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文档简介

教 学 内 容 备 注2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数教学内容：一、复习提问： 1、导数的基本公式 2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。二、复合函数的求导法则1、比如求函数的导数。 错误解答： 正确解答：对比一下，答案错误的原因是把当成了自变量。我们先把复合函数进行分解为。1、 求复合函数的导数可分两步：第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。第二步：逐一分步求导。复合函数求导法则: 设函数在点处可导，在点处可导，则复合函数在点处可导，且有 或 证明 设变量有改变量，相应地，变量有改变量，从而有改变量. 由于可导，所以， 即 .现在利用复合函数求导法则求的导数：，（中间变量为,自变量为），即（对求导)(对求导) （回代）如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。推论 设函数，都是可导函数，则复合函数也可导，且 或 注意： 表示复合函数对自变量的导数， 如 =表示复合函数对中间变量的导数 而 =求复合函数的导数时，关键要分清复合函数的复合过程，认清中间变量。例1设函数，求。解：因为是由复合而成的，所以复合函数求导法步骤：第一步(关键步骤)：将复合函数写成或分解为简单函数，辨明各步求导中函数与自变量各是什么？第二步：再逐层分步求导.当然熟练以后可以不必写出中间变量U、V，U和V写在心上。由内到外，层层求导。例2 求函数的导数.解法1 分解成三个简单函数：，. 回代=应用 .应用 解法2 应用 .注: 解法2把中间变量记在心上而没写出来.例3 求函数的导数.解 应用复合函数求导法则练习 求下列函数的导数1 2. 3. 4. 1解： 对于既有四则运算，又有复合运算的初等函数，则利用相应的求导法则.应用运算法则例4 求函数的导数.解 .例5 求函数的导数.解 求导时，若能对函数先化简，可使求导运算简便例6 求函数 的导数 “先化简，再求导”解： 先分母有理化，则然后求导，得 练习 求的导数三反函数求导法则函数的反函数：。一般说的是指，写出来就是，即是函数，是自变量；但是对于如果指的是，写出来就是，即是函数，是自变量。例7 设函数，证明：.证明 因为的反函数在内既单调，又可导，而且.所以由定理得 . 特别地，当时，.例8 证明：，.证明 因为在内严格单调、可导，且，所以其反函数在内严格单调、可导，且有
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