趋势外推预测法.doc

第3章 趋势外推预测法一定的外界随机条件对应系统状态的一定表象，把一系列随机条件和对应的表象联接起来的长链条，既体现了系统运动变化的随机性，又体现了系统运动变化的约束性。因此，可以沿着这一链条，由系统的历史和现实的发展趋势推测其未来的发展趋势，即由已知推测未来。趋势外推法就是在大量历史的和现实的随机现象中，寻求它们的“平静的反映”，从而得到系统运动变化的规律，并据此规律推测出该系统未来的状况。这就是应用趋势外推法可以对事物的未来状况进行预测的理论根据。广义地讲，任何预测方法都是某种推测或推断，而对时间序列而言，推测与推断都是一种外推（由现在推测未来，如移动平均法、指数平滑法等时间序列方法）。“趋势外推法”是根据事物发展的特有规律，推测并着重研究其可能的发展趋势，故由此而得名。趋势外推法是根据变量（预测目标）的时间序列数据资料，提示其发展变化规律，并通过建立适当的预测模型，推断其未来变化的趋势。很多变量的发展变化与时间之间都存在一定的规律性，若能发现其规律，并用函数的形式加以量化，就可运用该函数关系去预测未来的变化趋势。大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。趋势外推法的两个前提假设是：1.技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去的技术发展，而且在很大程度上也决定着该技术的未来发展。这一前提假设实质上指的是在研究某项技术的过去、现在和未来的整个发展过程中，它保持相对不变，亦即内、外因保持相对不变。2.技术或经济的发展过程，一般属于渐进变化，而不是跳跃式变化。这一前提假设实际上是指质的稳定性。趋势外推预测法是研究变量的发展变化相对于时间之间的函数关系。根据函数关系的形态不同，可分为直线趋势外推预测法、曲线趋势外推预测法。3.1 直线趋势外推预测法直线趋势外推预测法是最简单的一种外推法，适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。3.1.1 线性趋势时间序列的特点时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程法（又称折扣最小平方法）。3.1.2 拟合直线方程法拟合直线方程法是根据时间序列数据的长期变动趋势，运用数理统计方法，确定待定参数，建立直线预测模型，并用之进行预测的一种定量预测分析方法。1拟合直线方程法的原理拟合直线方程法的原理就是最小二乘原理。它是依据时间序列数据拟合一条直线形态的趋势线，使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。设有个时间序列观察值，待求的拟合直线为，它使个观察值对该直线的离差分别为。其中在直线上方一侧的离差为正离差，下方一侧为负离差。如果简单地以离差代数和的大小来反映该直线是否是最佳拟合直线，则可能出现正、负离差的相互抵消使离差代数和变小，甚至出现完全相抵消的情况，这说明并不能真正反映拟合直线的优劣。因此，为了避免正、负离差的相互抵消，应采用离差平方和的大小来反映拟合直线的拟合效果。最小二乘法就是利用数学上的微分求极值原理，将离差平方和趋于最小时的拟合直线作为最佳的一条预测直线方程，从而提高预测的精度。2 拟合直线方程法数学模型设拟合直线方程为： （3.1.1）式中第t 期的预测值； 自变量，表示第期的编号的取值；趋势直线在y轴上的截距；趋势直线的斜率。假设为时间序列第期实际观察值，为趋势直线的第期预测值，为第期实际观察值与其预测值的离差，假设为总离差平方和，则上式中，的取值均已确定，的大小实际上取决于待定系数的取值，也就是说，上式中实际上是以为自变量的二元函数。所以，为使值为最小，可分别对求偏导，并令之为零。即： (3.1.2) (3.1.3)将式(3.1.2)和式(3.1.3)联立求解，得： (3.1.4) (3.1.5)式中，此处我们要注意到，自变量的取值为1到,也就是说，自变量的取值等于其下标，如，。而实际上，从直线趋势法的原理来讲，时间变量的取值代表的是时间变量的编号，而这种编号并不一定要从1开始。还可以从任一个自然数开始顺序编号，如，。所以，我们可以利用这样的便利减少我们的工作量，这种方法称之为正、负对称编号法。即当时间序列的数据长度为奇数时，取中数的编号为0，那么就构成了以0号为中心的正、负数对称的顺序编号，也就是令，使得。如，那么的取值为，此时显然有，从而达到简化计算的目的。使用正、负对称编号法时，式（3.1.4）、(3.1.5)可以简化为：(3.1.6)(3.1.7)3拟合直线方程法的预测步骤例3.1 某家用电器厂19932003年利润额数据资料如（表3.1）所示，试预测当时间变量的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时， 2004、2005年企业的利润各为多少万元？解：1) 绘制时间序列数据散点图。观察各散点的变化趋势是否可用直线方程来拟合。图3.1 某家用电器厂年利润散点图2) 列表计算求待定系数所需的数据资料。=191.0+82.7(3.1.9)表 3.1某家用电器厂19932003年年利润及拟合直线方程法计算表（单位：万元）年份利润额y1993200-525-1000191.0000191.01994300-416-1200273.711300273.71995350-39-1050356.424700356.41996400-24-800439.1391200439.11997500-11-500521.84162000521.81998630000604.55253150604.5199970011700687.26364200687.22000750241500769.97495250769.92001850392550852.68646800852.620029504163800935.39818550935.32003102052551001018.010100102001018.06650011091005538542350表3.1的左边以来进行自变量的取值，求得，。表3.1的右边以0，1，2，10对自变量进行取值，并求得，。3) 确定待定系数，建立预测模型。 按表3.1左边的编号方法，有=604.5, = .直线方程为=604.5+82.7 (3.1.8)按表3.1右边的编号法，有， =82.7直线方程为=191.0+82.7(3.1.9)4) 用拟合直线方程求预测值。 按式（3.1.8）进行预测：604.5+82.76=1100.7（万元）604.582.77=1183.4（万元） 按式（3.1.9）进行预测：19182.711=1100.7(万元)191+82.712=1183.4(万元)可见，由于两种时序列编号方法不同，两条直线方程式（3.1.8）与（3.1.9）的截距不同。但斜率相同，两个拟合直线方程所求得的预测结果完全一样。请读者自己将数据的散点图及拟合曲线画在同一坐标系中，观察其中的异同。4 拟合直线方程法的特点拟合直线方程的一阶差分为一常数。直线方程为： ,其一阶差分为 直线趋势外推法只适用时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。直线趋势外推法对时间序列数据，不论其远近如何都一律同等看待。用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因子的影响，使趋势值都落在拟合直线上，从而消除了不规则变动。3.1.3 加权拟合直线方程法1加权拟合直线方程法的原理上述拟合直线方程法是估计线性趋势预测模型的参数的常用方法。其基本思想就是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小值。从结构上看，误差平方和是每年的实际值与该年的预测值的偏差值的平方和，这意味着式中的每一项都有同样的重要性，即不论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权数。但事实上，对于预测精确度来说，近期的误差比远期误差更为重要。如一个经济现象，在预测期前的几期递增趋势明显且稳定，而远期的数量指标曾有过较大的跳动，按最小平方法，尽管时间序列后几期的误差平方都不大，但由于前面开始几期跳跃较大，也会使较大。这就使得本来预测误差不大，精度较高的预测值也得承认有较大的误差。这是不合理的。因此，在市场预测的实践中，要按照时间先后本着重近轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线方程法。假设由近及远的离差平方和的权重分别为，,， ，其中01，=1，说明对最近期数据赋予最大权重为1，而后由近及远，按比例递减。各期权重衰减速度取决于的取值，取值越大（越接近于1），衰减速度越慢；反之，的取值越小（越接近于0），则衰减速度越快。如=1，则就转化为如上述的非加权拟合直线方程法。从该意义上说，加权拟合直线方程法是拟合直线方程法的改进和发展。2. 加权拟合直线方程法的数学模型假设加权拟合直线方程为，加权离差平方和为： (3.1.10)要使达到最小，应用多元函数求极值的方法，对式（3.1.10）分别求与的偏导数，并令之为零： (3.1.11)(3.1.12)对以上两式联立进行求解即可得到、的值。3加权拟合直线方程法的预测步骤例3.2 数据资料同上例，当时，试用加权拟合直线方程法预测2004与2005年的利润额各为多少万元？1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的, ,，并加总求和，然后代入上式，有：联立求解得，故预测模型为 (3.1.13)2）预测值。当时，=101.6883.6612=1105.6(万元)当时，=101.6883.6613=1189.26(万元)即该家用电器在2004、2005年的利润分别为1105.6、1189.26万元。4 结论分析比较例3.1与例3.2的预测结果，可以发现，由于时间序列数据的线性趋势比较明显，又由于加权拟合直线法的加权系数取值比较大（=0.8），使得加权与不加权两种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言，由于加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则，使其预测结果更接近于实际观察值。而且随着取值越小，对近期数据所赋权数就越大，因此近期预测值就越接近实际观察值。但是，要选择一个比较合适的值也是一个比较困难的事，一般要经过若干次试探，使得加权离差平方和达到最小为好。表3. 2某家电企业19932003年年利润及加权拟合直线法计算表（单位：万元）年份199319941995199619971998199920002001200220031234567891011利润额200300350400500630700750850950102066501098765432100.10740.13420.16780.20970.26210.32770.40960.51200.64000.80001.000021.4840.2758.7283.87131.07206.44286.72384.00544.00260.001020.03536.5721.4880.52176.19335.52655.251238.72007.03072.04896.07600.01122031302.70.10740.26840.50340.83881.31051.96622.86724.0965.768.001136.7180.10740.53681.51023.33526.552511.79220.0732.76851.8480.00121.0329.538185.34269.0352.66436.32519.98603.64687.30770.96854.62938.281021.94214.92961.07.081319.14399.20694.85161.29439.3221.34137.363.7623.08128.971.19276.62104.63227.7066.06224.9313.66109.883.761180.483.1.4 拟合直线方程法的特殊运用在实际生活中，我们常常会遇到更为复杂的问题，但在某些情况下，可以通过适当的变量变换，将变量间的关系式化为线性的形式。例如变量满足的关系,其中均为与无关的未知参数，只要令,即可化为的线性形式。同样，对于模型和经过处理，也可以化为标准的形式。要完成以上的工作，首先要求我们对于各种图形的形式非常的熟悉，根据所得到的历史资料，画出图形，判定变量之间的关系，确定最适合的模型。下面我们以最常用的模型为例进行分析。对于式两边取对数，有令，则有：运用前面学过的拟合直线方程法，可求得：(3.1.14)当我们使用正负对称编号法时，上式可简化为：， 以上的求解方法称为对数趋势法（又称指数趋势法）。它是指时间序列观察值的长期趋势呈指数曲线变化时，运用观察值的对数与最小二乘法原理求得预测模型的方法。对数趋势法适用于时间序列数据按指数曲线规律增减变化的场合，使用时要注意结果的还原。例3.3 某公司19912003年产品的销售额如表3.3所示，试预测2004年的产品销售额。解： 1) 列表计算求解待定参数所需的数据。本例中n = 13，7，所以的取值为。根据拟合直线方程式及其待定参数计算公式，列表计算， ，并将计算结果填入表3.3中。表3.3 某公司19912003年销售额及对数趋势法计算表(单位：万元)观察期销售额199118-6361.2553-7.531637.31199272-5251.8573-9.286758.52199390-4161.9542-7.817091.791994210-392.3222-6.9667143.981995270-242.4314-4.8627225.841996390-112.5911-2.5911354.241997570002.75590555.651998900112.95422.9543871.5719991500243.17616.35221367.1020002310393.363610.09082144.37200140504163.607514.42983363.57200248005253.681218.40685275.94200354006363.732422.39448275.612058035.682435.5724图3.2 某公司19912003年销售额2) 根据上述计算，得出拟合的曲线如下，并计算预测值。=2.7448=0.1955故预测模型为预测值 =2.7448+0.19557=4.1129查反对数表，还原代换的变量，得到=12980.76（万元），即2004年销售额预测值为12980.76万元。3.2 曲线趋势外推预测法在很多情况下，变量间的关系由于受众多因素的影响，其变动趋势并非总是一条简单的直线方程，往往会呈现出不同形态的曲线变动趋势。曲线外推预测法是指根据时间序列数据资料的散点图的走向趋势，选择恰当的曲线方程，利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和法）等来确定待定的参数，建立曲线预测模型，并用它进行预测的方法。常见的曲线外推趋势预测法有二次曲线法、三次曲线法和生长曲线法。假设曲线趋势外推预测模型为 (3.2.1)式中： -第 期某变量的预测值（因变量）； -时间变量（自变量）， .1)当 时， ，即为线性趋势外推预测法的模型；2)当 时， 即为二次曲线外推预测法的模型。下面我们主要介绍二次曲线趋势外推预测法。3.2.1 二次曲线趋势外推预测法二次曲线外推法是研究时间序列观察值数据随时间变动呈现一种由高到低再到高（或由低到高再到低）的趋势变化的曲线外推预测方法。由于时间序列观察值的散点图呈现抛物线形状，故也称之为二次抛物线预测模型。与拟合直线外推法相同，二次曲线外推法也是根据使其误差最小的标准，确定其待定系数。下面分别介绍两种这样的方法。1用最小二乘法确定待定参数1) 参数的确定设 表示第 期的时间序列的观察值； -第 期的预测值； -第 期的离差； -离差平方和。由二次曲线外推预测法的模型 ，有 (3.2.2)与拟合直线外推法相同的原理，对式（3.2.2）求 、 、 ，并分别令其等于0，则可得关于 的方程组 (3.2.3)由于 表示时间序列的编号，如同拟合直线方程法一样，当时间序列观察期的项数为奇数时，令其中间项（ ）的编号为0，则 ， ，式(3.2.3)可简化为： (3.2.4)解上面的方程组可得： (3.2.5) 2) 预测步骤例3.4 某公司19952003年的商品销售收入如表3.4所示，试预测该公司2004年的销售收入。表3.4 某公司19952003年商品销售收入数据表 (单位：万元)年份199519961997199819992000200120022003销售收入54564176492311071322156818362140解：绘制散点图如图3.3所示。根据观察值的散点图的变化趋势确定其属于二次曲线变化趋势后，列表计算二次曲线待定参数所需的数据。计算结果如表3.5所示。计算待定参数，建立预测模型，并计算预测值。利用表3.5中的有关数据，代入式（3.2.5）中，计算得： ， ， 该例的二次曲线的趋势外推预测模型为： （3.2.6）当 时，代入上式得 =2471.89（万元）表3.5某公司商品销售收入及有关数据计算表 （单位：万元）年份 销售额 1995-454516256-21808720543.891.231996-3641981-19235769640.730.071997-2764416918.471998-192311-923923922.430.3219990110700001107.290.0820001132211132213221321.490.26200121568416313662721565.038.822002318369815508165241837.913.65200342140162568560342402140.130.02 01084660708119727682622.92 2用三点法确定待定参数1) 三点法确定待定参数的思路用三点法确定待定参数的思路是，在二次曲线模型上选取远、中、近期三点坐标作为预测模型待定参数 、 、 的估计值。其具体作法为，使时间序列的总项数 为奇数（若为偶数，可删去最初的一个观察期数据）；如果 15时，则在时间序列的远、中、近三期各取5个数据项，用权数w=1，2，3，4，5由远及近分别赋权并进行加权平均；同理，如果 时，则在时间序列的远、中、近三期各取3个数据项，用权数w=1，2，3由远及近分别赋权并进行加权平均。以此三个加权平均值作为该二次曲线预测模型上远、中、近三点的纵坐标的数值。即假设远、中、近三期的坐标分别为 ；时间序列总项数 为奇数，且中间项为d = ，则当 15时，取远期5个观察值 ，其加权平均值为：R= 同理，取中期5个观察值 其加权平均值为：S= 取近期5个观察值 其加权平均值为：T= 另外，也要对远、中、近三点的横坐标 作权数（1，2，3，4，5）相同加权平均值。 (3.2.7)注意 ，将其代入式(3.2.7)中，有 于是，以5项观察值作加权平均后三点坐标分别为： ； ； 将以上三点代入二次曲线预测模型 中，有联立方程组： (3.2.8)对式(3.2.8)联立求解，则有： (3.2.9)依此类推，如果是用三项数进行加权平均，且权数由远及近取1，2，3，那么，远、中、近期三点的纵坐标分别为： (3.2.10)三点的横坐标分别为： (3.2.11)于是，以三项观察值作加权平均后的坐标分别为： ， ， 。同理，将三点坐标值代入二次曲线预测模型，则有联立方程式： (3.2.12)对式（3.2.12）联立求解，则有： (3.2.13)2) 关于三点法的几点说明三点法的特点是不需要数列的全部数据，计算相对而言比较简单。对选取的数据比较敏感，即便是取加权平均值，也会受到一定的影响。一般而言，每一组里的数据相对较多时，则模型可能越接近于实际。每一组的里数据要求是奇数，是从方便计算的角度而言的。此种运算方法在生命曲线趋势预测法里将发挥更大的作用。3) 三点法的应用例3.5 观察期的数据同例3.4，试按三点法预测该公司2004年销售收入为多少万元？解：描绘散点图。观察其变化趋势，选择二次抛物线预测模型。列表计算待定参数 所需数据，建立数学模型并进行预测。表 3. 6某公司商品销售收入及三点法有关数据计算表 单位：（万元）年份 销售收入 权重 199515451545549.6821.901996264121282647.4441.471997376432292774.34106.92199849231923930.3854.46199951107222141115.5673.27200061322339661329.8862.09200171568115681573.3428.52200281836236721845.9498.80200392140364202147.6858.98 546.41由式（3.2.10）得：R = 由式(3.2.13)得： 所以，用三点法建立的二次曲线预测模型为： (3.2.14)将各年的 值代入式（3.2.8）中，可得各年的内插值 ，并填入表中。3. 二次曲线外推预测法的特点二次曲线方程的二阶差分是一个常数。二次曲线趋势外推预测法适用于时间序列数据呈抛物线形状上升或下降，且曲线仅有一个极点（极大值或极小值）的情况下使用。对于更高次的曲线方程，分析思路、求解未知参数的方法与此类似，不再赘述。3.2.2 生长曲线（S曲线）预测法 技术和经济的发展过程类似于生物的发展过程，经历发生、发展、成熟三个阶段，而每一阶段的发展速度是不一样的。一般的，在发生阶段，变化速度较为缓慢；在发展阶段，变化速度加快；到成熟阶段，变化速度又趋缓慢。按照这三个阶段发展规律得到的事物变化发展曲线，通常称为生长曲线或增长曲线，亦称逻辑增长曲线。由于此类曲线常似S型，故又称S曲线。现在，S曲线已广泛应用于描述及预测生物个体生长发育及某些技术、经济特性的发展领域中。随预测对象的性质不同，生长曲线有多种数学模型，其中应用较广的有皮尔（R.Pearl）模型、林德诺（L.Ridenour）模型和龚帕兹（B.Gompertz）模型三种。1. 皮尔（R.Pearl）模型皮尔生长曲线的一般模型为 （3.2.15）式中 为常数（如某种耐用消费品饱和状态时的普及率） 常用的皮尔生长曲线模型为 （3.2.16）这时 是 的线型函数，且具有负斜率。图3.4是皮尔曲线模型的图。 图3.4 皮尔生长曲线给定一个样本 ，由这组数据求出皮尔模型（3.2.16）的参数 ，从而得到拟合方程，并可用于预测。估算这三个参数的方法有两类，一类是先估算出 和 ，然后推算 值；另一类则是同时估算出参数 。（1）Fisher法这种方法属于第一类方法，它适用于 之间等距离的情况，不妨设 。 即有 （3.2.17）其中 。对样本点 ， （3.2.18）这样，由数据 ， 就得到了数据 由最小二乘法可估计出 ，这样， （3.2.19）再推算 值，由 得 ，即 。取对数： 对第 个样本点， 取 则 （3.2.20）至此，可以全部求出 三个参数。（2）倒数总和法这种方法属于第二类方法，其思想为，把给定的 个数据 分成三组，计算各组因变量倒数之和，并用以估计 的值，以求得生长曲线的拟合方程。设 ，且 可被3整除。设 ，则 ，即 。求 构造 则 两边取对数得 ，从而 （3.2.21）构造 故 的计算公式为 （3.2.22） （3.2.23）2. 林德诺（L.Ridenour）模型林德诺生长曲线模型常用于新技术发展和新产品销售的预测，其数学模型的一般形式为： （3.2.24）其中 - 时熟悉新产品的人数； - 时熟悉新产品的人数； -校正系数； - 的极限值。林德诺模型是基于下述假设条件建立的：新产品的推广或熟悉新产品的人数的增长率与已熟悉新产品的人数和未熟悉新产品的人数的乘积成正比，即满足微分方程： 上式在区间 上积分即得(3.2.24)。由于中 与（3.2.16）中 的表达式实