关于导数理科高考题.doc

可编辑修改 3 2010 全国卷理 2 10 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的三角 形的面积为 18 则a A A 64 B 32 C 16 D 8 4 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2 在x 1 处有极值 则ab的最大值等于 D A 2 B 3 C 6 D 9 1 如右图 是 f x 的导函数 xf 的图象如右图所示 则 f x 的图象只可能是 D A B C D 2 函数 14 3 1 3 xxy A x y o 4 4 2 4 4 2 2 2 x y o 4 4 2 4 4 2 2 2 x y y 4 o 4 2 4 4 2 2 2 6666 y x 4 2 o 42 2 4 3 方程 2 0 0762 23 xx B A 0 B 1 C 2 D 3 1 已知函数 1 1 23 fPxfycbxaxxxf上的点过曲线 的切线方程为 y 3x 1 若函数 2 xxf在 处有极值 求 xf 的表达式 在 的条件下 求函数 xfy 在 3 1 上的最大值 若函数 xfy 在区间 2 1 上单调递增 求实数 b 的取值范围 解 1 由 23 223 baxxxfcbxaxxxf 求导数得 过 1 1 fPxfy上点 的切线方程为 可编辑修改 1 23 1 1 1 1 xbacbayxffy即 而过 1 3 1 1 xyfPxfy的切线方程为上 故 3 02 3 323 ca ba ca ba 即 124 0 2 2 bafxxfy故时有极值在 由 得 a 2 b 4 c 5 5 42 23 xxxxf 2 2 23 443 2 xxxxxf 当 0 3 2 2 0 23 xfxxfx时当时 13 2 0 1 3 2 fxfxfx 极大 时当 又 4 1 xff 在 3 1 上最大值是 13 3 y f x 在 2 1 上单调递增 又 23 2 baxxxf 由 知 2a b 0 依题意 x f 在 2 1 上恒有 x f 0 即 03 2 bbxx 当 6 03 1 1 6 min bbbfxf b x时 当 bbbfxf b x 0212 2 2 6 min 时 当 6 0 0 12 12 1 6 2 2 min b bb xf b 则时 综上所述 参数 b 的取值范围是 0 2 已知三次函数 32 f xxaxbxc 在 1x 和 1x 时取极值 且 2 4f 1 求函数 yf x 的表达式 2 求函数 yf x 的单调区间和极值 3 若函数 4 0 g xf xmm m 在区间 3 mn 上的值域为 4 16 试求m n应 满足的条件 解 1 2 32fxxaxb 可编辑修改 由题意得 1 1 是 2 320 xaxb 的两个根 解得 0 3ab 再由 2 4f 可得 2c 3 32f xxx 2 2 333 1 1 fxxxx 当 1x 时 0fx 当 1x 时 0fx 当 11x 时 0fx 当 1x 时 0fx 当 1x 时 0fx 函数 f x 在区间 1 上是增函数 在区间 1 上是减函数 在区间 1 上是增函数 函数 f x 的极大值是 1 0f 极小值是 1 4f 3 函数 g x 的图象是由 f x 的图象向右平移m个单位 向上平移 4m个单位得到的 所以 函数 f x 在区间 3 nm 上的值域为 4 4 164 mm 0m 而 3 20f 4420m 即 4m 于是 函数 f x 在区间 3 4 n 上的值域为 20 0 令 0f x 得 1x 或 2x 由 f x 的单调性知 142n 即3 6n 综上所述 m n应满足的条件是 4m 且3 6n 3 设函数 f xx xa xb 1 若 f x 的图象与直线5 80 xy 相切 切点横坐标为 且 f x 在 1x 处取极 值 求实数 a b 的值 2 当 b 1 时 试证明 不论 a 取何实数 函数 f x 总有两个不同的极值点 解 1 2 32 fxxab xab 由题意 2 5 1 0ff 代入上式 解之得 a 1 b 1 2 当 b 1 时 0fx 2 32 1 0 xaxa 因 0 1 4 2 aa 故方程有两个不同实根 21 x x 可编辑修改 不妨设 21 xx 由 3 21 xxxxxf 可判断 xf 的符号如下 当 时 1 xx xf 当 时 21 xxx xf 当 时 2 xx xf 因此 1 x 是极大值点 2 x 是极小值点 当 b 1 时 不论 a 取何实数 函数 f x 总有两个 不同的极值点 1 设函数 1 0 32 3 1 223 abxaaxxxf 1 求函数 xf 的单调区间 极值 2 若当 2 1 aax 时 恒有 axf 试确定 a 的取值范围 解 1 22 43fxxaxa 3 xa xa 令 0fx 得 12 3xa xa 列表如下 x a a a 3a 3a 3a fx 0 0 f x A 极小A极大A f x 在 a 3a 上单调递增 在 a 和 3a 上单调递减 xa 时 3 4 3 fxba 极小 3xa 时 fxb 极小 2 22 43fxxaxa 0 1a 对称轴 21xaa fx 在 a 1 a 2 上单调递减 22 1 4 1 321 Max faa aaa 22 min 2 4 2 344faa aaa 依题 fxa Max fa min fa 即 2 1 44 aaaa 解得 4 1 5 a 又0 1a a 的取值范围是 4 1 5 2 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 2 3与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值 可编辑修改 与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x c2 恒成立 求 c 的取值范围 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由 f 2 3 124 ab0 93 f 1 3 2a b 0 得 a 1 2 b 2 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 函数 f x 的单调区间如下表 x 2 3 2 3 2 3 1 1 1 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以函数 f x 的递增区间是 2 3 与 1 递减区间是 2 3 1 2 f x x3 1 2x2 2x c x 1 2 当 x 2 3时 f x 22 27 c 为极大值 而 f 2 2 c 则 f 2 2 c 为最大值 要使 f x c2 x 1 2 恒成立 只需 c2 f 2 2 c 解得 c 1 或 c 2 题型六 利用导数研究方程的根 1 已知平面向量a 3 1 b 2 1 2 3 1 若存在不同时为零的实数 k 和 t 使x a t2 3 b y ka tb x y 试求函数关系式 k f t 2 据 1 的结论 讨论关于 t 的方程 f t k 0 的解的情况 解 1 x y x y 0 即 a t2 3 b ka tb 0 整理后得 k 2 a t k t2 3 a b t2 3 2 b 0 a b 0 2 a 4 2 b 1 上式化为 4k t t2 3 0 即 k 4 1 t t2 3 2 讨论方程4 1 t t2 3 k 0 的解的情况 可以看作曲线 f t 4 1 t t2 3 与直线 y k 的交 点个数 可编辑修改 于是 f t 4 3 t2 1 4 3 t 1 t 1 令 f t 0 解得 t1 1 t2 1 当 t 变化时 f t f t 的变化情况如下表 t 1 1 1 1 1 1 f t 0 0 F t 极大值 极小值 当 t 1 时 f t 有极大值 f t 极大值 2 1 当 t 1 时 f t 有极小值 f t 极小值 2 1 函数 f t 4 1 t t2 3 的图象如图 13 2 1 所示 可观察出 1 当 k 2 1 或 k 2 1 时 方程 f t k 0 有且只有一解 2 当 k 2 1 或 k 2 1 时 方程 f t k 0 有两解 3 当 2 1 k 2 1 时 方程 f t k 0 有三解 题型七 导数与不等式的综合 1 设 axxxfa 3 0 函数 在 1 上是单调函数 1 求实数a的取值范围 2 设 0 x 1 xf 1 且 00 xxff 求证 00 xxf 解 1 3 2 axxfy 若 xf 在 1 上是单调递减函数 则须 3 0 2 xay 即 这样的实数 a 不存在 故 xf 在 1 上不可能是单调递减函数 若 xf 在 1 上是单调递增函数 则a 2 3x 由于 33 1 2 xx故 从而 0 a 3 可编辑修改 2 方法 1 可知 xf 在 1 上只能为单调增函数 若 1 00 xfx 则 000 矛盾xxffxf 若 1 000000 xfxxfxffxxf 即则 矛 盾 故只有 00 xxf 成立 方法 2 设 00 xufuxf 则 0 3 0 3 0 xauuuaxx 两式相减得 00 33 0 xuuxaux 0 2 0 2 00 0 1 xauuxxux 1 u 1 30 3 2 0 2 0 auuxx又 01 2 0 2 0 auuxx 2 已知a为实数 函数 2 3 2 f xxxa 1 若函数 f x 的图象上有与x轴平行的切线 求a的取值范围 2 若 1 0f 求函数 f x 的单调区间 证明对任意的 12 1 0 xx 不等式 12 5 16 f xf x 恒成立 解 32 33 22 f xxaxxa 2 3 32 2 fxxax 函数 f x 的图象有与x轴平行的切线 0fx 有实数解 2 3 44 30 2 a 2 9 2 a 所以a的取值范围是 33 2 2 22 1 0f 3 320 2 a 9 4 a 2 931 33 1 222 fxxxxx 由 0 1fxx 或 1 2 x 由 1 0 1 2 fxx f x 的单调递增区间是 1 1 2 单调减区