國小學童的小數知識 劉曼麗 .doc

國小學童的小數知識劉曼麗 國立屏東師範學院摘要本研究的主要目的在探討國小學童的小數知識。取樣學生來自高屏地區的三所學校，每校四、五、六年級學生各一班，共9班總計329人；他們是接受數學舊課程的最後一批國小學童。評量工具為自編的筆試試題，包括小數的概念和小數的計算兩部分，作為探討國小學童小數數學知識之依據。資料收集以筆試和訪談為主。資料分析以敘述統計和內容分析法為主。重要研究結果發現學生常犯的錯誤在概念題部分有：1.學生有乘會變大，除會變小的迷思概念。2.學生在小數除法上，會以大的數小的數來解題。3.學生直接將分子與分母當作整數與小數部分或小數與整數部分。4.學生會以小數位數的多寡來判斷小數的大小。在計算題部分有：1.學生以整數加法的經驗類推，而易將數字向右對齊計算。2.學生在求餘數問題中常以四捨五入法求商。3.學生在求有餘數的除法中，會忽略餘數的小數點，或是將餘數的小數點對齊移位後的被除數小數點。關鍵字：國小學童、小數緒言一、研究背景與動機 國小數學教育的目標是幫助兒童獲得有關數學的知識。了解學生的數學知識，近者可在教學上予以協助及改進教學，遠者可為數學課程、教材、教法、評量和師資培育等方面提供基本資料以作參考。因此研究兒童的數學知識是國小數學教育一個非常重要的課題，值得深入探討。當今數學教育強調的是解題及概念學習(NCTM，1991；教育部，民82)。但是從國際數理教育評鑑(IAEP)1992年的報告中發現我們的學生在計算方面極為熟練，但在解題方面，雖然記得了各種類型文字題的解法公式，卻無法推理思考(周筱亭，民84)。這些學童都是接受數學舊課程（以六十四年數學課程標準所設計的課程），如今數學舊課程已進入倒數計時，只剩下最後三年(即現今的四、五、六年級學童仍接受數學舊課程)。面臨數學舊課程即將走入歷史，檢驗這些學生的數學知識，以了解他們的學習成效，更具時代意義；既可對舊課程作一個檢討與改進又可為新課程提供寶貴的意見。小數在數的發展過程中扮演了一個重要的角色，在小學數學課程中自有其相當的份量。但是根據最近十年的一些評量報告或研究結果，發現學生在小數方面表現並不理想(艾如昀，民83；吳昭容，民85；杜建台，民85；周筱亭，民79；陳永峰，民87；劉曼麗，民87；劉曼麗，民88; 簡茂發、劉湘川，民82； Chien, 1998; Graeber & Tirosh 1990; Hiebert & Wearne, 1986; Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Silver, & Swafford, 1988; Resnick, 1989; Wearne & Hiebert, 1986; Wearne & Hiebert, 1988)。關於細部說明，可參見文獻探討部份。由於上述理由，引起研究動機，想以接受國小數學舊課程的最後一批學生（四、五、六年級學童）為研究對象，以小學數學課程中有關的小數內容為研究重點，探討國小學童在這方面的表現請形。（註：此篇論文的研究時間從民國87年8月到民國88年7月）二、研究目的本研究的主要目的在探討國小四、五、六年級學童的小數知識。除了解國小學童在小數問題上的表現外，並試著找出他們的弱點和常犯的錯誤。三、名詞釋義國小學童：八十七學年度中的四、五、六年級學生。數學舊課程：以六十四年數學課程標準所設計的課程。小數知識：小學數學課程中與小數有關的數學知識。文獻探討一、與小數相關之教材內容至目前為止，國小數學課程有兩個版本，國小一、二、三年級學生是接受數學新課程的教學（根據民82年課程標準），而國小四、五、六年級學生是接受數學舊課程的教學（根據民64年課程標準）。茲將兩個版本中有關小數教材的綱要分別陳列於表1 (教育部，民64)和表2 (教育部，民82)：表1 數學舊課程小數教材綱要表年級教 學 領 域數 與 量實 測 與 計 算三年級一位小數的認識小數、小數點十分位大小數線四年級兩位小數、三位小數的認識百分位、千分位大小數線一、二位小數的加減法一、二位小數乘除以一、二位整數五年級數的十進構造認識分數和整數、小數的相互關係乘數、除數是小數的乘除小數乘除混合六年級整數、小數、分數的統整分數、小數的混合計算表2 數學新課程小數教材綱要表年級教 學 領 域數計 算三年級一位小數的認識、化聚、進位與位值一位小數的數線十分位、小數、小數點一位小數的加減四年級二位小數的認識、化聚、進位與位值。二位小數的數線小數與分數（分母為十、一百、一千）的雙向連結百分位二位小數的加減五年級三位小數的認識、化聚、進位與位值千分位三位小數的加減六年級乘數、除數是整數的小數乘除乘數、除數是小數的小數乘除 對照兩者的小數教材綱要，可知並無多大差異，兩種教材的內容都包含一、二、三位小數的認識和小數的加、減、乘、除法。因此小數基本內容主要可分成小數的概念和小數的計算兩大部分。小數的概念包含小數意義、小數位名、小數位值、小數化聚、小數比較大小、小數與分數的關係；小數的計算包含小數的加法、減法、乘法及除法。根據這些基本成份設計評量工具，用以探討國小學童的小數知識。二、與小數相關之研究和評量報告根據一些研究結果或評量報告，發現學生在小數方面表現並不理想。這些文獻進一步指出：學生在讀小數時，會將小數點後的數字精讀（杜建台，民85；劉曼麗，民87）；在序數小數如遇進位時容易出錯，如0.9後就0.10（劉曼麗，民87）；在數線上讀小數或標小數時，會弄錯兩小格之間的單位（杜建台，民85；劉曼麗，民87；Wearne & Hiebert, 1986）；在度量衡單複名數的轉換問題時，易放錯小數點（陳永峰，民87；劉曼麗，民87； Bell, Swan, & Taylor, 1981）；在轉換分數為小數時，會將分母當整數、分子當小數或分子當整數、分母當小數（艾如昀，民83；劉曼麗，民87；劉曼麗，民88; Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Silver, & Swafford, 1988; Hiebert & Wearne, 1983）；在比較小數大小時，有的認為小數點後的數字越多其值越大，但也有的認為其值越小（艾如昀，民83；吳昭容，民85；杜建台，民85；陳永峰，民87；劉曼麗，民87；劉曼麗，民88；簡茂發、劉湘川，民82；Wearne & Hiebert, 1986；Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled；1989）；在加減小數時，有的未對齊小數點或其結果未標示小數點（艾如昀，民83；陳永峰，民87；劉曼麗，民87；劉曼麗，民88; 簡茂發、劉湘川，民82; Hiebert & Wearne, 1986）；在乘除小數時，會放錯積數的小數點或餘數的小數點（艾如昀，民83；陳永峰，民87；簡茂發、劉湘川，民82; Hart, Kerslake, Brown, Ruddock, Kuchemann, & McCartney, 1981）。此外，更有些學生有乘法使結果變大和除法使結果變小的錯誤想法（林原宏，民83；陳永峰，民87；Fischbein, Deri, & Marino, 1985）；也有不少的學生缺乏小數稠密性概念（劉曼麗，民87；Hart, et al., 1981）。事實上，上述所涉及的小數知識皆為國小小數教學重點。這些發現顯示出學生在小數方面似乎學得不好。因此引起筆者進一步探究的興趣：到底學生學習小數的困難在哪裡呢？再者，在這些評量報告或研究結果中，有的是僅將小數列入一小部分，有的是只針對小數中某一重點探討；尚無針對以國小小數內容做全面性探討。所以本研究欲以小數內容為研究重點，盡可能將範圍擴大到小學數學課程所涵蓋的小數教材，全面性的探究國小學童在這部分的表現，同時，找出國小學童的弱點並了解他們所可能遭遇到的困難。以期為國小教師提供寶貴意見，作為日後改善及加強國小學童的小數知識之參考依據。研究方法一、研究樣本研究對象是國小四、五、六年級的學生，他們是接受數學舊課程的最後一批學生。基於地利之便，取樣以高屏地區的國小學生為主，為考慮人力、時間及行政配合，只選3所學校，每校四、五、六年級各一班，共9班總計329人。人數分配如表3(V、C為高雄縣的學校，F為屏東縣的學校)。表3 研究樣本人數分配表年級學校人數 總人數四V36112C38F38五V39115C38F38六V37102C38F27合計：329人二、評量工具本研究所採用的評量工具為自編的試卷。小數教材始於第六冊末，因此除了參考文獻的重要結果以外，試卷主要是依據小學三、四、五、六年級的數學課本、習作及教師手冊綜合編製而成。試卷設計首先是根據小數課程擬出小數的教學重點小數的意義、小數的讀寫、小數的化聚、小數的位名、小數的位值、小數的比較、小數的稠密性、小數與分數的關係、度量衡單位換算、小數的加法、小數的減法、小數的乘法、小數的除法，再針對每一個教學重點，設計一系列的相關題目，然後盡量挑選出能同時適合三個年級的題目，編製成試卷初稿。試卷初稿先請數位四、五、六年級學生試作看看，再加以修正。由於小數的乘除計算於五年級下學期才全部教授完畢，為考慮四年級學生在下學期時只學習到小數與整數的乘除計算，所以將試卷初稿修改成A、B兩卷，並請國小教師和師院教授指正後改進。A卷的適用對象是四年級學生，B卷的適用對象是五、六年級學生。此兩卷的題目，除了乘法與除法的計算僅數字略有不同外，其餘部分完全一樣。以五年級(剛升上五年級)三班學生，共93人試做A卷，六年級(剛升上六年級)二班學生，共71人試做B卷。預試後，再訪談數位學生，以了解學生作答的想法及可能遇到的問題，最後再修正與定稿(見附錄)。試卷內容可分成小數的概念與小數的計算兩部分，共有四大題，計21小題。小數的概念包括第一大題(1-11-8)、第二大題(2-12-4)、和第三大題(3-13-4)，計16小題。小數的計算包括第四大題(4-14-5)，計5小題。若從試題題型分類來看，第一大題是選擇題、第二大題是勾選題（將對的都勾選出來）、第三大題是比較題（比大小）、第四大題是計算題。試卷與相關的小數教材內容之分配詳見表4（表中4-3與4-4後的括號即是特別用來指出此題是屬於 A卷或B卷的）。表4 小數教材內容與試卷內容雙向細目表年級單元名稱主要教材內容試卷相關內容的題號三v6u9小數(一位小數)分數引進小數讀寫0.1為小單位計數數線標記位名比較大小複名數單名數1-41-11-1四v7u7小數(二、三位小數)分數引進小數讀寫0.1、0.01、0.001為小單位計數數線標記位名比較大小複名數單名數1-3, 2-3, 2-41-1, 1-5, 2-1, 2-21-11-2, 1-51-7, 1-8v7u10小數的加減(二、三位小數的加減)同位數加減不同位數加減整數與小數的加減1-2, 1-5, 2-1, 4-1, 4-24-1v8u1小數的乘法小數整數3-1, 4-3(A)v8u5小數的除法小數整數餘數的小數點之處理1-6, 3-2, 4-4(A)4-4(A)五v10u1小數的乘法整數小數小數小數比較大小2-23-1, 3-3, 4-3(B)3-1, 3-3年級單元名稱主要教材內容試卷相關內容的題號五v10u3小數的除法小數整數整數小數小數小數小數點的移動(商與餘數的差異)比較大小餘數的小數點之處理1-6, 3-2, 3-4, 4-4(B)4-4(B)3-2, 3-44-4(B)六v11u8整數、小數與分數數線上分數和小數的同時標記小數間的小數小數化為分數分數化為小數分數與小數間的加減1-3, 1-4, 2-41-3, 1-4, 2-4註：v代表冊，u代表單元。三、評量工具的信度與效度本研究之筆試試卷的庫李信度為0.8085，折半信度為0.7312(斯布校正信度為0.8448)。至於效度方面，本研究是根據現行課程所使用的課本、習作及教學指引的內容設計試題，經過預試及預試訪談，再與國小教師討論，並請師院教授修正指導，發展成為正式筆試試卷。因此，本研究工具應有不錯的內容效度。四、資料蒐集與分析資料的收集是來自於筆試與訪談。各年級筆試施測時間定於八十七學年度下學期，為配合學生單元學習的進度，所以各年級的施測日期並不相同，其施測日期如下：六年級學生小數課程在六上就已授完，統一於六下開學後第三週施測(3/83/14)。五年級學生五年級小數課程於第一次月考前一、二週授完，統一於第一次月考後的第一週施測(4/124/17)。(因考慮月考前，施測班級導師會讓學生加強練習考試範圍的內容)四年級學生四年級小數課程於第一次月考後一、二週授完，統一於第一次月考後的第三週施測(4/265/1)。三個年級的筆試時間皆為40分鐘。 訪談內容是針對筆試試卷全部題目，讓學生逐題說明選答的原因，以便能深入了解學生在做每一題時答對的想法或答錯的可能原因。為了能捕捉學生選答試卷當時的想法，訪談須於當天立即進行(以不妨礙學生上課為原則)。為使訪談對象能包括不同程度，但筆試結果又無法於當天統計出來，只好請施測班級的導師推薦該班數學程度高、中、低學生各一名，三個年級各三個班級，共計27人，作為訪談對象。訪談的時間約為30分鐘。訪談進行中，除了研究者隨手記錄外，並採全程錄音。資料的分析是質量並用。筆試結束後，將筆試結果的原始資料經由個人電腦建檔，利用統計軟體(SPSS5.01/PC)，將學生的答題結果進行描述性統計分析。此外，各年級在各題選項的選答情形，也是本研究所欲探討的重點。訪談結束後，將訪談內容轉錄成書面資料，並配合筆試施測結果，進行內容分析，以了解學生答對的想法或答錯的可能原因。基於篇幅限制，本文探討的焦點大多只針對學生表現不好的部分和常犯的錯誤，而關於細部結果將以另文發表。結果與討論一、全體樣本和各年級的整體表現全體樣本和各年級的學生在筆試試題答對題數統計結果整理於表5：表5 學生在筆試上的平均答對題數和標準差 年級試題類別(題數)四年級五年級六年級全體N=112N=115N=102N=329概念 (16)（標準差）6.95（43.4%）(2.16)10.00（62.5%）(3.95)11.55（72.2%）(3.38)9.44（59%）(3.60)計算 (5)（標準差）3.28（65.6%）(1.36)3.37（67.4%）(1.62)3.30（66%）(1.15)3.32（66.4%）(1.40)總題數(21)（標準差）10.22（48.7%）(2.84)13.37（63.7%）(4.69)14.85（70.7%）(4.11)12.76（60.8%）(4.39) 由表5知，全體的平均答對題數為12.76，大約六成，表現並不理想。從3個年級的表現來看，平均答對題數以六年級稍好於五年級，四年級的表現最差。標準差以四年級最小，而五年級最大。在概念題部分，全體的平均答對題數為9.44，將近六成，表現並不好。平均答對題數以六年級的表現最好，四年級的表現最差。標準差以四年級最小，而五年級最大。在計算題部分，全體的平均答對題數為3.32，約六成多，表現也不好。平均答對題數以五年級的表現稍好於四年級和六年級，但標準差以六年級學生的差異稍小於四年級和五年級。二、各年級在四大題的表現 (一) 第一大題的結果與討論 第一大題是選擇題，共有8小題(1-11-8)，學生在每一小題的答對結果如圖1：圖1 各年級在第一大題答對率之折線圖由圖1知，各題的答對率皆隨年級遞增。在題1-2和1-6中，各年級的表現都很差；在題1-3中，四年級的表現遠低於五、六年級；在題1-4中，四、五年級的表現也遠低於六年級。以下就針對這4題的結果，並輔以訪談資料加以分別討論（註：訪談內容中R代表研究者，S代表受訪者，所舉的例證編碼第一碼數字為學校代號，第二碼數字為年級代號，第三、四碼有01、02、03等三種編號分別代表高、中、低程度學生，例如：V601代表V校六年級高程度受訪學生）。題1-2是從已給的幾個數中找和0.12最接近的數，全體答對率只有四成，即使六年級也不過五成多。由訪談得知，學生選錯的原因是因為學生減法計算錯誤，另有些學生則是依小數位數來判斷或從最前面的數字開始比較，而且認為最小的就是最接近。舉例如下：V401(減錯)R：哪一個數和0.12最接近？S：這0.2跟0.12，12210呀！那這個0.12跟0.1是121就是0.11，所以這個（0.2）比較接近。R：那會不會是第三個（0.117）？S：應該有可能，不過我覺得這個（0.2）好像比較接近。F402(依小數位數決定)R：為什麼是0.1，你怎麼判斷的？S：因為它比較小。R：那0.117有比0.12大嗎？S：嗯。R：為什麼？S：它有三位。R：那這個（0.12）有幾位？S：兩位。R：那0.2可不可以選？S：不可以。R：為什麼？S：因為0.2比0.1大。F503（從最前面比起）S：0.127。R：你認為0.127最接近，是為什麼？S：因為前面的0.12和跟它前面的0.12一樣。 從上面訪談的有限資料中，雖然無法細究下去，但至少可給出一個外貌。學生選錯的主要原因可能是因為分不清最接近意義與大小關係，其中還牽涉位值和減法概念。題1-3是將小數9.7化成分數，五、六年級的表現不錯，皆達七成以上，但四年級卻只有四成多。四年級學生選錯的原因有的是根據分母大小來判斷，有的是不知道或亂猜。舉例如下：F402(根據分母大小來判斷)R：你為什麼是選1？S：因為它們下面（指分母），就只有它很小。R：哪個很小？S：（指分母）。V402(不知道或猜測)S：9.7跟這個（）。R：為什麼？S：因為.不知道。 題1-4是將分數化為小數，答對率也只有四成，表現很差，其中六年級高達八成，五年級只有三成，四年級不到一成，可見各年級的差異相當懸殊。錯誤的原因是四、五年級學生有的利用分母除以分子來作答；有的是將分子當作整數部分、將分母當作小數部分，或是將分母當作整數部分、分子當作小數部分，類似的發現亦出現在艾如昀（民83）、劉曼麗（民87，民88）、Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Silver, 和 Swafford（1988）、Hiebert 和Wearne（1983）等研究中。舉例如下：V501(分母除以分子)R：化成小數是多少？S：第個。R：為什麼？S：因為是52。R：要怎樣算？S：（計算522.5）V403(將分母當作整數和分子當作小數)S：因為下面是分母上面是分子。R：嗯，為什麼是5.2呢？S：分母應該是個位，分子應該是小數。V401(將分子當作整數和分母當作小數)R：化成小數是多少？S：這個也應該算是用猜的（）。R：你怎麼猜的？S：2.5（指分子2，點，再指分母5）。題1-3和1-4是關於分數與小數之間的轉換問題。分數與小數的關係在三年級教材是由分母為10的分數引進一位小數，在四年級是由分母為100、1000的分數分別引進二、三位小數，再來是在六年級分數化為小數的教學中引出使用除法將分數化為小數。所以在題1-4中六年級大都使用除法來解題，但四、五年級卻鮮少有學生會將分母化為10、100或1000（通分即可）來與小數直接連結，甚或四、五年級有些學生認為將分母與分子間加小數點就可換成小數，即使在題1-3中各選項的分母皆以10或100的型式出現，學生的答對率仍不高。可見學生對小數的意義、分數的意義、和分數與小數的關係，基本了解就不夠清楚。 題1-6是小數小數的文字題，全體答對率不到三成，表現很差。五、六年級答對率僅有三、四成，四年級答對率僅一成多。答錯的原因是大多數學生採取乘法，或用大的數小的數來解題，類似的結果亦出現在林原宏（民83）、陳永峰（民87）、Fischbein, Deri和Marino（1985）等研究中。舉例如下：F603(以乘法解題)R：可是我們問1公尺的鋼管有多少公斤？S：我會用乘的。R：為什麼？S：因為覺得重量乘以長度。V402(以乘法解題)S：因為我是把這個（6.25）乘以這個（1.25）然後算出它幾公斤。R：那可不可以是這個（1.25）乘以這個（6.25）？S：可以呀。C403(大的數小的數)R：這一題你會判斷乘還是除？S：除。R：誰除以誰？S：6.251.25。R：為什麼？S：因為，因為這個假如乘兩位，才可以求一公尺的，它這邊乘起來會比較多，它這邊除起來會比較少一點。R：除起來會比較少一點，為什麼不要選？1.256.25S：答案會很奇怪。R：還是你覺得大的除以小的？S：是。事實上，全體學生以大的數小的數來解題的最多，近五成，其中四年級過半數而五、六年級也都四成多；而選用乘法策略的學生也不在少數。可見絕大部分學生的想法都出了問題。選錯前者的學生只知道本題要用除法，不清楚被除數與除數的意義，直覺會選大的數小的數的選項。而選錯後者的學生想法是以乘法解題，與答案需用除法解題截然相反。從本題的學生反應中，顯示出學生對於小數乘除法意義的理解有待加強。 (二）第二大題的結果與討論 第二大題是勾選題，共有4小題(2-12-4)，學生在每一小題的答對結果如圖2： 圖2 各年級在第二大題答對率之折線圖由圖2知，各題的答對率皆隨年級遞增。在題2-2和2-4中，各年級的答對率相當接近；而在題2-1和2-3中，四年級的表現遠差於五、六年級。以下針對這2小題的結果，並輔以訪談資料加以討論。 第二大題是要求學生勾選哪一個小題可以表示成0.305。在題2-1（3個0.1和5個0.01）中，五、六年級的答對率都在六成以上，但四年級只有四成多。進一步從訪談資料發現，四年級中、高程度學生全部答錯，情形蠻嚴重的。訪談結果顯示答錯的原因是有的學生可能因為位值概念不清而影響加法計算或誤認0.305中的5是5個0.01。舉例如下：C502(加錯)R：怎麼去判斷0.305？S： 3個0.1和5個0.01，這個3個0.1就是0.3，5個0.01就是0.05，加起來就0.305。C401(加錯)R：怎麼去判斷0.305？S：加起來？R：你加給我看好不好？S：（寫0.30.050.305）V402(以為0.305中的5是5個0.01)R：你為什麼選3個0.1和5個0.01呢？S：因為這個（0.305的3）有3個0.1，這個（0.305的5）有5個0.01。 在題2-3（3051000）中，五、六年級的答對率都在七成以上，但四年級卻不到四成。從訪談得知，有的學生因為除錯、題目中沒有小數點或根本不知如何除。舉例如下：V503（除錯）R：那3051000會不會是0.305？S：。R：你可不可以除給我看？S：嗯（用直式計算1000305=320）。F402(題目中沒有小數點)R：那這個（3051000）可不可以選？S：不能。R：為什麼？S：它沒有小數點。V403(不會除)R：那3051000會不會是0.305？S：不會。R：為什麼？S：。R：你會不會除？S：不會。從教材內容來看，四年級學生尚未學習除法與分數的關係，但已學過整數除以整數結果是小數的課程內容，整數雖只到兩位，應該可以類推到三位，五年級更不用說，但結果顯示似乎有些學生不見的會用小數除法處理此類問題。 (三)第三大題的結果與討論 第三大題是比較題，共有4小題(3-13-4)，學生在每一小題的答對結果如圖3： 圖3 各年級在第三大題答對率之折線圖由圖3知，五、六年級在比較題各小題的答對率都不錯，且五年級在題3-1、3-3和3-4的答對率皆稍高於六年級。四年級在題3-1和3-2中的答對率雖不錯，但在題3-3和3-4的答對率卻降落很多。題3-3是小數乘法後的比大小，五、六年級答對率皆超過七成，表現不錯，但四年級答對情形卻不到半成，表現非常差。由訪談得知，學生因利用相乘後的小數位數而選錯，類似的結果曾出現在艾如昀（民83）、吳昭容（民85）、杜建台（民85）、陳永峰（民87）、劉曼麗（民87，民88）、簡茂發和劉湘川（民82）、Wearne 和 Hiebert （1986）、Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, 和 Peled（1989）等研究中。也有些學生認為只要是乘就會變大，類似的結果亦出現在林原宏（民83）、陳永峰（民87）、Fischbein, Deri和Marino（1985）等研究中。茲分別舉例如下：F602(以小數位數判斷)R：那0.8350.980.835呢？S：因為0.8350.98有五位小數，而0.835有三位小數，所以0.835會比較大。V503(乘就會變大)R：0.8350.98和0.835哪一個比較大？S：0.8350.98。R：為什麼這個比較大？S：因為這兩個一樣（0.835），它（0.8350.98）後面還有剩下這一個（0.98）。C401(乘就會變大)R：0.8350.98比較大，還是0.835比較大呢？S：0.8350.98。R：為什麼？S：用乘的就比較大。F402(乘就會變大)R：為什麼這邊（0.8350.980.835）會大？S：因為0.835還有乘以0.98，所以它會大。 題3-4是小數除法後的比大小，五、六年級答對率都有七成多，但四年級只有一成多。答錯的學生大都認為只要是除就會變小，類似的結果亦出現在林原宏（民83）、陳永峰（民87）、Fischbein, Deri, 和Marino（1985）等研究中。舉例如下：F603(除就會變小)R：這一題呢，0.8350.98 為什麼會小於0.835？S：因為它兩個相除（0.8350.98），所以越除越小。V503(除就會變小)R：那這個除的（0.8350.98）和0.835呢？S：除法除下去會減少，這個（0.835）大，因為除法除下去會變少，沒有比這個大。C402(除就會變小)R：這一題呢，(0.8350.98) 和 0.835誰比較大？S：0.835，除起來答案會變有些小。V401(除就會變小)R：那這個除呢？S：0.8350.980.835。R：為什麼是這樣呢？S：因為老師有說過除法會越除越小。第三大題是乘除後比大小的題目，四年級學生不論乘數或除數的大小，皆以乘會變大，除會變小來作判斷；而五、六年級學生則能根據乘數或除數的大小作判斷。因為四年級課程尚未出現有關乘數或除數是小數的情形，所以才出現前兩題（3-1、3-2）與後兩題（3-3、3-4）表現如此懸殊的情形。此外，可能由於五年級剛學過此概念（第十冊第一、三單元），所以表現又比六年級稍微好些。 (四)第四大題的結果與討論 第四大題是計算題，共有5小題(4-14-5)，學生在每一小題的答對結果如圖4： 圖4 各年級在第四大題答對率之折線圖由圖4知，在題4-2、4-3和4-4中，各年級的答對率較一致；在題4-1中，四年級的表現遠差於五、六年級；在題4-5中，六年級表現最差。以下針對這2題的結果，並輔以訪談資料加以討論。題4-1是小數的加法，五、六年級答對率高達七、八成以上，但四年級答對率卻僅有四成多。學生犯錯的答案以0.38為最多，主要原因是學生將計算的數字向右對齊，類似的結果亦出現在艾如昀（民83）、陳永峰（民87）、劉曼麗（民87，民88）、簡茂發和劉湘川（民82）、Hiebert 和 Wearne（1986）等研究中。舉例如下：F503(向右對齊)R：請計算這題（0.3782）。S：（學生寫成 0.378 ） 2 0.380R：你為什麼把2放在8底下呢？S：它只有一個位數只好放在這邊。F403(向右對齊)R：請計算這題（0.3782）。S：（學生寫成 0.378 ） 2 0.380R：你為什麼把2放在8底下呢？S：它說加2。R：可是2是什麼數？S：不知道。題4-5是求餘數，全體答對率不到四成。六年級表現最差，只有一成多，而五年級還有四成多，四年級則剛過一半（注意四年級與五、六年級題目稍有不同，四年級的除數是整數而五、六年級的則為小數）。從答錯學生的答案中發現（留在筆試試卷上的做法和訪談資料），答錯的學生有的因為商數算錯所以餘數就跟著算錯，有的是餘數沒有點上小數點、有的是先將商數求到小數第三位後再取餘數(以為商要四捨五入到小數第二位)、也有的是將餘數的小數點對齊移位後的被除數小數點，這些結果亦出現在艾如昀（民83）、陳永峰（民87）、簡茂發和劉湘川（民82）、Hart, Kerslake, Brown, Ruddock, Kuchemann, 和 McCartney（1981）等研究中。上述情形茲分別舉例如下：C602(餘數沒有點上小數點)R：最後一題除法？S：它說要求到小數第二位，如果這裡(除數)有小數點一位的話，就可以化掉，這裡(被除數)就變成整數了，就一直這樣算，算到第二位，算出來的數字就是餘數。R：那你的餘數是18？S：對。V602(商數求到小數第三位後再取餘數)S：（在紙上寫出61.32.6的過程）R：為什麼你要把商多算一位(商算到23.576)？S：因為題目說要算到小數第二位，可是老師說要多算一位才能四捨五入。F602(將餘數的小數點對齊移位後的被除數小數點)R：61.32.6你是怎麼算的？S：小數點劃掉之後被除數補一個0。R：你餘數的小數點是對誰的？S：對被除數的小數點。(指移位後的被除數小數點)F402(計算錯誤)R：做這題（61.326） 2.12 S：（學生寫成 26）61.3 52 3 3 2 6 70 58 0.12R：你這邊（指商的）的小數點是怎麼來的？S：被除數的。R：這邊（指餘數的）的小數點怎麼來的？S：從上面對下來。 小數的除法教學於五年級下學期第三單元導入，對五年級而言，是剛教完的教材，印象可能較六年級鮮明，所以表現上比六年級好。但是六年級學生在小數除法商的計算上並不差於五年級，大多忘記的是餘數小數點的處理，所以在小數除法求餘數部分實有加強的必要。結論與建議一、結論 (一)小數的概念 四年級在此部分只有單位小數的合成與帶小數乘除後的比較大小表現較好，其餘的結果皆不理想；可見小數概念對四年級學生而言，並不是很容易建立清楚的。五年級在單位小數的合成、一位小數與分數的關係、小數乘除後的比較大小等表現上都不錯。尤其是五年級在純小數的乘除上，乘會變大，除會變小的錯誤想法已改善很多，而能根據乘數或除數與1的關係來判斷大小。六年級在小數的化聚、小數的意義、和小數與分數的互相轉換上表現不錯；在小數乘除後的比較大小上，表現也還算不錯但比五年級稍差。 整體而言，學生在概念題部分，常犯的主要錯誤有下列4點：1.學生有乘會變大，除會變小的迷思概念。此結果可應證過去的一些研究如林原宏（民83）、陳永峰（民87）、Fischbein, Deri, 和 Marino（1985）等研究發現。2.學生在小數除法上，會以大的數小的數來解題。同樣地，此結果也可在上述的研究中發現。3.學生直接將分子與分母當作整數與小數部分或小數與整數部分。此結果和過去的一些研究如艾如昀（民83）、劉曼麗（民87，民88）、Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Silver, 和 Swafford（1988）、Hiebert 和Wearne（1983）等結果一致。4.學生會以小數位數的多寡來判斷小數的大小。此結果也和過去的一些研究如艾如昀（民83）、吳昭容（民85）、杜建台（民85）、陳永峰（民87）、劉曼麗（民87，民88）、簡茂發、劉湘川（民82）、Wearne和 Hiebert（1986）、Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, 和 Peled（1989）等結果一致。 (二)小數的計算 四年級在此部分以減法和乘法的表現較佳，在除法的計算上，求餘數較求商數差，在純小數加整數的加法上，常因向右對齊而作錯，表現最差。五年級在小數計算中加法、減法和乘法的表現皆不錯，尤其在純小數加整數的問題中已較四年級進步很多，但在除法的計算上，餘數的處理較有問題。六年級在小數的加法、減法和乘法中表現都很好，但在除法的計算上，餘數的小數點仍是一大困難，反而比五年級表現還差。 整體而言，學生在計算題部分，常犯的主要錯誤有下列3點：1.學生以整數加法的經驗類推，而易將數字向右對齊計算。此結果可呼應過去的一些研究如艾如昀（民83）、陳永峰（民87）、劉曼麗（民87，民88）、簡茂發和劉湘川（民82）、Hiebert 和 Wearne（1986）等研究發現。2.學生在求餘數問題中常以四捨五入法求商。此結果很有可能是來自於學生的慣性作用，因為數學舊課程四年級小數教材中常要求學生以四捨五入法求商，因此學生在求餘數問題中並未警覺到此處並不需要用到四捨五入法。3.學生在求有餘數的除法中，會忽略餘數的小數點，或是將餘數的小數點對齊移位後的被除數小數點。類似的研究結果也出現在過去的一些研究中如艾如昀（民83）、陳永峰（民87）、簡茂發和劉湘川（民82）等。二、建議本研究是經由國小學童在筆試上的答題結果與其中一部分學童進一步經過訪談所透露出的一些訊息，為大家描述了國小學童學習小數後的一些現象。整體上感覺，四至六年級學童在小數的表現上並不理想，他們所獲得的小數知識似乎都偏向程序性的了解或以記憶性的居多。此外，本研究結果也顯示了大多數學童表現不好的部分和常犯的錯誤。針對這些重要發現，對未來小數的教學提出以下建議：1.加強學生了解小數與整數的異同。2.加強學生了解分數與小數間的關係，尤其是雙向連結。3.加強學童了解位值概念（以免學童在遇到不同位數或整數加減純小數時，會以整數的經驗類推，以位數多寡判斷小數大小或將數字向右對齊後相加減）。4.加強學童了解小數乘除法的意義（以免學童容易產生乘會變大，除會變小的迷思概念或小數除法中求餘數的錯誤）。接著，上述建議又為我們引出了另一個問題，應如何加強呢？基本上，就教材言，應回歸到源頭，從小數的意義和小數的多單位記數系統兩方面著手（其中還涉及先備知識如整數和分數），首重概念的了解和概念間的連結，強調運算的意義和理由，使學童學到的不只是知其然還要知其所以然，並有能力將相關的知識連接起來（如單位小數、位名、位值、位數之間的關係），不再個個獨立；就教法言，教學宜採用多樣性，如多引用具體表徵和引入情境表徵使學童對小數的學習容易產生感覺和了解意義，另一方面培養學童能夠自己判斷答案的合理性，如讓學童估算答案和比較餘數與除數的大小等以察覺自己的錯誤，或以提問的方式引導學童產生認知衝突進而能察覺自己的錯誤。如想尋找更具體的答案，本研究所引發的這個問題，可作為後續研究的主題。最後，回顧本研究，發現訪談上的資料不夠細緻和證據不夠充分，對學童的想法無法做深度的探索，因此未來研究可採用三角校正或持續比較朝此方向繼續探底。參考文獻艾如昀(民83)。國小學生處理小數的歷程與困難。未出版碩士論文，國立中正大學。吳昭容(民85)。先前知識對國小學童小數概念學習之影響。未出版博士論文，國立台灣大學，台北。杜建台(民85)。國小中高年級學童小數概念理解之研究。未出版碩士論文，國立台中師範學院，台中。周筱亭（民79）。電子計算器對於國民小學小數運算學習之影響（I）。台北縣：台灣省國民學校教師研習會。林原宏（民83）。國小高年級學生解決乘除文字題之研究以列式策略與試題分析為探討基礎。未出版碩士論文，國立台中師範學院，台中。陳永峰(民87)。國小六年級學童小數知識之研究。未出版碩士論文，國立屏東師範學院，屏東。教育部(民64)。國民小學課程標準。台北市：正中。教育部(民82)。國民小學課程標準。台北市：台捷。劉曼麗(民87)。國小數學教學實踐課程開發研究 小數認識及加減部分。八十七年度數學教育專題研究計畫成果討論會摘要，國科會科學教育發展處。(NSC 87-2511-S-153-011)。劉曼麗(民88)。從教學札記看小數的教與學。論文發表於88學年度師範學院教育學術研討會。國立台北師範學院。簡茂發、劉湘川（民82）。八十一學年度國民教育階段學生基本學習成就評量國小組試題編製及抽測結果報告。國立台中師範學院，台中。Chien, C. (1998). Sixth Grade Students Knowledge Structure of Decimals in Taiwan. Unpublished doctor dissertation, University of Georgia. Graeber, A. O. & Tirosh, D.(1990). Insights fourth and fifth graders bring to multiplication and division with decimals. Educational Studies in Mathematics, 21, 565-588.Hiebert, J. & Wearne, D.(1986): Procedures over concepts: The acquisition of decimal number knowledge. In J. Hiebert(Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics. (pp.199-222). Hillsdale, NJ:Lawrence Erlbaum Associates.Graeber,A. O. & Tirosh, D.(1990). Insights fourth and fifth graders bring to multiplication and division with decimals. Educational Studies in Mathematics, 21, 565-588.Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I. (1989). Conceptual base of arithmetic error: The case of decimal. Journal for Research in Mathematics Education. 20(1), 8-27.Wearne, D. & Hiebert, J. (1986). Learning decimal numbers: A study of knowledge acquisition. (ERIC Document Reproduction Service No. Ed 26