面阵的二维DOA 估计算法研究.doc

编号 南京航空航天大学毕业论文题 目面阵的二维DOA估计算法的研究学生姓名李建峰学 号040610121学 院信息科学与技术学院专 业电子信息科学与技术班 级0406101指导教师张小飞 副教授二一年六月南京航空航天大学本科毕业设计(论文)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)(题目： 面阵的二维DOA 估计算法研究 )是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。尽本人所知，除了毕业设计(论文)中特别加以标注引用的内容外，本毕业设计(论文)不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。作者签名： 年 月 日 (学号)：040610121 毕业设计(论文)报告纸面阵的二维DOA估计算法的研究摘 要阵列信号处理的目的是通过对阵列接收的信号进行处理，增强所需要的有用信号，抑制无用的干扰和噪声，并提取有用的信号特征以及信号所包含的信息。阵列信号处理研究的一类很重要的问题是空间信号的波达方向(DOA，direction of arrival)的估计问题，也称为超分辨算法。由于平面阵相对于线阵来说，在相同阵元数目的情况下，其尺寸要远远小于线阵因此，在工程上有实际意义。文章结合面阵特点，经典角度估计算法等知识，对面阵中的几种二维估计算法进行了细致的研究，仿真以及比较。第三章讲述了MUSIC(Multiple Signal Classification多重信号分类)以及相似的Capon算法，但算法复杂度过高，因此第四章讲述了二维RootMUSIC（求根MUSIC）算法，第五章讲述了另一种基于特征分解的高分辨率算法，二维ESPRIT(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques 借助于旋转不变技术的信号参数估计)以及与其有关的二维UnitaryESPRIT，第六章是二维PM(Propagator Method 传播算子算法)，而其中也结合了ESPRIT算法，而第七章是基于三维矩阵分解的PARAFAC(Parallel factor 平行因子)算法。关键词：面阵，波达方向，多重信号分类，借助于旋转不变技术的信号参数估计，传播算子，平行因子The search on two-dimensional DOA estimation algorithms in Planar arrayAbstractThe purpose of array signal processing is to enhance the useful signal ,suppress the unwanted interference and noise, and pick up the useful signal characteristics and information by processing the received signal.A very important issue of array signal processing is the estimation of DOA,also calls super-resolution algorithm.Due to the truth that the size of planar array is much smaller than the linear array in the case of the same elements,so the engineering application of the former is more practical.This paper combine the feature of planar array and the knowledge of classic angle estimation algorithm,and represent some research,simulation and comparison on some two-dimensional estimation algorithms.Chapter 3 introduce 2D-MUSIC(Multiple Signal Classification) and Capon similarly,but the complexity of the algorithm is too high ,so chapter 4 introduce 2D-Root-MUSIC.Chapter 5 introduce another high resolution algorithm based on the eigenvalue decomposition,2D-ESPRIT(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)and the related 2D-Unitary-ESPRIT algorithm.Chapter 6 introduce 2D-PM(Propagator Method),and also use ESPRIT over there ,and chapter 7 is PARAFAC(Parallel factor) based on 3-D matrix decomposition.Key Words：Planar array; DOA ; MUSIC ; ESPRIT ; PM ; PARAFAC目 录摘 要iAbstractii第一章 引 言- 1 -1.1 研究背景及现状- 1 -1.2 研究的内容及意义- 2 -第二章 阵列信号处理基础- 4 -2.1 阵列信号处理基础- 4 -2.1.1 矩阵的特征分解- 4 -2.1.2 Hermitian矩阵和Toeplitz矩阵- 4 -2.2 阵列天线的统计模型- 5 -2.2.1 前提及假设- 5 -2.2.2 天线阵模型- 5 -2.3 阵列响应矢量- 7 -2.4 阵列协方差矩阵的特征分解- 10 -第三章 二维DOA估计：MUSIC算法和Capon算法- 12 -3.1 MUSIC算法- 12 -3.1.1 一维MUSIC- 12 -3.1.2 二维MUSIC- 13 -3.2 Capon 算法- 13 -3.2.1 一维Capon算法- 14 -3.2.2 二维Capon算法- 16 -3.3 仿真- 16 -3.4 小结- 19 -第四章 二维DOA估计：求根MUSIC算法- 21 -4.1 Root-MUSIC 算法- 21 -4.1.1 一维Root-MUSIC- 21 -4.1.2 二维Root-MUSIC- 21 -4.2 仿真- 22 -4.2.1 角度估计性能与信噪比的关系- 22 -4.2.2 角度估计性能与快拍数的关系- 24 -4.2.3 角度估计性能与天线数的关系- 24 -4.2.4 角度估计性能与目标数的关系- 25 -4.2.5 对角度相近的源的估计性能- 26 -4.3 小结- 26 -第五章 二维DOA估计：ESPRIT以及Unitary-ESPRIT- 27 -5.1 ESPRIT算法- 27 -5.1.1 一维ESPRIT- 27 -5.1.2 二维ESPRIT- 32 -5.2 Unitary-ESPRIT- 33 -5.2.1 Unitary-ESPRIT基本模型- 34 -5.2.2 Unitary-ESPRIT推导过程- 35 -5.3 仿真- 39 -5.3.1 角度估计性能和信噪比的关系- 39 -5.3.2 角度估计性能与快拍数的关系- 41 -5.3.3 角度估计性能与天线数的关系- 42 -5.3.4 角度估计性能与目标数的关系- 43 -5.3.5 对角度相近的源的估计性能- 44 -5.4 小结- 45 -第六章 二维DOA估计：传播算子算法- 47 -6.1 一维PM算法- 47 -6.2 二维PM算法- 48 -6.3 仿真- 50 -6.3.1 角度估计性能与信噪比的关系- 50 -6.3.2 角度估计性能与快拍数的关系- 51 -6.3.3 角度估计性能与天线数的关系- 52 -6.3.4 角度估计性能与目标数的关系- 52 -6.3.5 对角度相近的源的估计性能- 53 -6.4 小结- 54 -第七章 二维DOA估计：平行因子技术- 55 -7.1 平行因子理论基础- 55 -7.1.1 三维数据分析- 55 -7.1.2 三维矩阵的展开- 56 -7.1.3 三维矩阵的秩- 56 -7.1.4 PARAFAC模型的基本概念- 57 -7.1.5 PARAFAC的可辨识性- 58 -7.2 基于平行因子的二维DOA估计- 59 -7.2.1 三线性交替最小二乘（TALS）- 59 -7.2.2 DOA估计- 61 -7.3 仿真- 62 -7.3.1 角度估计性能与信噪比的关系- 62 -7.3.2 角度估计性能与快拍数的关系- 63 -7.3.3 角度估计性能与天线数的关系- 64 -7.3.4 角度估计性能与目标数的关系- 64 -7.3.5 对角度相近的源的估计性能- 65 -7.4 小结- 66 -第八章 总结与展望- 67 -8.1 全文总结- 67 -8.2 后续的研究展望- 68 -参 考 文 献- 70 -致 谢- 72 -附 录- 73 -注释表ULA Uniform Linear Array均匀线阵DOA Direction Of Arrival到达方向PMPropagator Method传播算子方法PARAFACParallel factor平行因子MUSICMultiple Signal Classification多重信号分类ESPRITEstimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques借助于旋转不变技术的信号参数估计方法LSLeast Squares最小二乘Root-MUSICRoot-Multiple Signal Classification求根MUSIC方法RMSERoot Mean Square Error求根均方误差 TALSTrilinear Alternate Least Squares三线性交替最小二乘矩阵转置矩阵共轭矩阵共轭转置矩阵的逆Kronecker算子矩阵A的估计期望矩阵的伪逆对角矩阵取矩阵的第m行组成一个对角矩阵F范式自然对数取虚部vi 毕业设计(论文)报告纸第一章 引 言1.1 研究背景及现状阵列信号处理是现代信号处理的一个重要分支，其本质是利用空间分散排列的传感器阵列和多通道接收来获取信号的时域和空域等多维信息，达到检测信号和提取其参数的目的。与传统的单个传感器接收信号的一维信号处理相比，阵列信号处理具有灵活的波束控制、较高的信号增益、较强的干扰抑制能力以及很好的空间分辨能力等多种优点。这些优势也是阵列信号处理理论一直不断蓬勃发展的根本动力，其广泛应用到通信、雷达、声纳、导航、地质勘查、机电测量、生物医学、射电天文等诸多军用和民用领域13。信号处理的主要目的是尽可能的利用、提取和恢复蕴含于信号外部和内部特征之中的有用信息。因此，在复杂的电磁环境中对信号的参数进行有效的检测和精确的估计就显得尤其重要。阵列信号参数估计就是根据传感器输出的处于噪声干扰环境下的信号，依照一定的准则和方法，提取出需要的信号参量。作为阵列信号处理中重要的研究领域，阵列参数估计近年来得到了迅速发展，所估计的信号参数也由原来的简单频域或空域发展到现在的空间、时间、频率和极化域，并且对参数估计的要求也越来越高，比如要求算法精度更高、分辨力更好、稳健性更强和计算更为简单，从而推动了参数估计技术的发展。多维参数估计的问题是一个非常贴近实际的问题，传统的DOA估计一般是指在一个平面内对信号源的方位角进行估计，属于一维参数估计问题，存在许多局限性。在实际通信系统中，用户并非位于同一平面，因此需要用二维波达角来表示。信号多维参数估计是阵列信号处理技术的一个重要研究方向，通常研究的多维参数估计包括频率、二维到达角和二维极化角等。经过几十年的发展，在二维DOA估计以及DOA和频率联合估计方面已取得了长足的进步，为这一领域的发展提供了坚实的理论基础。二维DOA估计一般采用L型阵列、面阵等实现二维参数的估计，多数有效的二维DOA估计算法是在一维DOA估计算法的基础上，直接针对空间二维谱提出的，如M. Wax，T. J. Shan和T. Kailath (1984年)提出的二维MUSIC4算法以及各种二维ESPRTT56算法等。二维MUSIC算法是二维DOA估计的典型算法，这种方法可以产生渐进无偏估计，但要在二维参数空间搜索谱峰，可见其计算量相当大。殷勤业提出了一种波达方向矩阵法7，该方法通过对波达方向矩阵的特征分解，直接得到信号源的方向角与仰角，无需任何谱峰搜索，运算量低，参数自动配对。但波达方向矩阵法的缺点是需要通过双平行线阵等特殊的、规则的阵列才能实现二维DOA估计，并存在“角度兼并”问题。在波达方向矩阵法的基础上，金梁将空时处理结合起来，充分利用接收信号的信息，提出了时空DOA矩阵法89，该方法在保持原DOA矩阵方法优点的前提下，不需要双平行线阵，也不存在“角度兼并”等问题，可推广到任意形状阵列的二维DOA估计中。Zoltowski等提出的2-D Unitary ESPRIT和2-D beamspace ESPRIT5方法将复矩阵运算转化为实矩阵运算，简化了运算复杂程度，参数自动配对，但要求阵列中心对称。M.P.Clark和L.Scharf于1991年提出了二维最大似然法10，依据最大似然准则，对均匀线阵的输出数据进行时空二维处理来获取二维参数的估计。Zoltowski等人利用基于均匀圆阵的相模激励并结合子空间技术提出了UCA-ESPRIT6算法，解决了的二维到达角估计和参数配对问题，随后又提出了基于均匀矩形阵的DFT（Discrete Fourier Transform，离散傅里叶变换）波束空间2-D到达角估计算法5。Li等人提出了基于子阵结构的二维DOA估计11，其算法仅适于空间带限相关噪声环境。在常用的平面阵列结构中，由等距线阵构成的交叉阵近年来由于其阵列结构较为简单而受到人们的广泛重视，但由于其需要二维谱峰搜索，大大限制了其在实际中的应用。1.2 研究的内容及意义文章中重点讲述了面阵中几种经典的二维DOA估计算法，并对性能作了相当多的比较，复杂度分析，随一些参数的变化导致的性能的改变等等，旨在找出各自的优缺点，加以综合分析。具体如下：第1章 ：讲述了面阵中二维DOA估计的背景，现状及发展。第2章 ：介绍了阵列信号处理的一些基础知识和模型。第3章 ：MUSIC算法和Capon算法的相关知识，及性能比较和总结第4章 ：介绍了求根MUSIC算法的知识和估计性能，并仿真了性能随很多参数改变的情况第5章 ：讲述了ESPRIT算法以及Unitary-ESPRIT算法的知识，并对性能好坏作了很多仿真和比较第6章 ：介绍了PM算法的知识及性能第7章 ：平行因子技术的概况，模型和性能第8章 ：作全文总结，对各算法进行统一比较，并做后续展望。随着科学技术的迅猛发展，对于多信号定位、识别参数估计精度等指标的要求也日益提高，只有实现了对于多信号多参数的高分辨率精确估计，才能进一步地实现多目标跟踪、信号恢复、特征识别或压制、欺骗干扰等后续工作。第2章 阵列信号处理基础2.1 阵列信号处理基础2.1.1 矩阵的特征分解对于矩阵，如果有标量和非零向量e使得方程 (2.1)成立，则称是矩阵A的特征值，e是与对应的矩阵A的特征向量。 (2.2)表示多项式，上式称为矩阵A的特征多项式，该多项式的解就是矩阵A的特征值，然后代入式(2.1)求解即可得到对应的特征向量。2.1.2 Hermitian矩阵和Toeplitz矩阵如果矩阵满足 (2.3)则A称为Hermitian矩阵。Hermitian矩阵包括以下主要性质:1 ) Hermitian矩阵的所有特征值都是实的。2 ) Hermitian矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交。3 ) Hermitian矩阵可分解为的形式，这一分解称作谱定理，也就是矩阵A的特征分解定理。其中。是由特征向量构成的酉矩阵。若矩阵满足位于任一条平行于主对角线的直线上的元素均相等,则A称为Toeplitz矩阵。2.2 阵列天线的统计模型2.2.1 前提及假设信号通过无线信道的传输情况是极其复杂的，其严格数字模型的建立需要有物理环境的完整描述，但这种做法往往很复杂。为了得到一个比较有用的参数化模型，必须简化有关波形传输的假设，以下假设条件对本书中涉及的所有算法都具有约束力。关于接收天线阵的假设：接收阵列由位于空间已知坐标处的无源阵元按一定的形式排列而成。假设阵元的接收特性仅与其位置有关而与其尺寸无关(认为其是一个点)，并且阵元都是全向阵元，增益均相等，相互之间的互耦忽略不计。阵元接收信号时将产生噪声，假设其为加性高斯白噪声，各阵元上的噪声相互统计独立，且噪声与信号是统计独立的。关于空间源信号的假设：假设空间信号的传播介质是均匀且各向同性的，这时空间信号在介质中将按直线传播，同时我们又假设阵列处在空间信号辐射的远场中，所以空间源信号到达阵列时可以看待为一束平行的平面波，空间源信号到达阵列各阵元在时间上的不同时延，可由阵列的几何结构和空间波的来向所决定。至于空间波的来向在三维空间中常用仰角和方位角来表征。所谓来波的仰角时指来波的波线与地平面的夹角，而来波的方位角是指来波的波线与地磁的正北方向间的夹角，显然空间源信号的仰角和方位角的取值范围为：其次，在建立阵列信号模型时，还常常要区分空间源信号是窄带信号还是宽带信号。本书讨论的都是窄带情况。所谓窄带信号是指相对于信号(复信号)的载频而言，信号包络的带宽很窄(包络是慢变的)，因此在同一时刻，该类信号对阵列各阵元的不同影响仅仅在于因其到达各阵元的波程不同而导致的相位差异。2.2.2 天线阵模型设有一个天线阵列，它由M个具有任意方向性的阵元按任意排列构成。同时设有K个具有相同中心频率，波长为的空间窄带平面波(MK)分别以来向角：入射到该阵列，如图2.1所示。这里的，i=1,2,K。分别是第i个入射信号的仰角和方位角。其中， 。图2.1 波达方向示意图这时，阵列第k个阵元的输出可表为： (2.4)其中为投射到阵列的第i个源信号。为第k个阵元的加性噪声。为来自方向的源信号投射到第k个阵元时，相对于选定参考点的时延。并记 (2.5) (2.6)另外：S(t)为K1维列向量 (2.7)及：为MK阶矩阵的方向矩阵 (2.8)这里，矩阵中任一列向量是阵列在空间源信号中一个来向为的方向向量，且是M1维列向量： (2.8)因此如用矩阵描述，即使在最一般化的情况下，阵列信号模型可简练地表示为 (2.9)很显然，矩阵与阵列的形状、信号源的来向有关，而 一般在实际应用中，天线阵的形状一旦固定就不会改变了，所以，矩阵中任一列总是何某个空间源信号的来向紧密联系着的，被称为方向矩阵，而它的列向量被称作方向矢量。实际使用的阵列结构要求方向向量必须与空间角向量一一对应，不能够出现模糊现象。改变空间角使方向向量在M维空间内扫描，所形成的曲面称为阵列流形。2.3 阵列响应矢量1. 均匀线阵图2.2 均匀线阵假设接收信号满足窄带条件，即信号经过阵列长度所需要的时间应远远小于信号的相干时间，信号包络在天线阵传播时间内变化不大。为简化，假定移动台和基站是在同一平面内，并且入射到天线阵为平面波。以第一个阵元为参考点，当信道有K条主要路径时，来波方向为()，M根天线，如图2.2所示，阵元间距为d的均匀线阵的阵列响应矢量为： (2.10)定义方向矩阵为： (2.11)2. L型阵列图2.3所示为L型阵列结构，有2M-1个阵元。此L阵列由X轴上阵元数为M的均匀线阵X和Y轴上阵元数为M的均匀线阵Y所构成。假设空间有K个信源照射到此阵列上，其二维波达方向为，k=1,2,K，其中分别代表第k个信源的方位角和仰角。图2.3 L型阵列假设入射到此阵列上的信源数为K，则X轴上M个阵元接收的信号可表示为： (2.12) 其中，是信源矩阵，是接收噪声，表示为 (2.13) Y轴上M个阵元接收的信号可表示为： (2.14)其中，是接收噪声，表示为 (2.15)和是Vandermonde矩阵。3. 面阵图2.4所示，有个阵元，均匀分布，假设空间有K个信源照射到此阵列上，其二维波达方向为，k=1,2,K，其中分别代表第k个信源的方位角和仰角。图2.4 平面阵列则空间第个阵元的与参考阵元0之间的波程差为 (2.16)为第个阵元的坐标，面阵一般在xy面内，所以一般为0。由上面L型阵列的分析可知，轴上的M个阵元的方向矢量为，轴上的M个阵元的方向矢量为，所以如上图所示的子阵1的方向矢量为，而子阵2的方向矢量就得考虑沿轴的偏移，每个阵元相对于参考阵元的波程差就等于子阵1的阵元的波程差加上，所以可得 子阵1， 子阵2， 子阵M，. (2.17) 阵列输出可写成： (2.18)当然也可以将子阵都看成沿方向 ，方向矩阵同理可类推，就是将和位置互换。2.4 阵列协方差矩阵的特征分解在实际处理中，我们得到的数据使在有限的时间范围捏的有限次快拍数，在这段时间内假定空间源信号的方向不发生变化，其次空间源信号的包络虽然使随时间变化，但通常认为它是一个平稳随机过程，其统计特性不随时间变化，这样我们就可以定义阵列输出信号X(t)的协方差矩阵为： (2.19)其中，且=0。则有： (2.20)此外，还有以下几个条件必须满足： MK，即阵元个数M要大于该阵列系统可能接收到的同频空间信号的个数。 对应于不同的信号来向，信号的方向向量是线性独立的。 阵列中噪声N(t)过程，具有高斯分布特性，而且其中表示噪声功率 空间源信号向量S(t)的协方差矩阵 (2.21)是对角非奇异阵，这表明空间源信号是不相干的，同时还要求空间源信号与阵元输出不相干。由以上各式，可得出，可以证明R是非奇异的，且，因此R式正定Hermitain方阵，若利用酉变换实现对角化，其相似对角阵是由M个不同的正实数组成，与之对应的M个特征矢量是线性独立的。因此，R的特征分解可以写作： (2.22)其中，并可证明其特征值服从以下排序：即前K个特征值与信号有关，其数值大于，这K个较大特征值所对应的特征向量表示为：它们构成信号空间，记是K个较大特征值构成的对角阵。而后M-K个特征值完全取决于噪声，其数值均等于。所对应的特征向量表示为：它们构成噪声空间，而是由M-K个较小特征值构成的对角阵。因此，可以将R划分成，可知：。 第3章 二维DOA估计：MUSIC算法和Capon算法众多性能优良的高分辨DOA估计算法中，基于特征分解的多重信号分类的(MUSIC) 算法最为经典，MUSIC 算法具有普遍的适用性，只要已知天线阵（本论文讨论的都是平面阵）的布阵形式，无论是直线阵还是圆阵，不管阵元是否等间隔分布，都可以得到高分辨的估计结果3.1 MUSIC算法3.1.1 一维MUSIC按照上一章的假设条件进行分析，我们已经知道，阵列协方差矩阵可以划分为两个空间即 (3.1)以及 (3.2)将(3.1)两边同时右乘， (3.3)结合(3.2) (3.4)可知 (3.5)矩阵为满秩阵，非奇异，所以有逆存在。于是上式可变为：，这说明矩阵中的各个列向量与噪声空间正交，故有： 其中 (3.6)由噪声特征向量和信号向量的正交关系，得到阵列空间谱函数： (3.7)该式中分母是信号向量和噪声向量的内积。在对应噪声特征值的特征向量和各到达波的信号向量正交时的，分母值为0。由该式，使变化，通过寻找波峰来估计到达角。3.1.2 二维MUSIC考虑图2.4所示的面阵情况，有个阵元，均匀分布，假设空间有K个信源照射到此阵列上，其二维波达方向为，k=1,2,K，其中分别代表第k个信源的方位角和仰角。二维MUSIC类似于一维的情况，只不过此时的方向矢量为 (3.8)进一步化简就是 (3.9)和一维情况一样，利用空间谱函数 (3.10)进行二维的谱峰搜索。3.2 Capon 算法3.2.1 一维Capon算法波束形成技术的基本思想是：通过各阵元输出进行加权求和，在一时间内将天线阵列波束“导向”到一个方向上，对期望信号得到最大输出功率的导向位置即给出波达方向估计。上述“导向”作用是通过调整加权系数完成的，阵列的输出是对各阵元的接收信号向量在各阵元上分量的加权和。令则输出可写作 (3.11)N个快拍的波束形成器输出的平均功率为 (3.12)其中，为我们感兴趣的信号(其波达方向为)，J个不感兴趣的信号(或称干扰信号，波达方向)。当时，式(3.12)可写成 (3.13)式中为阵列输出的协方差矩阵。 另一方面，当时，式(3.12)可表示为 (3.14)在获得上式的过程中，使用了各加性噪声具有相同方差这一假设。表示波束形成器的期望输出功率的式(3.13)和(3.14)的两种形式是非常有用的。为了保证来自方向的期望信号的正确接收，并完全抑制其它J个干扰，我们很容易根据式(3.14)得到关于权向量的约束条件： (3.15a) (3.15b)约束条件(3.15)习惯称为波束“置零条件”，因为它强迫接收阵列波束方向图的“零点”指向所有J个干扰信号。在以上两个约束条件下，式(3.14)简化为 从提高信干噪比的角度来看，以上的干扰置零并不是最佳的：虽然选定的权值可使干扰输出为零，但可能使噪声输出加大。因此，抑制干扰和噪声应一同考虑。这样一来，波束形成器最佳权向量的确定现在可以叙述为：在约束条件(3.15)的约束下，求满足 (3.16)的权向量。这个问题很容易Lagrange乘子法求解。令目标函数为 (3.17) 根据线性代数的有关知识，标量函数对复向量(其元素)的偏导数定义为 (3.18)利用这一定义，可以得到 (3.19a) (3.19b) 由式(3.17)和(3.19)易知的结果为直接得到接收来自方向的期望信号的波束形成器的最佳权向量为 (3.20a)式中，为一比例常数,是我们期望接收的信号的波达方向。这样，我们就可以决定所有J+1个发射信号的波束形成的最佳权向量，此时，波束形成器将只接收来自方向的信号，并拒绝所有来自其它波达方向的信号。注意到约束条件也可等价写作，式(3.20a)两边同乘，并与等价的约束条件比较，立即知式(3.20a)中的常数应满足 (3.20b)代入(3.20a)， (3.21)将上式代入式(3.13)，便得到“空间谱”如下： (3.22)当时，分母为0，通过谱峰搜索，估计到达角。3.2.2 二维Capon算法当(3.22)的扩展到二维情况，就是 (3.23) 同样跟二维MUSIC一样，进行二维谱峰搜索，寻找谱峰值。3.3 仿真快拍数L=100，目标数K=3，面阵为88的方阵，假设仰角为，方位角为，信噪比分别为10dB和 20dB，如图3.1，3.2，3.3以及3.4，可知信噪比越高，谱峰越尖锐，性能越好。图3.1 信噪比10dB时，二维MUSIC算法的估计性能图3.2 信噪比20dB时，二维MUSIC算法的估计性能图3.3 信噪比10dB时，二维Capon算法的估计性能图3.4 信噪比20dB时，二维Capon算法的估计性能图3.3 两算法估计的角度可以看到，两个算法都准确地估计出了角度。3.4 小结MUSIC算法是比较经典的一个算法，具有普遍适用性，Capon算法使噪声以及来自非信源方向的任何干扰所贡献的功率为最小，但又能保持信源方向上信号功率不变，有一定的自适应能力，可以减少干扰对估计的影响。通过观察这两幅仿真图我们可以清楚地看到二维MUSIC和Capon算法能够成功地将仰角和方位角估计出来，而且随着信噪比的提高，谱峰更加尖锐，两算法的性能得到了很大改善。这两算法的缺陷就是要进行二维角度搜索，特别是Capon算法，还要对矩阵进行求逆，复杂度过高。第4章 二维DOA估计：求根MUSIC算法本章要讨论的Root-MUSIC算法，是MUSIC算法的一种多项式求根形式4.1 Root-MUSIC 算法4.1.1 一维Root-MUSIC在一维线阵中，方向矢量 令= (4.1)假设有K个信源，为了从所有噪声特征向量中同时提取信息，希望求MUSIC中 (4.2)的零点。然而，式(4.2)还不是z的多项式，因为存在的冥次项。由于我们只对单位圆上的z值感兴趣,所以可以用代替，这就给出了求根MUSIC多项式，即 (4.3)注意，是2(M-1)次多项式，它的根相对于单位圆为镜像对。其中，具有最大幅值的K个根的相位给出波达方向估计。4.1.2 二维Root-MUSIC这里依然考虑图2.4所示的面阵，有个阵元，均匀分布，假设空间有K个信源照射到此阵列上，其二维波达方向为，k=1,2,K，其中分别代表第k个信源的方位角和仰角。面阵的输出可以写成： (4.4)这样可以把写成的形式，相当于一维形式，然后利用求根MUSIC算法可求得K个根，进一步可求得 (4.5)然后我们把矩阵变换，或者说将子阵列看成沿轴方向的，我们可以得到 (4.6)同上，我们可求得 (4.7)配对之后 (4.8)4.2 仿真4.2.1 角度估计性能与信噪比的关系采用基于二维DOA估计的Root-MUSIC算法来仿真，快拍数L=100，目标数K=3，天线阵为的面阵，假设仰角为，方位角为，信噪比分别取10dB和20dB，进行800次仿真，估计性能如图4.1和图4.2图4.1 信噪比10dB时二维Root-MUSIC的估计性能 图4.2 信噪比20dB时二维Root-MUSIC算法的估计性能通过对比图4.1与图4.2, 可以看到，Root-MUSIC算法将仰角和方位角准确地估计出来。而且随着信噪比的提高，图上点的分布越加密集，表明Root-MUSIC 算法的性能得到了改善。4.2.2 角度估计性能与快拍数的关系目标数K=3，天线阵为的面阵，假设仰角为，方位角为，进行800次仿真，快拍数分别取50,100,200这里定义方位角的求根均方误差 (4.9)其中J是仿真次数，是第m次仿真得到的第f个信源方位角的估计值，F是信源数，是方位角的精确值。同理，仰角的RMSE也可类似推出。如图4.3,可以看到方位角和仰角的RMSE都随信噪比而下降，且快拍数越大，RMSE越小，Root-MUSIC算法性能越好。图4.3 快拍数不同时二维Root-MUSIC算法的估计性能4.2.3 角度估计性能与天线数的关系目标数K=3，快拍数取100，假设仰角为，方位角为，进行800次仿真，天线阵分别为的面阵，估计性能如图4.4，可以看到，天线数目越多，RMSE越小，Root-MUSIC算法性能越好。图4.4 天线数数不同时二维Root-MUSIC算法的估计性能4.2.4 角度估计性能与目标数的关系目标数分别为2,3,4，假设2个目标时仰角为，方位角为，3个目标时多一个(,)，4个目标时多一个(,)，快拍数取100,进行800次仿真，天线阵为的面阵，估计性能如图4.5，可见目标数目越多，RMSE越大，Root-MUSIC算法性能越坏。图4.5 目标数数不同时二维Root-MUSIC算法的估计性能4.2.5 对角度相近的源的估计性能目标数K=2，天线阵为的面阵，快拍数取100,观察三组目标(10,15),(12,15)，(10,15),(13,15)，(10,15),(15,15)，仰角分别相差2，3和5得出其仰角RMSE如下图4.6，可以看到仰角角度相隔越大，RMSE越小，二维Root-MUSIC算法估计性能越好，低信噪比时，误差很大。目标数K=2，天线阵为的面阵，快拍数取100,观察三组目标(10,15),(10,17)，(10,15),(10,18)，(10,15),(10,20)，方位角分别相差2，3和5得出其方位角RMSE如下图4.6，可以看到方位角角度相隔越大，RMSE越小，二维Root-MUSIC算法估计性能越好，低信噪比时，误差非常大。图4.6 对于角度相近的源，二维Root-MUSIC算法的估计性能4.3 小结二维情况下的求根MUSIC算法是将二维情况的矩阵输出变换成一维的形式，提取出或者，然后利用方向矢量和噪声子空间的正交性，分别求得，加以结合，求得仰角和方位角，复杂度方面，二维Root-MUSIC算法不需要进行谱峰搜索，比二维MUSIC复杂度低很多，但要进行两次特征值分解，解两次2(M-1)次多项式第5章 二维DOA估计：ESPRIT以及Unitary-ESPRITESPRIT(借助旋转不变技术估计信号参数)方法最早是由Roy, Paulra和Kailath等人于1986年提出的。由于在参数估计等方面的优越性，ESPRIT算法近年来得到了广泛应用，并出现了许多变化算法，典型的算法如TLS-ESPRIT， SVD-ESPRIT，TLS-Pro-ESPRIT,SVD-拓广ESPRIT以及MI-ESPRIT(多重不变 ESPRIT),波束空间ESPRIT (beamspace ESPRIT) 等。其中最经典、应用最广泛的是LS-ESPRIT和TLS-ESPRIT算法，本章主要介绍TLS-ESPRIT算法。5.1 ESPRIT算法5.1.1 一维ESPRIT假设一个包含M个阵元偶(doublet)的任意平面传感器阵列(如图5.1所示)。每个阵元偶包含两个具有完全相同的响应特性的阵元，这两个阵元之间相差已知的位移矢量。假设有个独立、远场窄带信号同时以平面波的形式入射到该阵列上，就空间谱估计而言，假设这些信号源具有相同的中心角频率，且已知，此外所有到达信号设为零均值随机过程。则不同信号源可用其到达方向来表征。假设所有2M个阵元上都有与信号独立的零均值，方差为的独立白高斯随机过程。 为了从数学上描述阵列的移不变特性，把阵列分为两个平移矢量为的子阵和。子阵和，分别由阵元偶的和构成。第i个阵元偶上两个阵元的抽出信号可分别表示为: (5.1) (5.2)其中,为子阵的参考阵元接收到的第k个信号的波前，为第k个信号的相Doublet 1S1111S2x2 y2x3 y3Doublet 3Doublet 2x1 y1图 5.1 阵列结构及信号到达角对平移矢量方向的到达方向。为任意一个子阵列中的第i个阵元对第k个信号源的幅度响应,C为电波在介质中的传导速度，和分别为子阵和的第i个阵元上的加性测量噪声。将两个子阵列的每个阵元t时刻的输出信号分别加以组合，可得到两个子阵列的输出信号矢量表达式为: (5.3) (5.4)其中： (5.5) (5.6) (5.7) (5.8) (5.9)的矩阵称为阵列方向矩阵，它的各列矢量称为阵列方向矢量，则称为阵列流形。矩阵为的对角矩阵，其对角元家为个信号的波前在任意一个阵元偶之间的相位延迟，表示为: (5.10)其中 (5.11)矩阵为把子阵和的输出联系起来的一个酉阵(或称为算子)，这里称为旋转算子。矩阵为酉阵是因子阵和互为平移阵列对且为窄带平面波假设的结果。因而，由于子阵的移不变性形成了两子阵信号的旋转不变性，即式(5.4)表示的子阵信号，等效于子阵输入信号