2015-2016学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(理科)(a卷)解析版.doc

2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑1（5分）（2016春东莞市期末）复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A1，1B1，1C1，1D1，12（5分）（2016春东莞市期末）对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好3（5分）（2016春东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A“若ac=bc（c0），则a=b”类比推出“若=（），则=”B“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）=+”C“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（）=（）”D“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若=0，则=或=”4（5分）（2014潮安县校级模拟）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根5（5分）（2016春东莞市期末）已知随机变量服从正态分布N（5，9），若p（c+2）=p（c2），则c的值为（）A4B5C6D76（5分）（2016春东莞市期末）已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：x12345y24685若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5；可估计当x=6时y的值为（）A7.5B8.5C9.5D10.57（5分）（2016春东莞市期末）若弹簧所受的力x1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A0.28JB0.12JC0.26JD0.32J8（5分）（2016春东莞市期末）若（3x+）n（nN*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f（x）=（3x+）n在（0，+）上的最小值为（）A144B256C24D649（5分）（2016春东莞市期末）若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）ABCD10（5分）（2016春东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为，则P（=k）取得最大值时k的值为（）A6B7C8D911（5分）（2016春东莞市期末）已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A8，4+2）B（42，4+2）C（4+2，8D（42，812（5分）（2016春东莞市期末）设函数f（x）=ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）1，则a的取值范围是（）A（1，2B（1，C（1，D（1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡中相应的位置上13（5分）（2016春东莞市期末）用0，2，4，8这四个数字能组成个没有重复数字的四位数14（5分）（2016春东莞市期末）已知函数f（x）=3xx3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则ab的值为15（5分）（2016春东莞市期末）设f（x）=，若f（f（1）=8则（x2）m+4展开式中常数项为16（5分）（2016春东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：（1）b5=；（2）b2n1=三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2016春东莞市期末）复数z=（1i）a23a+2+i（aR），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围18（12分）（2016春东莞市期末）某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：评分等级小学2792012中学xy18128（备注：“”表示评分等级的星级，如“”表示3星级）（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为，求整数x，y的值；（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意完成下列22列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌上通”满意度与学校类型有关系？学校类型满意不满意总计小学50中学50总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格19（12分）（2016春东莞市期末）“莞马”活动中的机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求的分布列及数学期望20（12分）（2016春东莞市期末）已知f（x）=lnx+ax2ax+5，aR（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+）内单调递增，求实数a的取值范围21（12分）（2016春东莞市期末）已知f（x）=ln（x+1）（aR）（1）求证：a1且x0时，f（x）0恒成立；（2）设正项数列an满足a1=1，an=ln（an1+1）（n2），求证：an（nN*）22（12分）（2016春东莞市期末）设f（x）=exax2，g（x）=kx+1（aR，kR），e为自然对数的底数（1）若a=1时，直线y=g（x）与曲线y=f（x）相切（f（x）为f（x）的导函数），求k的值；（2）设h（x）=f（x）g（x），若h（1）=0，且函数h（x）在（0，1）内有零点，求a的取值范围2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑1（5分）（2016春东莞市期末）复数z=i2+i的实部与虚部分别是（）A1，1B1，1C1，1D1，1【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可【解答】解：复数z=i2+i=1+i复数的实部与虚部分别是：1；1故选：A【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力2（5分）（2016春东莞市期末）对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.520，则y与x具有正相关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高故正确；相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确故选：D【点评】本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断属于基础题3（5分）（2016春东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（）A“若ac=bc（c0），则a=b”类比推出“若=（），则=”B“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）=+”C“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（）=（）”D“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若=0，则=或=”【分析】对四个选项，利用向量的数量积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论【解答】解：由条件，得出（）=0，（）与垂直，则=，不一定成立，故A不正确；向量的乘法满足分配律，故B正确；在向量中（）与共线，（）与共线，故C不正确；若=0，则，=或=不一定成立，故D不正确故选：B【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）4（5分）（2014潮安县校级模拟）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根故选：A【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查5（5分）（2016春东莞市期末）已知随机变量服从正态分布N（5，9），若p（c+2）=p（c2），则c的值为（）A4B5C6D7【分析】随机变量服从正态分布N（5，9），得到曲线关于x=5对称，根据P（c+2）=P（c2），结合曲线的对称性得到点c+2与点c2关于点5对称的，从而解出常数c的值得到结果【解答】解：随机变量服从正态分布N（5，9），曲线关于x=5对称，P（c+2）=P（c2），c+2+c2=10，c=5，故选：B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题6（5分）（2016春东莞市期末）已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：x12345y24685若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5；可估计当x=6时y的值为（）A7.5B8.5C9.5D10.5【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于b的方程，解方程即可求出b，从而估计当x=6时y的值【解答】解：=3，=5，这组数据的样本中心点是（3，5）把样本中心点代入回归直线方程=x+0.55=3+0.5，=1.5，当x=6时y=9+0.5=9.5故选：C【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一7（5分）（2016春东莞市期末）若弹簧所受的力x1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A0.28JB0.12JC0.26JD0.32J【分析】先求出F（x）的表达式，再根据定积分的物理意义即可求出【解答】解：F=10N，x=10cm=0.1mk=100，W=100xdx=50x2|=0.32J，故选：D【点评】本题考查了定积分在物理中的应用，根据条件先求出k的值是解决本题的关键8（5分）（2016春东莞市期末）若（3x+）n（nN*）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则函数f（x）=（3x+）n在（0，+）上的最小值为（）A144B256C24D64【分析】由题意求得S和 P的值，根据P+S=272求得n的值，再利用基本不等式求得函数f（x）的最小值【解答】解：由题意可得P=4n，S=2n，P+S=4n+2n=272，解得2n=16，n=4，在（0，+）上，函数f（x）=（3x+）n=（3x+）4=144，当且仅当x=时，等号成立，故函数f（x）=（3x+）n在（0，+）上的最小值为144，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，基本不等式的应用，属于基础题9（5分）（2016春东莞市期末）若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数，再求出两位男生不相邻包含的基本事件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率【解答】解：3位老师和3 个学生随机站成一排照相，基本事件总数n=A66=720，任何两个学生都互不相邻包含的基本事件个数m=A33A43=144，任何两个学生都互不相邻的概率P=故选：C【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用10（5分）（2016春东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为，则P（=k）取得最大值时k的值为（）A6B7C8D9【分析】随机变量B（10，），P（=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是最可能的取值这和期望的意义接近，由此能求出p（=k）取最大值时k的值【解答】解：由题意，随机变量B（10，），P（=k）=，由式子的意义知：概率最大也就是最可能的取值这和期望的意义接近E=10=7.5，k=7或8可能是极值，P（=7）=，P（=8）=P（=k）取最大值时k的值是7故选：B【点评】本题考查二项分布的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化11（5分）（2016春东莞市期末）已知函数f（x）=在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（）A8，4+2）B（42，4+2）C（4+2，8D（42，8【分析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可【解答】解：当x0时，f（x）=x2+1，则f（x）=2x，f（1）=21=2，则在点（1，2）处的切线方程为y=2x，当x0时，y=f（x）=+b，即（x+2）2+（yb）2=4（yb）作出函数图象如右图随着b减小时，半圆向下移动，当点A（4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2（4）=8，再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点即=2，解得b=428b的取值范围是（42，8故选：D【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数图象，同时考查了数形结合的数学思想和分析问题的能力，属于难题12（5分）（2016春东莞市期末）设函数f（x）=ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）1，则a的取值范围是（）A（1，2B（1，C（1，D（1，2）【分析】把存在唯一的整数x0，使得f（x0）1，转化为存在唯一的整数x0，使得，即令g（x）=，h（x）=axa+1，求得分析g（x）的单调性，作g（x）=，h（x）=axa+1的图象，数形结合得到，则答案可求【解答】解：f（x）=ax+a，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）1，即存在唯一的整数x0，使得，也就是存在唯一的整数x0，使得令g（x）=，h（x）=axa+1，g（x）=，g（x）=在（，1上是增函数，在（1，+）上是减函数，又h（x）=axa+1是恒过点（1，1）的直线，作g（x）=，h（x）=axa+1的图象如下，则，即1故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根的存在性及根的个数判断，体现了数形结合的解题思想方法，是压轴题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡中相应的位置上13（5分）（2016春东莞市期末）用0，2，4，8这四个数字能组成18个没有重复数字的四位数【分析】特殊元素优先安排，0不能在首位，先排0，再排其它，根据分步计数原理可得【解答】解：因为首位不能为0，从2，4，8中选一个排在首位有3种方法，其它位置任意排，故有3A33=18个，故答案为：18【点评】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题14（5分）（2016春东莞市期末）已知函数f（x）=3xx3，当x=a时f（x）取得极大值为b，则ab的值为1【分析】求导数得到f（x）=33x2，根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号，从而得出函数f（x）的极大值点和极大值，从而求出ab的值【解答】解：f（x）=33x2；x1时，f（x）0，1x1时，f（x）0，x1时，f（x）0；x=1时，f（x）取得极大值2；即a=1，b=2；ab=1故答案为：1【点评】考查基本初等函数的求导公式，二次函数符号的判断，熟悉二次函数的图象，以及函数极大值的定义及求法15（5分）（2016春东莞市期末）设f（x）=，若f（f（1）=8则（x2）m+4展开式中常数项为15【分析】利用分段函数的意义可得f（1），再利用微积分基本定理解得m再利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：f（1）=ln1=0，f（f（1）=f（0）=0+3t2dt=m30，m3=8，解得m=2的展开式的通项公式：Tr+1=（1）rx123r，令123r=0，解得r=4（x2）m+4展开式中常数项=15故答案为：15【点评】本题考查了分段函数的性质、二项式定理及展开式的通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）（2016春东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：（1）b5=105；（2）b2n1=【分析】（1）由题设条件及图可得出an+1=an+（n+1），由此递推式可以得出数列an的通项为，an=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b5；（2）由（1）中的结论即可得出b2n1（5n1）（5n1+1）【解答】解：（1）由题设条件可以归纳出an+1=an+（n+1），故an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=n+（n1）+2+1=n（n+1）由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，b5=105；（2）由于2n1是奇数，由（I）知，第2n1个被5整除的数出现在第n组倒数第二个，故它是数列an中的第n51=5n1项，所以b2n1（5n1）（5n1+1）=故答案为：105；【点评】本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论“被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除”，本题综合性强，有一定的探究性，是高考的重点题型，解答时要注意总结其中的规律三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2016春东莞市期末）复数z=（1i）a23a+2+i（aR），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；（2）利用复数的几何意义，即可得到结论【解答】解 z=（1i）a23a+2+i=a23a+2+（1a2）i，（1）由知，1a2=0，故a=1当a=1时，z=0；当a=1时，z=6（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以1a1【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的有关概念，比较基础18（12分）（2016春东莞市期末）某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：评分等级小学2792012中学xy18128（备注：“”表示评分等级的星级，如“”表示3星级）（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为，求整数x，y的值；（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意完成下列22列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌上通”满意度与学校类型有关系？学校类型满意不满意总计小学50中学50总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格【分析】（1）由古典概型公式，分别求得评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校总事件个数m及恰有一所学校是中学的事件个数n，P=，代入即可求得x和y的值；（2）根据所给数据，可得22列联表，求出K2，与临界值比较，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系【解答】解：（1）因为从1星级的2+x的学校中随机选取2所学校，共有=种结果，（1分）；其中恰有1所学校是中学的共有种结果，（2分）；故=解得：x=3，（3分）；所以y=50318128=9（4分）；（2）完成列22列联表：学校类型满意不满意总计小学321850中学203050总计5248100（7分）；经计算K2的观测值：K2=5.7693.841 （11分）；所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用满意与学校类型有关系（12分）；【点评】本题考查古典概型概率公式，列联表，独立性检验的方法等知识，考查了学生处理数据和运算求解的能力，属于中档题19（12分）（2016春东莞市期末）“莞马”活动中的机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求的分布列及数学期望【分析】（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可求X的分布列及数学期望；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0所以的可能取值为1，3，求出相应的概率，可求的分布列及数学期望【解答】解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2 （1分）；P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，所以随机变量X的分布列为：X012P（5分）；E（X）=0+1+2=（6分）；（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0所以的可能取值为1，3 （8分）；由题意知：（9分）；P（=3）=+= （10分）；所以随机变量的分布列为：13P（11分）；（12分）；【点评】本题考查随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算能力，确定变量的取值与相应的概率是关键20（12分）（2016春东莞市期末）已知f（x）=lnx+ax2ax+5，aR（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（0，+）内单调递增，求实数a的取值范围【分析】（1）求导数得到，根据f（x）在x=1处有极值便可得到f（1）=0，从而可求出a的值，并可验证该值成立；（2）根据f（x）在区间（0，+）内单调递增便可得出f（x）0恒成立，进而得出2ax2ax+10在（0，+）上恒成立，这样讨论a的值：a0，a=0，和a0这三种情况，对每种情况验证是否满足条件，从而求出实数a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），；f（x）在x=1处有极值，f（1）=1+2aa=0；解得：a=1；此时；当0x1时f（x）0，当x1时f（x）0，符合题意；实数a的值为1；（2）函数f（x）在区间（0，+）内单调递增；在（0，+）恒成立；即2ax2ax+10在（0，+）恒成立；当a0时，显然不符合题意；当a=0时，10恒成立，符合题意；当a0时，要使恒成立；需，解得0a8；综上可知实数a的取值范围是0，8【点评】考查基本初等函数导数的求法，函数极值的定义，函数在极值点处导数的取值情况，函数的单调性和函数导数符号的关系，要熟悉二次函数的图象21（12分）（2016春东莞市期末）已知f（x）=ln（x+1）（aR）（1）求证：a1且x0时，f（x）0恒成立；（2）设正项数列an满足a1=1，an=ln（an1+1）（n2），求证：an（nN*）【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；（2）a=1时，在0，+）内恒成立，在0，3）内恒成立，由a1=1及an=ln（an1+1）（n2）知0an1，根据数学归纳法证明即可【解答】证明：（1）（1分）；当a1，x0时，f（x）0恒成立 （2分）；此时函数f（x）在（0，+）内单调递增 （3分）；所以f（x）f（0）=0，得证 （4分）；（2）由（1）可知a=1时，在0，+）内恒成立 （6分）；同理可证：在0，3）内恒成立 （7分）；由a1=1及an=ln（an1+1）（n2）知0an1（8分）下面用数学归纳法证明：当n=1时，结论成立 （9分）；设当n=k时结论成立，即那么当n=k+1时，（10分）（11分）即当n=k+1时有，结论成