高三数学第一轮复习讲义9函数的周期性与对称性.docx

2018届高三第一轮复习讲义【8】-函数的周期性与对称性一、知识梳理1. 函数的周期性周期存在一个常数T()如果对于函数, 如果_, 使得当x取定义域D内的任意值时, 都有_ _成立, 那么函数叫做周期函数, 常数T叫做函数的_. 对于一个周期函数来说, 如果在所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期.2. 函数图像的对称性(1) 轴对称函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是_(或者_).证明: 任取的图像上的一点,则关于直线对称的点为,函数的图像关于直线成轴对称也在图像上,即,由的任意性, .以代替上式中的x, 即有.(2) 中心对称函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是_(或者_).一般地, 函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是_ (或者_).3. 拓展：（1）函数满足时，函数的图像关于直线对称；（2）函数满足时，函数的图像关于点对称；（3）函数的图像与的图像关于直线对称（4），则是以为周期的周期函数；（5），则是以为周期的周期函数；（6），则是以为周期的周期函数；（7），则是以为周期的周期函数；二、基础检测：1. 若函数的图像关于直线对称, 则_.2. 若函数的图像关于直线对称, 则实数_.3. 函数的图像关于答 A. y轴对称B. x轴对称C. 原点对称D. 直线对称4. 若函数定义在R上的偶函数, 又是以2为周期的周期函数, 若在上是减函数, 那么在上的单调性是答 A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增5. 定义在R上的函数的图像关于直线对称,(1) 若是偶函数, 且, 则_;(2) 若是奇函数, 则_.6. 已知定义在R上的函数满足, 若函数恰有四个零点, 则这四个零点的和为_.三、例题精讲：例1：函数的最大值和最小值分别为，则_答案：2；例2：设是定义在上的奇函数，且， 2，则_答案：0；例3：函数对于任意实数满足条件，若则_答案：；例4：已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.答案：；例5:已知函数为定义在上的奇函数，且的图像关于对称，则_。答案：0；例6、定义在R上的偶函数满足，在区间上递减，设，则（ ） （A）（B）（C）（D）答案：B；例7、已知定义在上的函数满足；对时，；的图像关于轴对称，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 答案：B；例8.定义在R上的函数图像关于点对称且满足的值为（ ）A. B. C.0 D.1答案：B；例9：已知函数的值。答案：0；例10：设函数的图像关于对称, 且当时, , 求函数的解析式.【解析】：解法一: 由函数图像是抛物线, 且顶点为,则对称后的顶点为,又因为对称所得的抛物线的开口大小不变,因此可知其解析式为,综上所述, 所求函数的解析式为.解法二: 设点在函数的图像上,则关于直线的对称点为,由也在函数的图像上, 则, 且,又, ,综上所述, 所求函数的解析式为.例11：设定义域为的偶函数满足. 当时, .(1) 求在区间上的解析式;(2) 求在区间上的解析式.例12：定义在上的函数满足: 对于任意, ,(1) 求证: 是周期函数, 并指出它的一个周期;(2) 若当时, , 求在上的解析式;(3) 在(2)的条件下, 若函数在区间上有两个零点, 求实数k的取值范围.例13：设是定义在R上, 以1为周期的函数. 若函数在区间上的值域为, 求在区间上的值域.四、难题突破：例1：设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是 答案：；例2：已知是定义在上的奇函数，当时，则方程的解的个数为_.提示：根据题意+结合点对称定义，推出的点对称中心，再根据对称中心，作出图像；答案：9个；五、课堂练习：1. 设满足, 则与的大小关系是_.2. 定义在R上的奇函数满足, 且时, 则_.3. 定义在R上的函数满足, 则函数的图像关于直线_对称.4. 已知是定义在R上以2为最小正周期的周期函数, 且当时, , 则函数在区间上有_个零点.5. 已知是定义在R上以2为周期的周期函数, 且是偶函数. 若当时, , 则_.6. 对于函数, 给出以下四个命题: (1)当时, 是奇函数; (2)当时, 该函数只有一个零点; (3)函数的图像关于点对称; (4)该函数至多有两个零点; 其中正确的命题的序号是_.7. 定义在R上的偶函数满足: , 且在上是增函数, 下面关于的命题: (1)是周期函数; (2)的图像关于直线对称; (3)在上是增函数; (4)在上是减函数; (5); 其中真命题的序号是_.8. 已知是定义在R上以2为周期的周期函数, 且是偶函数. 当时, .(1) 求在区间上的解析式;(2) 试问方程的实数解有多少个? 请画示意图说明.9. 已知函数的定义域为R, 且对任意, 都有, 求证: 函数是周期函数.10. 定义函数, 则函数在区间内的所有零点的和为_.六、总结回顾：奇偶性、周期性、对称性之间的关系：函数周期对称轴对称中心奇函数4偶函数4四种相似形式：（1）（2）对称轴（3）（4）对称中心七、课后练习：1.设函数是定义在R上周期为3的奇函数，且，则 _2.已知函数是上的偶函数，是上的奇函数，则的值为_3.设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，当时，且在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的零点个数为 4.设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为（ ）A B C D5.若函数y=f(x) (xR)满足：f(x+2)=f(x)，且x1, 1时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x(0, +)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_6.已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称若实数满足不等式，则的取值范围是 7.设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，则函数在上的解析式是 8.设是定义在上的函数，若，且对任意的，满足,则= 9. 已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为 （ ） 10.设为上的奇函数，为上的偶函数，且，则 （只需写出一个满足条件的函数解析式即可）11、已知函数为偶函数，则“ ” 是 “ 2为函数的一个周期 ” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【思考题】：12.设的定义