50位同学的信息如下表：性别年龄身高体重女2115745女2115545女2216046女2116249女2115745女2115856.5女2116048女2116648女2016250女2115941女2116145女2015644女2115739女2216045女2115042男2117563男2117360男2117165男2117971男2116148男2117266.5男2116252男2117660男2117065男2116551男2116456男2216959男2116254男2017565男2017158男2017260男2115645男2117570男2016046男2117155男2017258男2118367男2116762男2116768男2016960女2015745女2116250女2116647.5女2116249女2016253女2115847女2116450女2016347女2115650 女20156444.3 问题三模型的建立与求解：为衡量问题一中所求函数表达式是否符合问题二中的统计表中不同年龄、不同性别，在此引入相关的验证公式与方法。引入一：一个近似数与它的准确值的差的绝对值称为绝对误差。绝对误差=。引入二：测量得到的绝对误差与被测量的真实值之间的比值为相对误差。相对误差=/A。这里测量的物理量为个人的体重（单位:kg）。引入三：平均绝对误差 (MAE)：是所有单个观测值与算术平均值的偏差的绝对值的平均。MAE=体重误差表：性别年龄身高实际体重体重拟合值绝对误差相对误差女211574552.31 7.31 0.162354女211554551.27 6.27 0.139338女221604653.90 7.90 0.171715女211624954.99 5.99 0.122199女211574552.31 7.31 0.162354女2115856.552.83 3.67 0.064927女211604853.90 5.90 0.122894女211664857.23 9.23 0.19233女201625054.99 4.99 0.099755女211594153.36 12.36 0.301527女211614554.44 9.44 0.209791女201564451.79 7.79 0.176943女211573952.31 13.31 0.341178女221604553.90 8.90 0.197753女211504248.77 6.77 0.161184男211756362.62 0.38 0.006007男211736061.38 1.38 0.023027男211716560.17 4.83 0.074367男211797165.18 5.82 0.082011男211614854.44 6.44 0.134179男2117266.560.77 5.73 0.086153男211625254.99 2.99 0.057456男211766063.25 3.25 0.054182男211706559.57 5.43 0.083577男211655156.66 5.66 0.111027男211645656.10 0.10 0.00176男221695958.97 0.03 0.000427男211625454.99 0.99 0.018291男201756562.62 2.38 0.036591男201715860.17 2.17 0.037348男201726060.77 0.77 0.012847男211564551.79 6.79 0.150789男211757062.62 7.38 0.105406男201604653.90 7.90 0.171715男211715560.17 5.17 0.09393男201725860.77 2.77 0.047773男211836767.84 0.84 0.012495男211676257.81 4.19 0.067629男211676857.81 10.19 0.149897男201696058.97 1.03 0.017087女201574552.31 7.31 0.162354女211625054.99 4.99 0.099755女2116647.557.23 9.73 0.20488女211624954.99 5.99 0.122199女201625354.99 1.99 0.037504女211584752.83 5.83 0.124077女211645056.10 6.10 0.121971女201634755.54 8.54 0.18171女211565051.79 1.79 0.03571 女201564451.79 7.79 0.176943平均绝对误差MAE5.44 男生的平均绝对误差MAE3.78 女生的平均绝对误差MAE”7.09 （1）由表可知，收集到的50组数据中，总的平均绝对误差MAE为5.44，其中男生为3.78，女生为7.09由。而男生的相对误差为6.54%，女生的为15.57%，而总的相对误差为11.06%。由此可见：性别不同，由模型一中的函数表达式所计算出来的理论测量值与实际的还是有很大的差别的。模型一中所给的数据都是男生的，得到的表达式自然是用在男性身上比较贴合，而用于女生时则产生较大的误差。（2）20岁的男生的体重的平均绝对误差2.84 20岁的女生的体重的平均绝对误差5.63 21岁的男生的体重的平均绝对误差4.31 21岁的女生的体重的平均绝对误差7.17 22岁的男生的体重的平均绝对误差0.03 22岁的女生的体重的平均绝对误差8.40 可知，不同年龄间的绝对误差以及相对误差的差别比较小，故可认为年龄对体重的影响较小。模型的修正意见：综上所述，模型一中的函数并不适合不同性别，但对不同年龄还是适合的，因此我们需要针对不同性别来建立两个不一样的模型，这样更符合实际情况。此外，由于收集到的身高、体重的数据均是在20-22岁间的，但对与其他年龄阶段的人群，模型一是否适合呢？这需要我们对模型作进一步的修改，通过区分不同的年龄段，据此找数据，建立对应的模型。4.4问题四的建立与求解：问题四要求我们对统计数据中的每个人做出评价，现在把50组数据按身高划分区间，以组距为3cm。若体重超过对应身高区间内的体重的平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦。此外，由问题三的解答看，需要按性别分别计算。下面分别按男生女生的身高划分区间：男生的平均体重kg女生的平均体重kg150-15242153-15545156-1584546.17 159-1614745162-1645449.71 165-16757.67 47.75168-17061.33 171-17360.36 174-17664.5177-17971180-18367性别身高实际体重a所在年龄段平均值AVa/AV评价女1574546.170.974659正常女15545451正常女16046451.022222正常女1624949.710.985717正常女1574546.170.974659正常女15856.546.171.223738偏胖女16048451.066667正常女1664847.751.005236正常女1625049.711.005834正常女15941450.911111正常女16145451正常女1564446.170.953正常女1573946.170.844704正常女16045451正常女15042421正常男1756364.50.976744正常男1736060.360.994036正常男1716560.361.076872正常男17971711正常男16148471.021277正常男17266.560.361.101723正常男16252540.962963正常男1766064.50.930233正常男1706561.331.05984正常男1655157.670.884342正常男16456541.037037正常男1695961.330.962009正常男16254541正常男1756564.51.007752正常男1715860.360.960901正常男1726060.360.994036正常男15645451正常男1757064.51.085271正常男16046470.978723正常男1715560.360.911199正常男1725860.360.960901正常男18367671正常男1676257.671.075082正常男1676857.671.179123正常男1696061.330.978314正常女1574546.170.974659正常女1625049.711.005834正常女16647.547.750.994764正常女1624949.710.985717正常女1625349.711.066184正常女1584746.171.017977正常女1645049.711.005834正常女1634749.710.945484正常女1565046.171.082954正常 女1564446.170.953正常4.5问题五的模型建立与求解：评价体重是否标准，国际上普遍运用BMI指数，又称身体质量指数，简称体质指数或体重指数，英文为Body Mass Index，简称BMI），是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准。体重指数（BMI）=(体重y（kg）身高x(m)2。现实中并不是每个人都适用BMI的，如：1. 未满18岁；2. 是运动员；3. 正在做重量训练；4. 怀孕或哺乳中；5. 身体虚弱或久坐不动的老人。但由于人的体重与