平面几何探究试题.doc

几何探究试题1.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；解答：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E点O是ABC的重心，CE是中线，点E是AB的中点DE是中位线，DEAC，且DE=ACDEAC，AOCDOE，=2，AD=AO+OD，（2）答：点O是ABC的重心证明：如答图2，作ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为ABC的重心由（1）可知，=，而，点Q与点O重合（是同一个点），点O是ABC的重心2.（自贡市）将两块全等的三角板如图摆放，其中，（1）将图中的顺时针旋转45得图，点是与的交点，点Q是与BC的交点，求证：；（2）在图中，若，则等于多少？（3）如图，在上取一点E，连接、，设，当时，求面积的最大值（1）证明：， (1)又， （ASA）(2) (3)（2）作于， ，(4) (5) (6)又，(7)（3）解：， (8)由旋转的性质可知 (9) 设 (10)在中， (11)时 (12)3.（2013衢州）【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由（1）证明：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（2）解：结论ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（3）解：ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN，底角BAC=MAN，ABCAMN，=，又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN4.（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AEBF，QE与QF的数量关系式QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ，在BFQ和AEQ中BFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案为：AEBF，QE=QF（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，AEBF，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，AEBF，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，FQ是斜边DE上的中线，QE=QF点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等5.（潍坊市）如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为.（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；（2）如图2，为的中点，且090，求证：；（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.答案：(1) DC/EF,DCD=CDE=CDE=. sin=,=30(2) G为BC中点，GC=CE=CE=1，DCG=DCG+DCD=90+, DCE=DCE+DCD=90+,DCG=DCE又CD=CD, GCDECD, GD=ED(3) 能. =135或=315考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力6.（黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E，过点B作BFMN于点F（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明分析：（1）过点B作BGOE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBG，然后利用“角角边”证明AOE和OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AFEF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BGOE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE=OBG，然后利用“角角边”证明AOE和OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AFEF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证解答：（1）证明：如图，过点B作BGOE于G，则四边形BGEF是矩形，EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，BGOE，OBG+BOE=90，又AOE+BOE=90，AOE=OBG，在AOE和OBG中，AOEOBG（AAS），OG=AE，OE=BG，AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OEGE=OEBF，AFOE=OEBF，AF+BF=2OE；（2）图2结论：AFBF=2OE，图3结论：AFBF=2OE对图2证明：过点B作BGOE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，BGOE，OBG+BOE=90，又AOE+BOE=90，AOE=OBG，在AOE和OBG中，AOEOBG（AAS），OG=AE，OE=BG，AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，AFOE=OE+BF，AFBF=2OE；若选图3，其证明方法同上点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点7.（绥化）已知，在ABC中，BAC=90，ABC=45，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC求OC的长度证明：（1）BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90DAC，CAF=90DAC，BAD=CAF，则在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），BD=CF，BD+CD=BC，CF+CD=BC；（2）CFCD=BC；（3）CDCF=BCBAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90BAF，CAF=90BAF，BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），ACF=ABD，ABC=45，ABD=135，ACF=ABD=135，FCD=90，FCD是直角三角形正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点ODF=AD=4，O为DF中点OC=DF=2点评：本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键8.（2013本溪）在ABC中，ACB=90，A45，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M（1）如图1，当A=30时，求证：MC2=AM2+BC2；（2）如图2，当A30时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答： （填“成立”或“不成立”）分析：（1）过A作AFAC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；（2）过A作AFAC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；（3）结论依然成立解答：（1）证明：如图1，过A作AFAC交CO延长线于F，连接MF，ACB=90，BCAF，BOCAOF，=，O为AB中点，OA=OB，AF=BC，CO=OF，MOC=90，OM是CF的垂直平分线，CM=MF，在RtAMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（2）解：还成立，理由是：如图2，过A作AFAC交CO延长线于F，连接MF，ACB=90，BCAF，BOCAOF，=，OA=OB，AF=BC，CO=OF，MOC=90，OM是CF的垂直平分线，CM=MF，在RtAMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（3）成立点评：本题考查了直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似（2013临沂）如图，矩形ABCD中，ACB=30，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F（1）当PEAB，PFBC时，如图1，则的值为；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转（060）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当6090，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论分析：（1）证明APEPCF，得PE=CF；在RtPCF中，解直角三角形求得的值；（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明PMEPNF，并利用（1）的结论，求得的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明APMPCN，求得的值；然后证明PMEPNF，从而由求得的值与（1）（2）问相比较，的值发生了变化解：（1）矩形ABCD，ABBC，PA=PC；PEAB，BCAB，PEBC，APE=PCF；PFBC，ABBC，PFAB，PAE=CPF在APE与PCF中，APEPCF（ASA），PE=CF在RtPCF中，=tan30=，=（2）如答图1，过点P作PMAB于点M，PNBC于点N，则PMPNPMPN，PEPF，EPM=FPN，又PME=PNF=90，PMEPNF，由（1）知，=，=（3）答：变化证明：如答图2，过点P作PMAB于点M，PNBC于点N，则PMPN，PMBC，PNABPMBC，PNAB，APM=PCN，PAM=CPN，APMPCN，得CN=2PM在RtPCN中，=tan30=，=PMPN，PEPF，EPM=FPN，又PME=PNF=90，PMEPNF，=的值发生变化9.（2013包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F（1）如图，当时，求的值；（2）如图当DE平分CDB时，求证：AF=OA；（3）如图，当点E是BC的中点时，过点F作FGBC于点G，求证：CG=BG分析：（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据CEF和CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理证得ADF=AFD，可以证得AD=AF，在直角AOD中，利用勾股定理可以证得；（3）连接OE，易证OE是BCD的中位线，然后根据FGC是等腰直角三角形，易证EGFECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得解答：（1）解：=，=四边形ABCD是